В математике злоупотребление обозначениями происходит , когда автор использует математические обозначения не совсем формально корректно, но это может помочь упростить изложение или подсказать правильную интуицию (возможно, одновременно сводя к минимуму ошибки и путаницу). Однако, поскольку концепция формальной/синтаксической правильности зависит как от времени, так и от контекста, определенные математические обозначения, которые помечены как злоупотребления в одном контексте, могут быть формально правильными в одном или нескольких других контекстах. Злоупотребления обозначениями, зависящие от времени, могут возникать, когда в теорию вводятся новые обозначения за некоторое время до того, как теория была впервые формализована; их можно формально исправить путем закрепления и/или иного улучшения теории. Злоупотребление обозначениями следует противопоставлять неправильному использованию обозначений, которое не имеет преимуществ первого и его следует избегать (например, неправильное использование констант интегрирования [1] ).
Связанное с этим понятие – это злоупотребление языком или злоупотребление терминологией, когда неправильно используется термин , а не обозначение. Злоупотребление языком — это почти синоним злоупотреблений, не носящих нотационного характера. Например, хотя слово « представление» правильно обозначает групповой гомоморфизм группы G в GL( V ) , где V — векторное пространство , принято называть V «представлением G ». Другое распространенное злоупотребление языком состоит в отождествлении двух различных, но канонически изоморфных математических объектов . [2] Другие примеры включают идентификацию постоянной функции по ее значению, идентификацию группы с помощью бинарной операции по имени ее базового набора или идентификацию евклидова пространства третьего измерения, оснащенного декартовой системой координат . [3]
Многие математические объекты состоят из набора , часто называемого базовым набором, снабженного некоторой дополнительной структурой, например математической операцией или топологией . Распространенным злоупотреблением обозначениями является использование одних и тех же обозначений для базового набора и структурированного объекта (феномен, известный как подавление параметров [3] ). Например, может обозначать набор целых чисел , группу целых чисел вместе со сложением или кольцо целых чисел со сложением и умножением . В общем, с этим нет проблем, если объект, о котором идет речь, хорошо понятен, и отказ от такого злоупотребления обозначениями может даже сделать математические тексты более педантическими и трудными для чтения. Когда такое злоупотребление обозначениями может сбить с толку, можно различать эти структуры, обозначая группу целых чисел сложением и кольцо целых чисел.
Точно так же топологическое пространство состоит из набора X (основного набора) и топологии , которая характеризуется набором подмножеств X ( открытых множеств ). Чаще всего на X рассматривается только одна топология , поэтому обычно не возникает проблем с упоминанием X как базового набора, так и пары, состоящей из X и его топологии , даже если они являются технически разными математическими объектами. Тем не менее, в некоторых случаях может случиться так, что в одном и том же наборе одновременно рассматриваются две разные топологии. В этом случае необходимо проявлять осторожность и использовать такие обозначения, как и, чтобы различать различные топологические пространства.
Во многих учебниках можно встретить такие предложения, как «Пусть будет функция...». Это злоупотребление обозначениями, поскольку имя функции обозначает значение элемента ее области определения. Более точно правильные формулировки включают «Пусть будет функцией переменной ...» или «Пусть будет функцией...». Это злоупотребление обозначениями широко используется, так как оно упрощает формулировку, а систематическое использование правильных обозначений быстро становится педантичным.
Подобное злоупотребление обозначениями происходит в таких предложениях, как «Давайте рассмотрим функцию ...», хотя на самом деле это полиномиальное выражение, а не функция как таковая. Функция, которая связана с, может быть обозначена. Тем не менее, это злоупотребление обозначениями широко используется, поскольку оно более краткое, но, как правило, не сбивает с толку.
Многие математические структуры определяются посредством характеризующего свойства (часто универсального свойства ). Как только это желаемое свойство определено, могут существовать различные способы построения структуры, и соответствующие результаты будут формально разными объектами, но имеющими точно такие же свойства (т. е. изоморфными ). Поскольку нет возможности отличить эти изоморфные объекты по их свойствам, принято считать их равными, даже если это формально неверно. [2]
Одним из примеров этого является декартово произведение , которое часто рассматривается как ассоциативное:
Но это, строго говоря, неверно: если , и , тождество подразумевало бы, что и , и поэтому ничего бы не значило. Однако эти равенства можно узаконить и сделать строгими в теории категорий — используя идею естественного изоморфизма .
Другой пример подобных злоупотреблений встречается в таких утверждениях, как «существуют две неабелевы группы порядка 8», что, более строго говоря, означает «существует два класса изоморфизма неабелевых групп порядка 8».
Ссылка на класс эквивалентности отношения эквивалентности с помощью x вместо [ x ] является злоупотреблением обозначениями. Формально , если множество X разбито отношением эквивалентности ~, то для каждого x ∈ X класс эквивалентности { y ∈ X | y ~ x } обозначается [ x ]. Но на практике, если остальная часть обсуждения сосредоточена на классах эквивалентности, а не на отдельных элементах базового набора, то квадратные скобки в обсуждении обычно опускаются.
Например, в модульной арифметике конечная группа порядка n может быть сформирована путем разделения целых чисел с помощью отношения эквивалентности « x ~ y тогда и только тогда, когда x ≡ y ( mod n )». Тогда элементами этой группы будут [0], [1], ..., [ n - 1], но на практике они обычно обозначаются просто как 0, 1, ..., n - 1.
Другой пример — пространство (классов) измеримых функций над пространством с мерой или классы интегрируемых по Лебегу функций, где отношением эквивалентности является равенство « почти всюду ».
Термины «злоупотребление языком» и «злоупотребление обозначениями» зависят от контекста. Написание « f : A → B » для частичной функции от A до B почти всегда является злоупотреблением обозначениями, но не в контексте теории категорий , где f можно рассматривать как морфизм в категории множеств и частичных функций.
