Постоянная функция

Тип математической функции

В математике постоянная функция — это функция , (выходное) значение которой одинаково для каждого входного значения.

Основные свойства

Примером постоянной функции является y ( x ) = 4 , поскольку значение y ( x ) равно 4 независимо от входного значения x .

Как действительная функция действительного аргумента, константная функция имеет общую форму y ( x ) = c или просто y = c . Например, функция y ( x ) = 4 является конкретной константной функцией, где выходное значение равно c = 4 . Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел . Изображением этой функции является одноэлементное множество {4} . Независимая переменная x не появляется в правой части выражения функции, и поэтому ее значение «бессодержательно подставлено»; а именно y (0) = 4 , y (−2,7) = 4 , y (π) = 4 и так далее. Независимо от того, какое значение x является входным, выходным значением является 4 . ^[1]

График постоянной функции y = c представляет собой горизонтальную линию на плоскости , проходящую через точку (0, c ) . ^[2] В контексте полинома от одной переменной x постоянная функция называется ненулевой постоянной функцией , поскольку она является полиномом степени 0, а ее общая форма — f ( x ) = c , где c не равно нулю. Эта функция не имеет точки пересечения с осью x , что означает, что она не имеет корня (нуля) . С другой стороны, полином f ( x ) = 0 является тождественно нулевой функцией . Это (тривиальная) постоянная функция, и каждый x является корнем. Ее график — ось x на плоскости. ^[3] Ее график симметричен относительно оси y , и поэтому постоянная функция является четной функцией . ^[4]

В контексте, где она определена, производная функции является мерой скорости изменения значений функции по отношению к изменению входных значений. Поскольку постоянная функция не изменяется, ее производная равна 0. ^[5] Это часто записывается: . Обратное также верно. А именно, если y ′( x ) = 0 для всех действительных чисел x , то y является постоянной функцией. ^[6] Например, если задана постоянная функция . Производная y является тождественно нулевой функцией . ${\displaystyle (x\mapsto c)'=0}$ ${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle y'(x)=\left(x\mapsto -{\sqrt {2}}\right)'=0}$

Другие свойства

Для функций между предупорядоченными множествами постоянные функции являются как сохраняющими порядок , так и обращающими его ; и наоборот, если f является как сохраняющей порядок, так и обращающей порядок, и если область определения f является решеткой , то f должна быть постоянной.

• Каждая постоянная функция, область определения и область кодомена которой являются одним и тем же множеством X, является левым нулем полного моноида преобразований на X , что подразумевает, что она также идемпотентна .
• Он имеет нулевой уклон или градиент .
• Всякая постоянная функция между топологическими пространствами непрерывна .
• Постоянная функция факторизует одноточечное множество , конечный объект в категории множеств . Это наблюдение имеет решающее значение для аксиоматизации теории множеств Ф. Уильяма Ловера , Элементарной теории категории множеств (ETCS). ^[7]
• Для любого непустого X каждое множество Y изоморфно множеству константных функций в . Для любого X и каждого элемента y в Y существует единственная функция такая, что для всех . Наоборот, если функция удовлетворяет для всех , по определению является константной функцией. ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}:X\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}(x)=y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(x)=f(x')}$ ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle f}$
  • Как следствие, одноточечное множество является генератором в категории множеств.
  • Каждое множество канонически изоморфно функциональному множеству , или hom множеству в категории множеств, где 1 — одноточечное множество. Из-за этого, а также из-за присоединения между декартовыми произведениями и hom в категории множеств (так что существует канонический изоморфизм между функциями двух переменных и функциями одной переменной, имеющими значения в функциях другой (единственной) переменной, ) категория множеств является замкнутой моноидальной категорией с декартовым произведением множеств в качестве тензорного произведения и одноточечным множеством в качестве тензорной единицы. В изоморфизмах, естественных в X , левые и правые униторы являются проекциями и упорядоченными парами и соответственно к элементу , где — единственная точка в одноточечном множестве. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$ ${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$ ${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle (*,x)}$ ${\displaystyle (x,*)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle *}$

Функция на связном множестве локально постоянна тогда и только тогда, когда она постоянна.

Ссылки

1. Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики. Факты в файле, Нью-Йорк. стр. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
2. Докинз, Пол (2007). «Колледжская алгебра». Университет Ламара. стр. 224. Получено 12 января 2014 г.
3. Картер, Джон А.; Куевас, Гилберт Дж.; Холлидей, Берчи; Маркс, Дэниел; МакКлур, Мелисса С. (2005). "1". Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (1-е изд.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. стр. 22. ISBN 978-0078682278.
4. Янг, Синтия Y. (2021). Precalculus (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 122.
5. Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007). Исчисление (9-е изд.). Pearson Prentice Hall . стр. 107. ISBN 978-0131469686.
6. "Нулевая производная подразумевает постоянную функцию" . Получено 12 января 2014 г.
7. Лейнстер, Том (27 июня 2011 г.). «Неформальное введение в теорию топосов». arXiv : 1012.5647 [math.CT].

• Херлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э., Теория категорий , Heldermann Verlag (2007).

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Константная функция". MathWorld .
• «Константная функция». PlanetMath .