исчисление Риччи

Обозначение индекса тензора для вычислений на основе тензора

В математике исчисление Риччи представляет собой правила индексной записи и манипуляции для тензоров и тензорных полей на дифференцируемом многообразии с метрическим тензором или связностью или без них . ^{[a] [1] [2] [3]} Это также современное название того, что раньше называлось абсолютным дифференциальным исчислением (основа тензорного исчисления ), разработанного Грегорио Риччи-Курбастро в 1887–1896 годах и впоследствии популяризированного в статье, написанной совместно с его учеником Туллио Леви-Чивитой в 1900 году. ^[4] Ян Арнольдус Схоутен разработал современную нотацию и формализм для этой математической структуры и внес вклад в теорию во время ее приложений к общей теории относительности и дифференциальной геометрии в начале двадцатого века. ^[5]

Компонент тензора — это действительное число , которое используется в качестве коэффициента базисного элемента для тензорного пространства. Тензор — это сумма его компонентов, умноженных на соответствующие им базисные элементы. Тензоры и тензорные поля могут быть выражены через их компоненты, а операции над тензорами и тензорными полями могут быть выражены через операции над их компонентами. Описание тензорных полей и операций над ними через их компоненты является фокусом исчисления Риччи. Эта нотация позволяет эффективно выражать такие тензорные поля и операции. Хотя большая часть нотации может применяться к любым тензорам, операции, относящиеся к дифференциальной структуре , применимы только к тензорным полям. При необходимости нотация распространяется на компоненты нетензоров, в частности, многомерных массивов .

Тензор может быть выражен как линейная сумма тензорного произведения векторных и ковекторных базисных элементов. Результирующие компоненты тензора помечаются индексами базиса. Каждый индекс имеет одно возможное значение на измерение базового векторного пространства . Количество индексов равно степени (или порядку ) тензора.

Для компактности и удобства исчисление Риччи включает нотацию Эйнштейна , которая подразумевает суммирование по индексам, повторяющимся в пределах термина, и универсальную квантификацию по свободным индексам. Выражения в нотации исчисления Риччи обычно можно интерпретировать как набор одновременных уравнений, связывающих компоненты как функции над многообразием, обычно более конкретно как функции координат на многообразии. Это позволяет интуитивно манипулировать выражениями, зная только ограниченный набор правил.

Обозначение индексов

Различия, связанные с базисом

Координаты пространства и времени

Там, где необходимо провести различие между пространственноподобными базисными элементами и времениподобным элементом в четырехмерном пространстве-времени классической физики, это обычно делается с помощью индексов следующим образом: ^[6]

• Строчные латинские буквы a , b , c , ... используются для обозначения ограничения трехмерным евклидовым пространством , которое принимает значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов; а временной элемент, обозначенный 0, отображается отдельно.
• Строчные греческие буквы α , β , γ , ... используются для обозначения 4-мерного пространства-времени , которые обычно принимают значения 0 для временных компонент и 1, 2, 3 для пространственных компонент.

Некоторые источники используют 4 вместо 0 в качестве значения индекса, соответствующего времени; в этой статье используется 0. В противном случае, в общих математических контекстах, для индексов могут использоваться любые символы, как правило, пробегающие все измерения векторного пространства.

Обозначение координат и индексов

Автор(ы) обычно четко указывают, является ли подстрочный индекс указателем или меткой.

Например, в трехмерном евклидовом пространстве и с использованием декартовых координат ; вектор координат A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , A _z ) показывает прямое соответствие между индексами 1, 2, 3 и метками x , y , z . В выражении A _i , i интерпретируется как индекс, ранжирующий значения 1, 2, 3, в то время как индексы x , y , z являются только метками, а не переменными. В контексте пространства-времени значение индекса 0 условно соответствует метке t .

Ссылка на основу

Сами индексы могут быть помечены с использованием диакритических символов, таких как шляпа (ˆ), черта (¯), тильда (˜) или штрих (′), как в:

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}$

для обозначения возможной другой основы для этого индекса. Примером служат преобразования Лоренца из одной системы отсчета в другую, где одна система может быть нештрихованной, а другая — штрихованной, как в:

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

Это не следует путать с обозначением Ван дер Вардена для спиноров , в котором для отражения хиральности спинора используются шляпы и точки над индексами.

Верхний и нижний индексы

Исчисление Риччи и индексная нотация в более общем смысле различают нижние индексы (подстрочные индексы) и верхние индексы (надстрочные индексы); последние не являются показателями степени, хотя могут выглядеть таковыми для читателя, знакомого только с другими разделами математики.

В частном случае, когда метрический тензор везде равен единичной матрице, можно отказаться от различия между верхними и нижними индексами, и тогда все индексы можно будет записать в нижней позиции. Примерами этого могут служить координатные формулы в линейной алгебре, такие как для произведения матриц. Но в целом различие между верхними и нижними индексами следует сохранять. ${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$

Ковариантные компоненты тензора

Нижний индекс ( нижний индекс) указывает на ковариацию компонентов относительно этого индекса:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Контравариантные компоненты тензора

Верхний индекс (надстрочный индекс) указывает на контравариантность компонентов относительно этого индекса:

${\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Компоненты тензора смешанной дисперсии

Тензор может иметь как верхние, так и нижние индексы:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.}$

Упорядочивание индексов имеет значение, даже если они имеют различную дисперсию. Однако, когда подразумевается, что ни один индекс не будет повышен или понижен при сохранении базового символа, ковариантные индексы иногда располагаются ниже контравариантных индексов для удобства обозначения (например, с обобщенной дельтой Кронекера ).

Тип и степень тензора

Число верхних и нижних индексов тензора определяет его тип : тензор с p верхними и q нижними индексами называется тензором типа ( p , q ) или тензором типа ( p , q ) .

Число индексов тензора, независимо от дисперсии, называется степенью тензора (альтернативно, его валентностью , порядком или рангом , хотя ранг неоднозначен). Таким образом, тензор типа ( p , q ) имеет степень p + q .

Соглашение о суммировании

Один и тот же символ, встречающийся дважды (один верхний и один нижний) в пределах термина, обозначает пару индексов, которые суммируются:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

Операция, подразумеваемая при таком суммировании, называется тензорной сверткой :

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.}$

Такое суммирование может происходить более одного раза в пределах одного термина с отдельным символом для каждой пары индексов, например:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

Другие комбинации повторяющихся индексов в пределах термина считаются неправильно сформированными, например:

Причина исключения таких формул заключается в том, что, хотя эти величины можно вычислить как массивы чисел, они в общем случае не преобразуются как тензоры при смене базиса.

Многоиндексная нотация

Если тензор имеет список всех верхних или нижних индексов, то для сокращения списка можно использовать заглавную букву: ^[7]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J},}$

где I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n и J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

Последовательное суммирование

Пара вертикальных черт | ⋅ | вокруг набора всех верхних индексов или всех нижних индексов (но не обоих), связанных с сокращением с другим набором индексов, когда выражение полностью антисимметрично в каждом из двух наборов индексов: ^[8]

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

означает ограниченную сумму по значениям индекса, где каждый индекс ограничен быть строго меньше следующего. Таким образом можно суммировать более одной группы, например:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}$

При использовании многоиндексной нотации под блоком индексов ставится нижняя стрелка: ^[9]

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

где

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

Повышение и понижение индексов

Свертывая индекс с невырожденным метрическим тензором , можно изменить тип тензора, преобразовав нижний индекс в верхний индекс или наоборот:

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

Во многих случаях базовый символ сохраняется (например, при использовании A там, где здесь стоит B ), и, если нет двусмысленности, изменение положения индекса может подразумевать эту операцию.

Корреляции между позициями индекса и инвариантностью

В этой таблице суммируется, как манипуляция ковариантными и контравариантными индексами вписывается в инвариантность при пассивном преобразовании между базисами, причем компоненты каждого базиса заданы в терминах другого, отраженного в первом столбце. Заштрихованные индексы относятся к конечной системе координат после преобразования. ^[10]

Используется символ Кронекера, см. также ниже .

Общие принципы записи индексов и операций

Тензоры равны тогда и только тогда, когда все соответствующие компоненты равны; например, тензор A равен тензору B тогда и только тогда, когда

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

для всех α , β , γ . Следовательно, существуют аспекты нотации, которые полезны для проверки того, что уравнение имеет смысл (процедура, аналогичная размерному анализу ).

Бесплатные и фиктивные индексы

Индексы, не участвующие в контракциях, называются свободными индексами . Индексы, используемые в контракциях, называются фиктивными индексами , или индексами суммирования .

Тензорное уравнение представляет собой множество обычных (действительных) уравнений.

Компоненты тензоров (например, A ^α , B _β ^γ и т. д.) — это просто действительные числа. Поскольку индексы принимают различные целые значения для выбора определенных компонентов тензоров, одно тензорное уравнение представляет множество обычных уравнений. Если тензорное равенство имеет n свободных индексов, и если размерность базового векторного пространства равна m , равенство представляет m ⁿ уравнений: каждый индекс принимает каждое значение определенного набора значений.

Например, если

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

находится в четырех измерениях (то есть каждый индекс пробегает от 0 до 3 или от 1 до 4), то поскольку есть три свободных индекса ( α , β , δ ), есть 4 ³ = 64 уравнения. Три из них:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

Это иллюстрирует компактность и эффективность использования индексной записи: множество уравнений, имеющих схожую структуру, можно объединить в одно простое тензорное уравнение.

Индексы — это сменные метки.

Замена любого индексного символа на другой оставляет уравнение тензора неизменным (при условии отсутствия конфликта с другими уже используемыми символами). Это может быть полезно при манипулировании индексами, например, при использовании индексной нотации для проверки тождеств векторного исчисления или тождеств дельты Кронекера и символа Леви-Чивиты (см. также ниже). Пример правильного изменения:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

тогда как ошибочное изменение:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

В первой замене λ заменило α , а μ заменило γ везде , так что выражение по-прежнему имеет тот же смысл. Во второй замене λ не полностью заменило α , а μ не полностью заменило γ (кстати, сокращение индекса γ стало тензорным произведением), что совершенно непоследовательно по причинам, показанным далее.

Индексы одинаковы в каждом семестре

Свободные индексы в тензорном выражении всегда появляются в одной и той же (верхней или нижней) позиции в каждом члене, а в тензорном уравнении свободные индексы одинаковы с каждой стороны. Фиктивные индексы (что подразумевает суммирование по этому индексу) не обязательно должны быть одинаковыми, например:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

что касается ошибочного выражения:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

Другими словами, неповторяющиеся индексы должны быть одного типа в каждом члене уравнения. В приведенном выше тождестве α , β , δ выстраиваются в линию, а γ встречается дважды в одном члене из-за сокращения (один раз как верхний индекс и один раз как нижний индекс), и, таким образом, это допустимое выражение. В недопустимом выражении, в то время как β выстраивается в линию, α и δ не встречаются, а γ появляется дважды в одном члене (сокращение) и один раз в другом члене, что является непоследовательным.

Скобки и знаки препинания используются один раз, где это подразумевается.

При применении правила к нескольким индексам (дифференциация, симметризация и т. д., показано далее) скобки или знаки препинания, обозначающие правила, отображаются только для одной группы индексов, к которым они применяются.

Если в скобках заключены ковариантные индексы , правило применяется только ко всем ковариантным индексам, заключенным в скобки , а не к любым контравариантным индексам, которые оказались между скобками.

Аналогично, если в скобках заключены контравариантные индексы , правило применяется только ко всем заключенным контравариантным индексам , а не к промежуточно расположенным ковариантным индексам.

Симметричные и антисимметричные части

Симметричныйчасть тензора

Скобки ( ) вокруг нескольких индексов обозначают симметризованную часть тензора. При симметризации индексов p с использованием σ для ранжирования по перестановкам чисел от 1 до p , берется сумма по перестановкам этих индексов α _{σ ( i )} для i = 1, 2, 3, ..., p , а затем делится на количество перестановок:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

Например, два симметрирующих индекса означают, что необходимо переставить и суммировать два индекса:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

в то время как для трех симметрирующих индексов необходимо суммировать и переставлять три индекса:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

Симметризация является распределительной по сложению;

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

Индексы не являются частью симметризации, если они:

• не на одном уровне, например;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• в скобках и между вертикальными чертами (т.е. |⋅⋅⋅|), модифицируя предыдущий пример;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Здесь индексы α и γ симметризированы, β — нет.

Антисимметричныйили переменная часть тензора

Квадратные скобки, [ ] , вокруг нескольких индексов обозначают антисимметризованную часть тензора. Для p антисимметризующих индексов – берется сумма по перестановкам этих индексов α _{σ ( i ),} умноженная на сигнатуру перестановки sgn( σ ) , затем делится на количество перестановок:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

где δβ 1 ⋅⋅⋅ β п
α 1 ⋅⋅⋅ α пявляется обобщенной дельтой Кронекера степени 2 p с масштабированием, как определено ниже.

Например, два антисимметризирующих индекса подразумевают:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

в то время как три антисимметризирующих индекса подразумевают:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

что касается более конкретного примера, если F представляет собой электромагнитный тензор , то уравнение

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

представляет собой закон Гаусса для магнетизма и закон индукции Фарадея .

Как и прежде, антисимметризация является распределительной по сложению;

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

Как и в случае с симметризацией, индексы не являются антисимметризированными, если они:

• не на одном уровне, например;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• в квадратных скобках и между вертикальными чертами (т.е. |⋅⋅⋅|), изменяя предыдущий пример;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Здесь индексы α и γ антисимметризованы, β — нет.

Сумма симметричных и антисимметричных частей

Любой тензор можно записать в виде суммы его симметричной и антисимметричной частей по двум индексам:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

как можно увидеть, сложив приведенные выше выражения для A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} и A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Это справедливо только для двух индексов.

Дифференциация

Для компактности производные можно обозначать путем добавления индексов после запятой или точки с запятой. ^{[11] [12]}

Частичная производная

В то время как большинство выражений исчисления Риччи действительны для произвольных базисов, выражения, включающие частные производные компонентов тензора по координатам, применяются только с координатным базисом : базисом, который определяется посредством дифференцирования по координатам. Координаты обычно обозначаются как x ^μ , но в общем случае не образуют компоненты вектора. В плоском пространстве-времени с линейной координатизацией кортеж разностей координат Δ x ^μ можно рассматривать как контравариантный вектор. При тех же ограничениях на пространство и на выбор системы координат частные производные по координатам дают результат, который является эффективно ковариантным. Помимо использования в этом особом случае, частные производные компонентов тензоров в общем случае не преобразуются ковариантно, но полезны для построения выражений, которые являются ковариантными, хотя и все еще с координатным базисом, если частные производные используются явно, как в случае с ковариантными, внешними и производными Ли ниже.

Для обозначения частичной дифференциации компонент тензорного поля по координатной переменной x γ ^перед добавленным нижним индексом координатной переменной ставится запятая .

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

Это можно повторить (без добавления дополнительных запятых):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

Эти компоненты не преобразуются ковариантно, если только дифференцируемое выражение не является скаляром. Эта производная характеризуется правилом произведения и производными координат

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

где δ — символ Кронекера .

Ковариантная производная

Ковариантная производная определяется только в том случае, если определена связь . Для любого тензорного поля точка с запятой (  ; ), помещенная перед добавленным нижним (ковариантным) индексом, указывает на ковариантную дифференциацию. Менее распространенные альтернативы точке с запятой включают косую черту ( / ) ^[13] или в трехмерном искривленном пространстве одну вертикальную черту (  |  ). ^[14]

Ковариантная производная скалярной функции, контравариантного вектора и ковариантного вектора:

${\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }}$

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,}$

где Γ ^α _γβ — коэффициенты связи.

Для произвольного тензора: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

Альтернативным обозначением для ковариантной производной любого тензора является подстрочный символ набла ∇ _β . Для случая векторного поля A ^α : ^[16]

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.}$

Ковариантная формулировка производной по направлению любого тензорного поля вдоль вектора v ^γ может быть выражена как ее свертка с ковариантной производной, например:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}$

Компоненты этой производной тензорного поля преобразуются ковариантно и, следовательно, образуют другое тензорное поле, несмотря на то, что подвыражения (частная производная и коэффициенты связи) по отдельности не преобразуются ковариантно.

Эта производная характеризуется правилом произведения:

${\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.}$

Типы подключения

Связность Кошуля на касательном расслоении дифференцируемого многообразия называется аффинной связностью .

Связность является метрической, если ковариантная производная метрического тензора равна нулю:

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.}$

Аффинная связность , которая также является метрической связностью, называется римановой связностью . Риманова связность, которая не имеет кручения (т.е. для которой тензор кручения равен нулю: T ^α _βγ = 0 ), называется связностью Леви-Чивиты .

Символы Γ ^α _βγ для связности Леви-Чивиты в координатном базисе называются символами Кристоффеля второго рода.

Внешняя производная

Внешняя производная полностью антисимметричного типа (0, s ) тензорного поля с компонентами A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} (также называемая дифференциальной формой ) — это производная, которая ковариантна относительно преобразований базиса. Она не зависит ни от метрического тензора, ни от связности: она требует только структуры дифференцируемого многообразия. В координатном базисе она может быть выражена как антисимметризация частных производных компонент тензора: ^{[17] : 232–233}

${\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}$

Эта производная не определена ни на каком тензорном поле с контравариантными индексами или не полностью антисимметричном. Она характеризуется правилом градуированного произведения.

производная Ли

Производная Ли — это еще одна производная, которая ковариантна относительно преобразований базиса. Как и внешняя производная, она не зависит ни от метрического тензора, ни от связи. Производная Ли тензорного поля типа ( r , s ) T вдоль (потока) контравариантного векторного поля X ^ρ может быть выражена с использованием координатного базиса как ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

Эта производная характеризуется правилом произведения и тем фактом, что производная Ли контравариантного векторного поля вдоль себя равна нулю:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}$

Известные тензоры

дельта Кронекера

Дельта Кронекера подобна единичной матрице, если ее умножить и свернуть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}}$

Компоненты δ^α
_βодинаковы в любом базисе и образуют инвариантный тензор типа (1, 1) , т.е. тождество касательного расслоения над тождественным отображением базового многообразия , и поэтому его след является инвариантом. ^[19] Его след — это размерность пространства; например, в четырехмерном пространстве-времени ,

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

Дельта Кронекера является одним из семейства обобщенных дельта Кронекера. Обобщенная дельта Кронекера степени 2 p может быть определена в терминах дельты Кронекера следующим образом (общее определение включает дополнительный множитель p ! справа):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},}$

и действует как антисимметризатор на индексах p :

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

Тензор кручения

Аффинная связность имеет тензор кручения T ^α _βγ :

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },}$

где γ ^α _βγ задаются компонентами скобки Ли локального базиса, которые обращаются в нуль, когда он является координатным базисом.

Для связности Леви-Чивиты этот тензор определяется равным нулю, что для координатного базиса дает уравнения

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.}$

Тензор кривизны Римана

Если этот тензор определить как

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

тогда это коммутатор ковариантной производной с собой: ^{[20] [21]}

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}$

поскольку связь не имеет кручения, это означает, что тензор кручения равен нулю.

Это можно обобщить, чтобы получить коммутатор для двух ковариантных производных произвольного тензора следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

которые часто называют тождествами Риччи . ^[22]

Метрический тензор

Метрический тензор g _αβ используется для понижения индексов и дает длину любой пространственно-подобной кривой

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

где γ — любая гладкая строго монотонная параметризация пути. Она также дает длительность любой времениподобной кривой

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

где γ — любая гладкая строго монотонная параметризация траектории. См. также Элемент линии .

Обратная матрица g αβ ^{метрического} тензора является еще одним важным тензором, используемым для повышения индексов:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$

Смотрите также

• Обозначение абстрактного индекса
• Связь
• Внешняя алгебра
• Дифференциальная форма
• Ходж-звезда оператор
• Голономный базис
• Метрический тензор
• Графическая нотация Пенроуза
• исчисление Редже
• Разложение Риччи
• Тензор (внутреннее определение)
• Тензорное исчисление
• Тензорное поле

Примечания

1. В то время как повышение и понижение индексов зависит от метрического тензора , ковариантная производная зависит только от связи , в то время как внешняя производная и производная Ли не зависят ни от того, ни от другого.

Ссылки

1. Синг Дж. Л.; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление . Первое издание Dover Publications 1978 года. С. 6–108.
2. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
3. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Старинные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
4. Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.). «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения». Mathematische Annalen (на французском языке). 54 (1–2). Springer: 125–201. doi :10.1007/BF01454201. S2CID  120009332. Получено 19 октября 2019 г.
5. Схоутен, Ян А. (1924). Р. Курант (ред.). Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Issuee der mehr Dimensionen Differentialgeometrice (Исчисление Риччи – Введение в новейшие методы и проблемы многомерной дифференциальной геометрии). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). Том. 10. Берлин: Springer Verlag.
6. К. Мёллер (1952), Теория относительности , стр. 234пример вариации: «Греческие индексы от 1 до 3, латинские индексы от 1 до 4»
7. Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 67, ISBN 978-1107-602601
8. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 91. ISBN 0-7167-0344-0.
9. Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 67, ISBN 978-1107-602601
10. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 61, 202–203, 232. ISBN 0-7167-0344-0.
11. G. Woan (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
12. Ковариантная производная – Mathworld, Wolfram
13. Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 298, ISBN 978-1107-602601
14. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 510, §21.5. ISBN 0-7167-0344-0.
15. Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 299, ISBN 978-1107-602601
16. D. McMahon (2006). Относительность . Демистификация. McGraw Hill. стр. 67. ISBN 0-07-145545-0.
17. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Старинные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
18. Бишоп, Р. Л.; Голдберг, СИ (1968), Тензорный анализ многообразий , стр. 130
19. Бишоп, Р. Л.; Голдберг, СИ (1968), Тензорный анализ многообразий , стр. 85
20. Синг Дж. Л.; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление . Первое издание Dover Publications 1978 года. С. 83, С. 107.
21. П. А. М. Дирак. Общая теория относительности . С. 20–21.
22. Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . стр. 84.

Источники

• Бишоп, Р. Л .; Голдберг, С. И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание, Дувр, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Дэниелсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в инженерии и физике (2-е изд.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Дувр. ISBN 978-0-486-65840-7.
• К. Мёллер (1952), Теория относительности (3-е изд.), Oxford University Press
• Синг Дж. Л.; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление . Первое издание Dover Publications 1978 года. ISBN 978-0-486-63612-2.
• JR Tyldesley (1975), Введение в тензорный анализ: для инженеров и прикладных ученых , Longman, ISBN 0-582-44355-5
• DC Кей (1988), Тензорное исчисление , Очерки Шаума, McGraw Hill (США), ISBN 0-07-033484-6
• Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601