Аффинная связность на касательном расслоении многообразия
В римановой или псевдоримановой геометрии (в частности, в лоренцевой геометрии общей теории относительности ) связность Леви-Чивита — это уникальная аффинная связность на касательном расслоении многообразия (т. е. аффинная связность ), которая сохраняет ( псевдо ) риманову метрику и не имеет кручения .
Основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует единственная связь, удовлетворяющая этим свойствам.
В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для обозначения связности Леви-Чивита. Компоненты (структурные коэффициенты) этой связи относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .
История
Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита , хотя первоначально она была «открыта» Элвином Бруно Кристоффелем . Леви-Чивита [1] вместе с Грегорио Риччи-Курбастро использовали символы Кристоффеля [2] для определения понятия параллельного переноса и исследования связи параллельного переноса с кривизной , тем самым развивая современное понятие голономии . [3]
В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной векторного поля при изменении системы координат преобразуются в компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа.
В 1906 году Л. Дж. Брауэр был первым математиком , который рассмотрел параллельный перенос вектора в случае пространства постоянной кривизны . [4] [5]
В 1917 году Леви-Чивита указал на ее важность для случая гиперповерхности , погруженной в евклидово пространство , т. е. для случая риманова многообразия , вложенного в «большое» объемлющее пространство. [1] Он интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как тангенциальную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве. Идеи Леви-Чивиты о внутренней производной и параллельном перемещении вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, хотя первоначальная мотивация основывалась на конкретном вложении![{\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В 1918 г., независимо от Леви-Чивита, аналогичные результаты получил Ян Арнольдус Схоутен . [6] В том же году Герман Вейль обобщил результаты Леви-Чивита. [7] [8]
Обозначения
Метрика g может принимать в качестве аргументов до двух векторов или векторных полей X , Y. В первом случае выходные данные представляют собой число, (псевдо-) внутренний продукт X и Y . В последнем случае скалярное произведение X p , Y p берется во всех точках p на многообразии так, что g ( X , Y ) определяет гладкую функцию на M . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В местных координатах действие читается![{\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где используется соглашение Эйнштейна о суммировании.
Формальное определение
Аффинная связность называется связностью Леви-Чивита, если![{\displaystyle \набла }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- он сохраняет метрику , т. е. .
![{\displaystyle \nabla g=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- оно без кручения , т. е. для любых векторных полей и имеем , где – скобка Ли векторных полей и .
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Условие 1 выше иногда называют совместимостью с метрикой , а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст Ду Кармо. [9]
Основная теорема (псевдо)римановой геометрии
Теорема. Каждое (псевдо)риманово многообразие имеет единственную связность Леви Чивиты .![{\displaystyle (M,g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \набла }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство : Чтобы доказать единственность, разгадайте определение действия связности на тензоры, чтобы найти
.
Следовательно, условие сохранения метрики можно записать в виде![{\displaystyle \набла }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
По симметрии ,![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Поэтому в силу отсутствия кручения правая часть равна
.
Таким образом, формула Кошуля
![{\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr)}+ Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([ Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
держит. Следовательно, если связность Леви-Чивита существует, она должна быть единственной, поскольку произвольна, невырождена и правая часть не зависит от . ![{\displaystyle Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \набла }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Чтобы доказать существование, обратите внимание, что для данного векторного поля и правая часть выражения Кошуля линейна по гладким функциям в векторном поле , а не только вещественно-линейна. Следовательно, в силу невырожденности правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое наводит на мысль обозначаться как в левой части. Подставив формулу Кошуля, теперь можно проверить, что для всех векторных полей и всех функций![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{X}Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X,Y,Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X} Y_{2},Z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связность, причем эта связность совместима с метрикой и не имеет кручения, т. е. является связностью Леви-Чивита.
С небольшими изменениями то же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая предписанное кручение.
Символы Кристоффеля
Пусть – аффинная связность на касательном расслоении. Выберите локальные координаты с полями базисных векторов координат и напишите для . Символы Кристоффеля относительно этих координат определяются как![{\displaystyle \набла }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{1},\ldots,x^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{1},\ldots,\partial _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma _ {jk}^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \набла }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связность в координатной окрестности, поскольку![{\displaystyle \набла }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&= X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k} )\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j} (Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{ \bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
то есть,
![{\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аффинное соединение совместимо с метрикой тогда и только тогда, когда![{\displaystyle \набла }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr)}=g(\nabla _{i}\partial _{j} ,\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l} ,\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
т.е. тогда и только тогда, когда
![{\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_ {jl}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аффинная связность ∇ не имеет кручения тогда и только тогда, когда
![{\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l })\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
т.е. тогда и только тогда, когда
![{\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
симметричен по двум нижним индексам.
Как можно проверить, взяв за координатные векторные поля (или вычислить непосредственно), выражение Кошуля связи Леви-Чивита, полученное выше, эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как![{\displaystyle X,Y,Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_ {rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где, как обычно, – коэффициенты двойственного метрического тензора, т.е. элементы обратной матрицы .![{\displaystyle g^{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{kl}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Производная по кривой
Связность Леви-Чивита (как и любая аффинная связность) также определяет производную по кривым , иногда обозначаемую D.
Учитывая гладкую кривую γ на ( M , g ) и векторное поле V вдоль γ, ее производная определяется формулой
![{\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Формально D — это обратное соединение γ *∇ на расслоении обратного образа γ * TM .
В частности, – векторное поле вдоль самой кривой γ . Если равен нулю, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально это условие можно переформулировать как исчезновение обратного соединения, примененного к :![{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _ {{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\gamma }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивита некоторой метрики, то геодезическими для связности являются именно те геодезические метрики , которые параметризуются пропорционально длине своей дуги.
Параллельная транспортировка
В общем, параллельный транспорт вдоль кривой относительно соединения определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если соединение является соединением Леви-Чивита, то эти изоморфизмы ортогональны , то есть сохраняют скалярные произведения в различных касательных пространствах.
На изображениях ниже показан параллельный транспорт, вызванный связью Леви-Чивита, связанной с двумя разными римановыми метриками на проколотой плоскости . Кривая, по которой осуществляется параллельный транспорт, представляет собой единичный круг. В полярных координатах метрика слева — это стандартная евклидова метрика , а метрика справа — . Первая метрика распространяется на всю плоскость, а вторая имеет особенность в начале координат:
![{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Внимание: это параллельная транспортировка по проколотой плоскости по единичному кругу, а не параллельная транспортировка по единичному кругу. Действительно, на первом изображении векторы выходят за пределы касательного пространства к единичной окружности.
Пример: единичная сфера вР 3
Пусть ⟨, ⟩ — обычное скалярное произведение на R3 . Пусть S2 — единичная сфера в R3 . Касательное пространство к S2 в точке m естественным образом отождествляется с векторным подпространством R3 , состоящим из всех векторов , ортогональных m . Отсюда следует , что векторное поле Y на S2 можно рассматривать как отображение Y : S2 → R3 , которое удовлетворяет условию![{\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обозначим dm Y дифференциал отображения Y в точке m . Тогда у нас есть:
Лемма — Формула
определяет аффинную связность на S 2 с исчезающим кручением.![{\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ДоказательствоНепосредственно доказывается, что ∇ удовлетворяет тождеству Лейбница и является C ∞ ( S 2 ) линейной по первой переменной. Также можно с помощью простых вычислений показать, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, это то, что приведенная выше формула создает векторное поле, касательное к S 2 . То есть нам нужно доказать, что для всех m в S 2
рассмотрим отображение f , которое переводит каждое m в S 2 в ⟨ Y ( m ), m ⟩ , которое всегда равно 0. Отображение f является постоянным, следовательно, его дифференциал обращается в нуль. . В частности,
следует уравнение (1), приведенное выше. КЭД![{\displaystyle {\bigl \langle}\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m {\bigr \rangle }=0\qquad (1).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle d_ {m} f (X) = {\ bigl \ langle } d_ {m} Y (X), m {\ bigr \ rangle } + {\ bigl \ langle } Y (m), X (m) {\bigr \rangle }=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Фактически эта связность является связностью Леви-Чивита для метрики на S2 , унаследованной от R3 . Действительно, можно проверить, что эта связность сохраняет метрику.
Поведение при конформном масштабировании
Если метрику в конформном классе заменить конформно перемасштабированной метрикой того же класса , то связность Леви-Чивита преобразуется по правилу [10]
где – векторное поле градиента, т. е. векторное поле -двойственное к , в локальном координаты, заданные . Действительно, проверить, что оно не имеет кручения, тривиально. Чтобы проверить метрику, предположим, что она постоянна. В таком случае,![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )Xg(X,Y)\mathrm {grad} _{ г}(\гамма ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(\gamma)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \гамма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\gamma }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g^{ik}(\partial _{i}\gamma)\partial _{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {\набла }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle g (Y, Y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma){\hat {g}}(Y,Y)={\frac { 1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В качестве приложения снова рассмотрим единичную сферу, но на этот раз в стереографической проекции , так что метрика (в комплексных координатах Фубини–Студи ) равна:
Это демонстрирует метрику сферы как конформно плоскую, с евклидовой метрикой , с . Мы имеем , и поэтому
С евклидовым градиентом мы имеем
Эти отношения вместе с их комплексно-сопряженными числами определяют символы Кристоффеля для двухсферы.![{\displaystyle z,{\bar {z}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{- 1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+ z{\bar {z}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma)=- (1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+ z\partial _{\bar {z}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ аб Леви-Чивита, Туллио (1917). «Nozione diparallismo in una varietà qualunque» [Понятие параллелизма на любом многообразии]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке). 42 : 173–205. дои : 10.1007/BF03014898. ЖФМ 46.1125.02. S2CID 122088291.
- ^ Кристоффель, Элвин Б. (1869). «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades». Журнал для королевы и математики . 1869 (70): 46–70. дои : 10.1515/crll.1869.70.46. S2CID 122999847.
- ^ См. Спивак, Майкл (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том II) . Опубликуй или погибни Пресса. п. 238. ИСБН 0-914098-71-3.
- ^ Брауэр, LEJ (1906). «Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген . 15 : 75–94.
- ^ Брауэр, LEJ (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств отрицательной кривизны». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Слушания . 9 : 116–133. Бибкод : 1906KNAB....9..116B.
- ^ Схоутен, Ян Арнольдус (1918). «Die Directe Analysis zur neueren Relativiteitstheorie». Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . 12 (6): 95.
- ^ Вейль, Герман (1918). «Гравитация и электризитат». Sitzungsberichte Berliner Akademie : 465–480.
- ^ Вейль, Герман (1918). «Бесконечно-малая геометрия Рейне». Mathematische Zeitschrift . 2 (3–4): 384–411. Бибкод : 1918MatZ....2..384W. дои : 10.1007/bf01199420. S2CID 186232500.
- ^ Карму, Манфредо Пердиган-ду (1992). Риманова геометрия. Фрэнсис Дж. Флаэрти. Бостон: Биркхойзер. ISBN 0-8176-3490-8. ОСЛК 24667701.
- ^ Артур Бесс (1987). Многообразия Эйнштейна . Спрингер. п. 58.
Рекомендации
Внешние ссылки