Интерьерное изделие

Сопоставление форм p с формами p-1

В математике внутренний продукт (также известный как внутренняя производная , внутреннее умножение , внутреннее умножение , внутренняя производная , оператор вставки или внутренний вывод ) представляет собой (анти)вывод степени -1 на внешней алгебре дифференциальных форм на гладком многообразии . Внутренний продукт, названный в противоположность внешнему продукту , не следует путать с внутренним продуктом . Внутренний продукт иногда записывается как ^[1] ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ ${\displaystyle X\mathbin {\lrcorner } \omega .}$

Определение

Внутренний продукт определяется как сжатие дифференциальной формы с векторным полем . Таким образом, если — векторное поле на многообразии , то это отображение , которое переводит -форму в -форму, определяемую тем свойством, что для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$ $${\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ $${\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)}$$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}$

Внутреннее произведение — это уникальный первообразователь степени −1 на внешней алгебре, такой, что на одноформах где — спаривание двойственности между и вектором. Явно, если — форма и — форма , то Приведенное выше соотношение говорит, что Продукт интерьера подчиняется градуированному правилу Лейбница . Операция, удовлетворяющая линейности и правилу Лейбница, называется выводом. ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle ,}$$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=\left(\iota _{X}\beta \right)\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge \left(\iota _{X}\gamma \right).}$$

Характеристики

Если в локальных координатах векторное поле имеет вид ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

тогда внутренний продукт определяется выражением где - форма, полученная путем исключения из . $${\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n},}$$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n}}$ ${\displaystyle dx_{r}}$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n}}$

По антисимметрии форм и т. д. Это можно сравнить с внешней производной , обладающей свойством $${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega ,}$$ ${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0.}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d\circ d=0.}$

Внутреннее произведение связывает внешнюю производную и производную Ли дифференциальных форм формулой Картана (также известной как тождество Картана , формула гомотопии Картана ^[2] или магическая формула Картана ) : $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$$

где использовался антикоммутатор . Это тождество определяет двойственность между внешними и внутренними производными. Тождество Картана важно в симплектической геометрии и общей теории относительности : см. карту моментов . ^[3] Гомотопическая формула Картана названа в честь Эли Картана . ^[4]

Внутреннее произведение относительно коммутатора двух векторных полей удовлетворяет тождеству ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].}$$

Смотрите также

• Продукт Cap  - Метод в алгебраической топологии
• Внутренний продукт  – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространствPages displaying short descriptions of redirect targets
• Тензорное сжатие  - операция в математике и физике

Примечания

1. Символ ⨼ — это U+2A3C ИНТЕРЬЕРНЫЙ ПРОДУКТ в Юникоде.
2. Вт, раздел 20.5.
3. Существует еще одна формула, называемая «формула Картана». См. алгебру Стинрода .
4. Создана ли «Волшебная формула Картана» Эли или Анри?, MathOverflow , 21 сентября 2010 г. , получено 25 июня 2018 г.

Рекомендации

• Теодор Франкель, Геометрия физики: введение ; Издательство Кембриджского университета, 3-е изд. 2011 г.
• Лоринг В. Ту, Введение в многообразия , 2e, Springer. 2011. дои : 10.1007/978-1-4419-7400-6