В математике , если задано векторное пространство X с соответствующей квадратичной формой q , обозначаемой как ( X , q ) , то нулевой вектор или изотропный вектор — это ненулевой элемент x пространства X , для которого q ( x ) = 0 .
В теории действительных билинейных форм различают определенные квадратичные формы и изотропные квадратичные формы . Они отличаются тем, что только для последних существует ненулевой нулевой вектор.
Квадратичное пространство ( X , q ), имеющее нулевой вектор, называется псевдоевклидовым пространством . Термин изотропный вектор v, когда q ( v ) = 0, использовался в квадратичных пространствах [1] и анизотропное пространство для квадратичного пространства без нулевых векторов.
Псевдоевклидово векторное пространство может быть разложено (не единственным образом) на ортогональные подпространства A и B , X = A + B , где q положительно определено на A и отрицательно определено на B. Нулевой конус , или изотропный конус , пространства X состоит из объединения сбалансированных сфер: Нулевой конус также является объединением изотропных прямых, проходящих через начало координат.
Композиционная алгебра с нулевым вектором является расщепляемой алгеброй . [2]
В композиционной алгебре ( A , +, ×, *) квадратичная форма имеет вид q( x ) = xx *. Когда x — нулевой вектор, то для x не существует мультипликативного обратного , и поскольку x ≠ 0, A не является алгеброй с делением .
В конструкции Кэли–Диксона расщепленные алгебры возникают в рядах бикомплексных чисел , бикватернионов и биоктонионов , которые используют поле комплексных чисел в качестве основы этой конструкции удвоения, предложенной Л. Э. Диксоном (1919). В частности, эти алгебры имеют две мнимые единицы , которые коммутируют, так что их произведение при возведении в квадрат дает +1:
Действительные подалгебры, расщепленные комплексные числа , расщепленные кватернионы и расщепленные октонионы с их нулевыми конусами, представляющими свет, движущийся в точку 0 ∈ A и из нее , предполагают топологию пространства-времени .
Светоподобные векторы пространства Минковского являются нулевыми векторами.
Четыре линейно независимых бикватерниона l = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hk , и m ∗ = 1 – hk являются нулевыми векторами и { l , n , m , m ∗ } могут служить основой для подпространства, используемого для представления пространства-времени . Нулевые векторы также используются в подходе формализма Ньюмена-Пенроуза к пространственно-временным многообразиям. [3]
В модуле Верма алгебры Ли имеются нулевые векторы.
