В математике конформная геометрия — это изучение набора сохраняющих угол ( конформных ) преобразований в пространстве.
В реальном двумерном пространстве конформная геометрия — это в точности геометрия римановых поверхностей . В пространстве выше двух измерений конформная геометрия может относиться либо к изучению конформных преобразований так называемых «плоских пространств» (таких как евклидовы пространства или сферы ), либо к изучению конформных многообразий , которые являются римановыми или псевдоримановыми многообразиями. с классом метрик , которые определены в масштабе. Изучение плоских структур иногда называют геометрией Мёбиуса и является разновидностью геометрии Клейна .
Конформное многообразие — это псевдориманово многообразие, снабженное классом эквивалентности метрических тензоров , в котором две метрики g и h эквивалентны тогда и только тогда, когда
где λ — вещественная гладкая функция , определенная на многообразии и называемая конформным фактором . Класс эквивалентности таких метрик известен как конформная метрика или конформный класс . Таким образом, конформную метрику можно рассматривать как метрику, которая определяется только «до масштаба». Часто конформные метрики обрабатываются путем выбора метрики из конформного класса и применения к выбранной метрике только «конформно-инвариантных» конструкций.
Конформная метрика является конформно плоской, если существует представляющая ее метрика, которая является плоской в обычном смысле, когда тензор кривизны Римана обращается в нуль. В конформном классе можно найти только метрику, плоскую в открытой окрестности каждой точки. При необходимости различать эти случаи последний называют локально конформно плоским , хотя часто в литературе никакого различия не выдерживают. n -сфера — это локально конформно плоское многообразие, которое не является глобально конформно плоским в этом смысле, тогда как евклидово пространство, тор или любое конформное многообразие, покрытое открытым подмножеством евклидова пространства, является (глобально) конформно плоским в этом смысле. смысл. Локально конформно плоское многообразие локально конформно геометрии Мёбиуса , что означает, что существует угол, сохраняющий локальный диффеоморфизм многообразия в геометрию Мёбиуса. В двух измерениях каждая конформная метрика локально конформно плоская. В размерности n > 3 конформная метрика локально конформно плоская тогда и только тогда, когда ее тензор Вейля равен нулю; в размерности n = 3 тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.
Конформная геометрия имеет ряд особенностей, отличающих ее от (псевдо)римановой геометрии. Во-первых, хотя в (псевдо)римановой геометрии в каждой точке имеется четко определенная метрика, в конформной геометрии существует только класс метрик. Таким образом, длину касательного вектора определить невозможно, но угол между двумя векторами можно определить. Другая особенность состоит в том, что здесь нет связи Леви-Чивита , поскольку если g и λ 2 g являются двумя представителями конформной структуры, то символы Кристоффеля g и λ 2 g не согласуются. Те, которые связаны с λ 2 g, будут включать производные функции λ, тогда как те, которые связаны с g, не будут.
Несмотря на эти различия, конформная геометрия по-прежнему доступна. Связность Леви-Чивита и тензор кривизны , хотя и определяются только после того, как был выделен конкретный представитель конформной структуры, действительно удовлетворяют определенным законам преобразования, включающим λ и его производные, когда выбирается другой представитель. В частности, (в размерности выше 3) тензор Вейля оказывается не зависящим от λ и, следовательно, является конформным инвариантом . Более того, даже несмотря на то, что на конформном многообразии нет соединения Леви-Чивита, вместо этого можно работать с конформным соединением , которое можно рассматривать либо как тип соединения Картана, смоделированного на соответствующей геометрии Мёбиуса, либо как соединение Вейля . Это позволяет определить конформную кривизну и другие инварианты конформной структуры.
Геометрия Мёбиуса - это изучение « евклидова пространства с добавленной точкой на бесконечности» или « пространства Минковского (или псевдоевклидова) с нулевым конусом , добавленным на бесконечности». То есть сеттинг представляет собой компактификацию привычного пространства; геометрия связана с последствиями сохранения углов .
На абстрактном уровне евклидово и псевдоевклидово пространство можно обрабатывать практически одинаково, за исключением случая второго измерения. Компактифицированная двумерная плоскость Минковского демонстрирует обширную конформную симметрию . Формально его группа конформных преобразований бесконечномерна. Напротив, группа конформных преобразований компактифицированной евклидовой плоскости всего лишь 6-мерна.
Конформная группа для квадратичной формы Минковского q ( x , y ) = 2 xy на плоскости является абелевой группой Ли.
с алгеброй Ли cso (1, 1) , состоящей из всех вещественных диагональных матриц размера 2 × 2 .
Рассмотрим теперь плоскость Минковского, снабженную метрикой
Однопараметрическая группа конформных преобразований порождает векторное поле X со свойством, что производная Ли от g вдоль X пропорциональна g . Символически,
В частности, используя приведенное выше описание алгебры Ли cso (1, 1) , отсюда следует, что
для некоторых действительных функций a и b , зависящих соответственно от x и y .
И наоборот, для любой такой пары вещественных функций существует векторное поле X , удовлетворяющее условиям 1 и 2. Следовательно, алгебра Ли инфинитезимальных симметрий конформной структуры, алгебра Витта , бесконечномерна .
Конформная компактификация плоскости Минковского является декартовым произведением двух окружностей S 1 × S 1 . На универсальном накрытии нет препятствий к интегрированию бесконечно малых симметрий, поэтому группа конформных преобразований представляет собой бесконечномерную группу Ли
где Diff( S 1 ) — группа диффеоморфизмов окружности. [1]
Конформная группа CSO(1, 1) и ее алгебра Ли представляют современный интерес в двумерной конформной теории поля .
Группа конформных симметрий квадратичной формы
— это группа GL 1 ( C ) = C × , мультипликативная группа комплексных чисел. Его алгебра Ли — gl 1 ( C ) = C .
Рассмотрим (евклидову) комплексную плоскость , снабженную метрикой
Инфинитезимальные конформные симметрии удовлетворяют
где f удовлетворяет уравнению Коши–Римана и поэтому голоморфна в своей области определения. (См. «Алгебра Витта» .)
Таким образом, конформные изометрии области состоят из голоморфных автоотображений. В частности, на конформной компактификации – сфере Римана – конформные преобразования задаются преобразованиями Мёбиуса
где ad − bc не равно нулю.
В двух измерениях группа конформных автоморфизмов пространства может быть достаточно большой (как в случае лоренцевой сигнатуры) или переменной (как в случае евклидовой сигнатуры). Сравнительная недостаточная жесткость двумерного случая по сравнению с случаем более высоких измерений обусловлена аналитическим фактом, что асимптотические развития бесконечно малых автоморфизмов структуры относительно неограничены. В лоренцевой сигнатуре свобода находится в паре вещественнозначных функций. В евклидовом языке свобода заключена в одной голоморфной функции.
В случае более высоких размерностей асимптотические развития бесконечно малых симметрий представляют собой не более чем квадратичные полиномы. [2] В частности, они образуют конечномерную алгебру Ли . Поточечные инфинитезимальные конформные симметрии многообразия могут быть проинтегрированы именно тогда, когда многообразие представляет собой определенное модельное конформно плоское пространство ( с точностью до взятия универсальных накрытий и дискретных групповых факторов). [3]
Общая теория конформной геометрии аналогична, хотя и с некоторыми различиями, в случаях евклидовой и псевдоевклидовой сигнатур. [4] В любом случае существует ряд способов введения модельного пространства конформно плоской геометрии. Если иное не ясно из контекста, в этой статье рассматривается случай евклидовой конформной геометрии с пониманием того, что она также применима, mutatis mutandis , к псевдоевклидовой ситуации.
Инверсивная модель конформной геометрии состоит из группы локальных преобразований евклидова пространства En , порожденных инверсией в сферах. По теореме Лиувилля любое локальное (конформное) преобразование, сохраняющее угол, имеет такой вид. [5] С этой точки зрения, свойства преобразования плоского конформного пространства аналогичны свойствам инверсной геометрии .
Проективная модель отождествляет конформную сферу с некоторой квадрикой в проективном пространстве . Пусть q обозначает лоренцеву квадратичную форму на R n +2 , определенную формулой
В проективном пространстве P ( Rn + 2 ) пусть S будет местом q = 0 . Тогда S — проективная (или Мёбиуса) модель конформной геометрии. Конформное преобразование на S — это проективное линейное преобразование P ( R n +2 ) , которое оставляет квадрику инвариантной.
В родственной конструкции квадрика S рассматривается как небесная сфера на бесконечности нулевого конуса в пространстве Минковского R n +1,1 , которое снабжено квадратичной формой q , как указано выше. Нулевой конус определяется формулой
Это аффинный конус над проективной квадрикой S. Пусть N + — будущая часть нулевого конуса (с удаленным началом координат). Тогда тавтологическая проекция Rn + 1,1 \{0} → P ( Rn + 2 ) ограничивается проекцией N + → S. Это дает N + структуру линейного расслоения над S . Конформные преобразования на S индуцируются ортохронными преобразованиями Лоренца R n +1,1 , поскольку это однородные линейные преобразования, сохраняющие будущий нулевой конус.
Интуитивно понятно, что конформно-плоская геометрия сферы менее жесткая, чем риманова геометрия сферы. Конформные симметрии сферы порождаются инверсией во всех ее гиперсферах . С другой стороны, римановы изометрии сферы порождены инверсиями в геодезических гиперсферах (см. теорему Картана – Дьедонне ). Евклидова сфера может быть отображена в конформную сферу каноническим образом, но не наоборот.
Евклидова единичная сфера - это локус в R n +1
Это можно отобразить в пространство Минковского R n +1,1 , полагая
Легко видеть, что образ сферы при таком преобразовании равен нулю в пространстве Минковского и, следовательно, лежит на конусе N + . Следовательно, оно определяет сечение линейного расслоения N + → S .
Тем не менее выбор был произвольный. Если κ ( x ) — любая положительная функция от x = ( z , x0 , ..., xn ) , то назначение
также дает отображение в N + . Функция κ представляет собой произвольный выбор конформной шкалы .
Представительная риманова метрика на сфере — это метрика, пропорциональная стандартной метрике сферы. Это дает реализацию сферы как конформного многообразия. Стандартная метрика сферы — это ограничение евклидовой метрики на R n +1
в сферу
Конформный представитель g — это метрика вида λ 2 g , где λ — положительная функция на сфере. Конформный класс g , обозначаемый [ g ], представляет собой совокупность всех таких представителей:
Вложение евклидовой сферы в N + , как и в предыдущем разделе, определяет конформный масштаб на S . И наоборот, любая конформная шкала на S задается таким вложением. Таким образом, линейное расслоение N + → S отождествляется с расслоением конформных шкал на S : задать сечение этого расслоения равносильно указанию метрики в конформном классе [ g ].
Другой способ реализовать репрезентативные метрики — использовать специальную систему координат на R n +1, 1 . Предположим, что евклидова n -сфера S несет в себе стереографическую систему координат . Оно состоит из следующего отображения Rn → S ⊂ Rn + 1 :
В терминах этих стереографических координат можно задать систему координат на нулевом конусе N + в пространстве Минковского. Используя приведенное выше вложение, представительное метрическое сечение нулевого конуса равно
Введем новую переменную t , соответствующую расширениям вверх N + , так, чтобы нулевой конус координировался формулой
Наконец, пусть ρ будет следующей определяющей функцией N + :
В координатах t , ρ , y на R n +1,1 метрика Минковского принимает вид:
где g ij — метрика на сфере.
В этих терминах раздел расслоения N + состоит из спецификации значения переменной t = t ( y i ) как функции y i вдоль нулевого конуса ρ = 0 . Это дает следующего представителя конформной метрики на S :
Рассмотрим сначала случай плоской конформной геометрии в евклидовой сигнатуре. n -мерная модель представляет собой небесную сферу ( n + 2) -мерного лоренцева пространства R n +1,1 . Здесь модель представляет собой геометрию Клейна : однородное пространство G / H , где G = SO( n + 1, 1) , действующее на ( n + 2) -мерное лоренцево пространство R n +1,1 , а H — группа изотропии фиксированный нулевой луч в световом конусе . Таким образом, конформно плоские модели являются пространствами инверсной геометрии . Для псевдоевклидова метрической сигнатуры ( p , q ) плоская геометрия модели определяется аналогично однородному пространству O( p + 1, q + 1)/ H , где H снова принимается как стабилизатор нулевой линии. Обратите внимание, что как евклидово, так и псевдоевклидово модельные пространства компактны .
Чтобы описать группы и алгебры, участвующие в плоском модельном пространстве, зафиксируйте следующую форму на R p +1, q +1 :
где J — квадратичная форма подписи ( p , q ) . Тогда G = O( p + 1, q + 1) состоит из ( n + 2) × ( n + 2) матриц, стабилизирующих Q : t MQM = Q . Алгебра Ли допускает разложение Картана
где
Альтернативно, это разложение согласуется с естественной структурой алгебры Ли, определенной на R n ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R n ) ∗ .
Стабилизатор нулевого луча, направленного вверх по последнему координатному вектору, задается борелевской подалгеброй