Производная лжи

Производная в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии производная Ли ( / l iː / LEE ), названная в честь Софуса Ли Владиславом Слебодзинским , ^{[1] [2]} оценивает изменение тензорного поля (включая скалярные функции, векторные поля и одноформы ), вдоль поток , определяемый другим векторным полем. Это изменение является координатно-инвариантным, и поэтому производная Ли определена на любом дифференцируемом многообразии .

Функции, тензорные поля и формы можно дифференцировать по векторному полю. Если T — тензорное поле, а X — векторное поле, то производная Ли Т по X обозначается . Дифференциальный оператор является производным алгебры тензорных полей основного многообразия. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T}$

Производная Ли коммутирует со сжатием , а внешняя производная на дифференциальных формах .

Хотя в дифференциальной геометрии существует множество концепций получения производной, все они сходятся во мнении, когда дифференцируемое выражение является функцией или скалярным полем . Таким образом, в этом случае слово «Ложь» опускается и говорят просто о производной функции.

Производная Ли векторного поля Y относительно другого векторного поля X известна как « скобка Ли » X и Y и часто обозначается [ X , Y ] вместо . Пространство векторных полей образует алгебру Ли относительно этой скобки Ли. Производная Ли представляет собой бесконечномерное представление этой алгебры Ли в силу тождества ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,}$

справедливо для любых векторных полей X и Y и любого тензорного поля T .

Рассматривая векторные поля как бесконечно малые генераторы потоков (т.е. одномерные группы диффеоморфизмов ) на M , производная Ли является дифференциалом представления группы диффеоморфизмов на тензорных полях, аналогично представлениям алгебры Ли как бесконечно малым представлениям , связанным с представлением группы в Теория групп Ли .

Существуют обобщения для спинорных полей, расслоений со связностью и векторнозначных дифференциальных форм .

Мотивация

«Наивная» попытка определить производную тензорного поля по векторному полю заключалась бы в том, чтобы взять компоненты тензорного поля и взять производную по направлению каждого компонента по векторному полю. Однако это определение нежелательно, поскольку оно не инвариантно при изменении системы координат , например, наивная производная, выраженная в полярных или сферических координатах , отличается от наивной производной компонентов в декартовых координатах . На абстрактном многообразии такое определение бессмысленно и плохо определено. В дифференциальной геометрии существуют три основных координатно-независимых понятия дифференцирования тензорных полей: производные Ли, производные по связностям и внешняя производная полностью антисимметричных ковариантных тензоров, т.е. дифференциальных форм . Основное различие между производной Ли и производной по связности состоит в том, что последняя производная тензорного поля по касательному вектору четко определена, даже если не указано, как продлить этот касательный вектор до векторного поля. . Однако связность требует выбора дополнительной геометрической структуры (например, римановой метрики или просто абстрактной связности ) на многообразии. Напротив, при взятии производной Ли не требуется никакой дополнительной структуры на многообразии, но нельзя говорить о производной Ли тензорного поля по одному касательному вектору, поскольку значение производной Ли тензора поле относительно векторного поля X в точке p зависит от значения X в окрестности точки p , а не только в самой точке p . Наконец, внешняя производная дифференциальных форм не требует каких-либо дополнительных выборов, а является лишь четко определенной производной дифференциальных форм (включая функции).

Определение

Производную Ли можно определить несколькими эквивалентными способами. Для простоты мы начнем с определения производной Ли, действующей на скалярные функции и векторные поля, прежде чем перейти к определению общих тензоров.

Производная (Лиева) функции

Определение производной функции на многообразии проблематично, поскольку разностный коэффициент не может быть определен, пока смещение не определено. ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle (f(x+h)-f(x))/h}$ ${\displaystyle x+h}$

Производная Ли функции по векторному полю в точке — это функция ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}f)(p)={d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}f\circ \Phi _{X}^{t}{\bigr )}(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}-f{\bigl (}p{\bigr )}}{t}}}$

где – точка, в которую поток , определяемый векторным полем, отображает точку в момент времени. В окрестности – единственное решение системы ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\biggr |}_{t}\Phi _{X}^{t}(p)=X{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}}$

автономных (т.е. независимых от времени) дифференциальных уравнений первого порядка, с ${\displaystyle \Phi _{X}^{0}(p)=p.}$

Настройка идентифицирует производную Ли функции с производной по направлению . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$

Производная Ли векторного поля

Если X и Y являются векторными полями, то производная Ли Y относительно X также известна как скобка Ли X и Y и иногда обозначается . Существует несколько подходов к определению скобки Ли, все они эквивалентны. Мы перечисляем здесь два определения, соответствующие двум определениям векторного поля, данным выше: ${\displaystyle [X,Y]}$

• Скобка Ли X и Y в точке p задается в локальных координатах формулой

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),}$

  где и обозначают операции взятия производных по направлению по X и Y соответственно. Здесь мы рассматриваем вектор в n -мерном пространстве как n - кортеж , так что его производная по направлению — это просто кортеж, состоящий из производных по направлениям его координат. Хотя окончательное выражение, входящее в это определение, не зависит от выбора локальных координат, отдельные члены и зависят от выбора координат. ${\displaystyle \partial _{X}}$ ${\displaystyle \partial _{Y}}$ ${\displaystyle \partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)}$ ${\displaystyle \partial _{X}Y(p)}$ ${\displaystyle \partial _{Y}X(p)}$
• Если X и Y — векторные поля на многообразии M согласно второму определению, то оператор , определяемый формулой ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$

  ${\displaystyle [X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)}$

  ${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}$

  является дифференцированием нулевого порядка алгебры гладких функций из M , т.е. этот оператор является векторным полем согласно второму определению.

Производная Ли тензорного поля

Определение с точки зрения потоков

Производная Ли — это скорость, с которой изменяется тензорное поле при деформации пространства, вызванной потоком.

Формально, пусть задано дифференцируемое (независимое от времени) векторное поле на гладком многообразии – соответствующий локальный поток. Поскольку является локальным диффеоморфизмом для каждого , он приводит к обратному образу тензорных полей . Для ковариантных тензоров это просто многолинейное расширение карты обратного преобразования. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}:M\to M}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M,\qquad \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}\alpha (X)=\alpha {\bigl (}T_{p}\Phi _{X}^{t}(X){\bigr )},\quad \alpha \in T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M,X\in T_{p}M}$

Для контравариантных тензоров расширяется обратное

${\displaystyle \left(T_{p}\Phi _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M}$

дифференциала . _ Следовательно, для каждого существует тензорное поле того же типа, что и 's. ${\displaystyle T_{p}\Phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle (\Phi _{X}^{t})^{*}T}$ ${\displaystyle T}$

Если это тензорное поле - или -типа, то производная Ли вдоль векторного поля определяется в точке как ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (r,0)}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}\left({\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T\right)_{p}={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}_{p}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}=\lim _{t\to 0}{\frac {{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}-T_{p}}{t}}.}$

Результирующее тензорное поле имеет тот же тип, что и s. ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T}$

В более общем смысле, для каждого гладкого 1-параметрического семейства диффеоморфизмов, интегрирующих векторное поле в том смысле, что , имеется ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}=X\circ \Phi _{0}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T={\bigl (}\Phi _{0}^{-1}{\bigr )}^{*}{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}^{*}T=-{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{t}^{-1}{\bigr )}^{*}\Phi _{0}^{*}T\,.}$$

Алгебраическое определение

Дадим теперь алгебраическое определение. Алгебраическое определение производной Ли тензорного поля следует из следующих четырех аксиом:

Аксиома 1. Производная Ли функции равна производной функции по направлению. Этот факт часто выражают формулой

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)}$

Аксиома 2. Производная Ли подчиняется следующей версии правила Лейбница: для любых тензорных полей S и T имеем

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).}$

Аксиома 3. Производная Ли подчиняется правилу Лейбница относительно сжатия :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))}$

Аксиома 4. Производная Ли коммутирует с внешней производной на функциях:

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},d]=0}$

Если эти аксиомы верны, то применение производной Ли к отношению показывает, что ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle df(Y)=Y(f)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),}$

что является одним из стандартных определений скобки Ли .

Производная Ли, действующая на дифференциальную форму, является антикоммутатором внутреннего произведения с внешней производной. Итак, если α — дифференциальная форма,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .}$

Это легко сделать, проверив, что выражение коммутирует с внешней производной, является дифференцированием (будучи антикоммутатором градуированных дифференцирований) и правильно работает с функциями.

Явно, пусть T — тензорное поле типа ( p , q ) . Рассмотрим T как дифференцируемое полилинейное отображение гладких сечений α ¹ , α ² , ..., α ^p кокасательного расслоения T ^∗ M и сечений X ₁ , X ₂ , ..., X q касательного _{расслоения} TM , записанное T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) в R . Определим производную Ли от T вдоль Y по формуле

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))}$

${\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots }$

${\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots }$

Эквивалентность аналитических и алгебраических определений можно доказать, используя свойства прямого продвижения и правила дифференцирования Лейбница. Производная Ли коммутирует со сжатием.

Производная Ли дифференциальной формы

Особенно важным классом тензорных полей является класс дифференциальных форм . Ограничение производной Ли на пространство дифференциальных форм тесно связано с внешней производной . И производная Ли, и внешняя производная пытаются по-разному уловить идею производной. Эти различия можно преодолеть, введя идею предмета интерьера , после чего отношения выпадают в виде тождества, известного как формула Картана . Формулу Картана также можно использовать как определение производной Ли в пространстве дифференциальных форм.

Пусть M — многообразие, а X — векторное поле на M. Пусть это ( k + 1) -форма , т.е. для каждой есть попеременная полилинейная карта из в действительные числа. Внутреннее произведение X и ω — это k -форма, определенная как ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k+1}(M)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle (T_{p}M)^{k+1}}$ ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,}$

Дифференциальную форму также называют сжатием ω с X и ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)}$

является a - антивыводом где – произведение клина на дифференциальные формы . То есть является R -линейным и ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle i_{X}}$

${\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}$

для и η — другая дифференциальная форма. Кроме того, для функции , то есть действительной или комплекснозначной функции на M , имеется ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$ ${\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}$

${\displaystyle i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega }$

где обозначает произведение f и X. Взаимосвязь между внешними производными и производными Ли можно резюмировать следующим образом. Во-первых, поскольку производная Ли функции f относительно векторного поля X совпадает с производной по направлению X ( f ), она также совпадает с сокращением внешней производной f с X : ${\displaystyle fX}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df}$

Для общей дифференциальной формы производная Ли также является сокращением, учитывая изменение X :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).}$

Это тождество известно под разными названиями: формула Картана , формула гомотопии Картана или магическая формула Картана . Подробности смотрите в разделе «Продукт для интерьера» . Формулу Картана можно использовать как определение производной Ли дифференциальной формы. Формула Картана показывает, в частности, что

${\displaystyle d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).}$

Производная Ли также удовлетворяет соотношению

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .}$

Координатные выражения

В обозначениях локальных координат для тензорного поля типа ( r , s ) производная Ли вдоль равна ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$

здесь обозначение означает взятие частной производной по координате . В качестве альтернативы, если мы используем соединение без кручения (например, соединение Леви Чивита ), то частную производную можно заменить ковариантной производной , что означает замену (путем злоупотребления обозначениями) , где являются коэффициентами Кристоффеля . ${\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}X^{b}}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}}$ ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$

Производная Ли тензора — это другой тензор того же типа, т.е. хотя отдельные члены выражения зависят от выбора системы координат, выражение в целом приводит к тензору

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}}$

который не зависит от какой-либо системы координат и того же типа, что и . ${\displaystyle T}$

Определение можно распространить и на тензорные плотности . Если T — тензорная плотность некоторого вещественнозначного веса w (например, объемная плотность веса 1), то его производная Ли — это тензорная плотность того же типа и веса.

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}}$

Обратите внимание на новый термин в конце выражения.

Для линейной связи производная Ли вдоль равна ^[3] ${\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}}$

Примеры

Для ясности мы теперь покажем следующие примеры в обозначениях локальных координат .

Для скалярного поля имеем: ${\displaystyle \phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi }$.

Следовательно, для скалярного и векторного полей соответствующая производная Ли принимает вид ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)}$ ${\displaystyle X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}}$$

В качестве примера дифференциальной формы более высокого ранга рассмотрим 2-форму и векторное поле из предыдущего примера. Затем, ${\displaystyle \omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}}$$

Еще несколько абстрактных примеров.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}}$.

Следовательно, для ковекторного поля , т. е. дифференциальной формы , имеем: ${\displaystyle A=A_{a}(x^{b})dx^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}}$

Коэффициент последнего выражения является выражением локальной координаты производной Ли.

Для ковариантного тензорного поля ранга 2 имеем: ${\displaystyle T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}}$$

Если – симметричный метрический тензор, он параллелен по отношению к связи Леви-Чивита (она же ковариантная производная ), и становится плодотворным использовать эту связь. Это приводит к замене всех производных ковариантными производными, что дает ${\displaystyle T=g}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

Характеристики

Производная Ли обладает рядом свойств. Пусть – алгебра функций, определенных на многообразии M . Затем ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)}$

является выводом на алгебре . То есть является ли R -линейным и ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.}$

Точно так же это вывод о том, где находится множество векторных полей на M (см. Теорему 6 из статьи: Ничита, Ф.Ф. Теории объединения: новые результаты и примеры. Аксиомы 2019, 8, 60): ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}$

что также можно записать в эквивалентных обозначениях

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}$

где символ тензорного произведения используется, чтобы подчеркнуть тот факт, что произведение функции на векторное поле берется по всему многообразию. ${\displaystyle \otimes }$

Дополнительные свойства соответствуют свойствам скобки Ли . Так, например, рассматриваемый как вывод на векторном поле,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}$

можно обнаружить, что вышеизложенное является просто тождеством Якоби . Таким образом, получается важный результат: пространство векторных полей над M , снабженное скобкой Ли, образует алгебру Ли .

Производная Ли также обладает важными свойствами при воздействии на дифференциальные формы. Пусть α и β — две дифференциальные формы на M , и пусть X и Y — два векторных поля. Затем

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,}$где i обозначает внутреннее произведение, определенное выше, и ясно, обозначает ли [·,·] коммутатор или скобку Ли векторных полей .

Обобщения

Различные обобщения производной Ли играют важную роль в дифференциальной геометрии.

Производная Ли спинорного поля

Определение производных Ли спиноров вдоль общих векторных полей пространства-времени, не обязательно киллинговых , на общем (псевдо) римановом многообразии было уже предложено в 1971 году Иветт Косман . ^[4] Позже ей была предоставлена ​​геометрическая основа, которая оправдывает ее специальные рекомендации в рамках общей структуры производных Ли на расслоениях ^[5] в явном контексте калибровочных натуральных расслоений, которые оказываются наиболее подходящей ареной для (калибровочных -ковариантные) теории поля. ^[6]

В данном спиновом многообразии , то есть в римановом многообразии , допускающем спиновую структуру , производная Ли спинорного поля может быть определена, сначала определив ее относительно бесконечно малых изометрий (векторных полей Киллинга) через локальное выражение Андре Лихнеровича , заданное в 1963 году: ^[7] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,}$

где предполагается , что это векторное поле Киллинга , а – матрицы Дирака . ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}}$ ${\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}$ ${\displaystyle \gamma ^{a}}$

Тогда можно распространить определение Лихнеровича на все векторные поля (общие бесконечно малые преобразования), сохранив локальное выражение Лихнеровича для общего векторного поля , но явно взяв только антисимметричную часть . ^[4] Более подробно, локальное выражение Косманна, данное в 1972 году, таково: ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,}$

где коммутатор, внешняя производная , двойственная форма 1, соответствующая метрике (т.е. с пониженными индексами), и умножение Клиффорда. ${\displaystyle [\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X^{\flat }=g(X,-)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cdot }$

Стоит отметить, что спинорная производная Ли не зависит от метрики, а значит, и от связности . Это не очевидно из правой части локального выражения Космана, поскольку правая часть, по-видимому, зависит от метрики через спиновую связь (ковариантную производную), дуализацию векторных полей (понижение индексов) и уравнение Клиффорда. умножение на спинорном расслоении . Это не так: величины в правой части локального выражения Косманна объединяются так, что все члены, зависящие от метрики и связи, сокращаются.

Чтобы лучше понять давно обсуждаемую концепцию лиевой производной спинорных полей, можно обратиться к оригинальной статье ^{[8] [9]} , где определение лиевой производной спинорных полей помещено в более общую структуру теории теория лиевых производных сечений расслоений и прямой подход Ю. Космана к спинорному случаю обобщены на калибровочные натуральные расслоения в форме новой геометрической концепции, названной лифтом Космана .

Ковариантная производная Ли

Если у нас есть главное расслоение над многообразием M со структурной группой G и мы выбираем X как ковариантное векторное поле как сечение касательного пространства главного расслоения (т. е. оно имеет горизонтальные и вертикальные компоненты), то ковариантное Производная Ли — это просто производная Ли по X по главному расслоению.

Теперь, если нам дано векторное поле Y над M (но не главный расслоение), но у нас также есть соединение над основным расслоением, мы можем определить векторное поле X над основным расслоением так, чтобы его горизонтальный компонент соответствовал Y и его вертикальная составляющая согласуется со связью. Это ковариантная производная Ли.

Подробности смотрите в форме подключения .

Производная Нийенхейса – Ли

Другое обобщение, принадлежащее Альберту Нийенхейсу , позволяет определить производную Ли дифференциальной формы вдоль любого сечения расслоения Ωk ⁽ M , TM ) дифференциальных форм со значениями в касательном расслоении. Если K  ∈ Ω ^k ( M , TM ) и α — дифференциальная p -форма, то можно определить внутреннее произведение i _K α форм K и α. Производная Нийенхейса – Ли тогда является антикоммутатором внутреннего произведения и внешней производной:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .}$

История

В 1931 году Владислав Слебодзинский представил новый дифференциальный оператор, позже названный Дэвидом ван Данцигом оператором вывода Ли, который можно применять к скалярам, ​​векторам, тензорам и аффинным связностям и который оказался мощным инструментом при изучении групп автоморфизмов. .

Производные Ли общих геометрических объектов (т. е. сечений натуральных расслоений ) изучались А. Нийенхейсом , Ю. Таширо и К. Яно .

В течение достаточно долгого времени физики использовали производные Ли, не обращаясь к работам математиков. В 1940 году Леон Розенфельд ^[10] — а до него (в 1921 году ^[11] ) Вольфганг Паули ^{[12] —} ввёл то, что он назвал «локальной вариацией» геометрического объекта, вызванной бесконечно малым преобразованием координат, порождённым векторным полем. . Можно легко доказать, что это так . ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$ ${\displaystyle -{\mathcal {L}}_{X}(A)\,}$

Смотрите также

• Ковариантная производная
• Связь (математика)
• Кронштейн Фрелихера – Ниенхейса
• геодезический
• Поле убийства
• Производная экспоненциальной карты

Примечания

1. Траутман, А. (2008). «Заметки об истории понятия дифференцирования Ли». В Крупковой О.; Сондерс, диджей (ред.). Вариации, геометрия и физика: В честь шестидесятипятилетия Деметры Крупки . Нью-Йорк: Нова Сайенс. стр. 297–302. ISBN 978-1-60456-920-9.
2. Слебодзинский, В. (1931). «Сюр-ле-уравнения Гамильтона». Бык. акад. Рой. Д. Бельг . 17 (5): 864–870.
3. Яно, К. (1957). Теория производных Ли и ее приложения. Северная Голландия. п. 8. ISBN 978-0-7204-2104-0.
4. Косманн, Ю. (1971). «Dérivées de Lie des spineurs». Анна. Мат. Приложение Пура. 91 (4): 317–395. дои : 10.1007/BF02428822. S2CID  121026516.
5. Траутман, А. (1972). «Инвариантность лагранжевых систем». В О'Рейфертай, Л. (ред.). Общая теория относительности: статьи в честь Дж. Л. Синджа . Оксфорд: Кларенден Пресс. п. 85. ИСБН 0-19-851126-4.
6. Фатибене, Л.; Франкавилья, М. (2003). Естественный и калибровочный естественный формализм для классических теорий поля . Дордрехт: Клювер Академик.
7. Лихнерович, А. (1963). «Гармоники Spineurs». ЧР акад. наук. Париж . 257 : 7–9.
8. Фатибене, Л.; Феррарис, М.; Франкавилья, М.; Година, М. (1996). «Геометрическое определение производной Ли для спинорных полей». В Яниське, Дж.; Коларж, И.; Словак, Дж. (ред.). Материалы 6-й Международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям, 28 августа – 1 сентября 1995 г. (Брно, Чехия) . Брно: Университет Масарика. стр. 549–558. arXiv : gr-qc/9608003v1 . Бибкод : 1996gr.qc.....8003F. ISBN 80-210-1369-9.
9. Година, М.; Маттеуччи, П. (2003). «Редуктивные G-структуры и производные Ли». Журнал геометрии и физики . 47 (1): 66–86. arXiv : математика/0201235 . Бибкод : 2003JGP....47...66G. дои : 10.1016/S0393-0440(02)00174-2. S2CID  16408289.
10. Розенфельд, Л. (1940). «Sur le tenseur d'impulsion-énergie». Мемуары акад. Рой. Д. Бельг . 18 (6): 1–30.
11. Книга Паули по теории относительности.
12. Паули, В. (1981) [1921]. Теория относительности (Первое изд.). Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-64152-2. См. раздел 23.

Рекомендации

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х. См. раздел 2.2 .
• Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-10096-7. См. главу 0 .
• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-42627-2. См. раздел 1.6 .
• Коларж, И.; Михор, П.; Словак, Дж. (1993). Естественные операции в дифференциальной геометрии. Спрингер-Верлаг. ISBN 9783662029503.Обширное обсуждение скобок Ли и общей теории производных Ли.
• Ланг, С. (1995). Дифференциальные и римановы многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-94338-1.Для обобщений на бесконечные измерения.
• Ланг, С. (1999). Основы дифференциальной геометрии . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-98593-0.Для обобщений на бесконечные измерения.
• Яно, К. (1957). Теория производных Ли и ее приложения. Северная Голландия. ISBN 978-0-7204-2104-0.Классический подход с использованием координат.

Внешние ссылки

• «Производная Лия», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]