Модуль Верма

Модули Вермы , названные в честь Дайя-Нанда Вермы , — объекты теории представлений алгебр Ли , раздела математики .

Модули Вермы можно использовать при классификации неприводимых представлений комплексной полупростой алгебры Ли. В частности, хотя модули Верма сами по себе являются бесконечномерными, их факторы можно использовать для построения конечномерных представлений с наибольшим весом , где является доминантным и целым. ^[1] Их гомоморфизмы соответствуют инвариантным дифференциальным операторам над многообразиями флагов . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Неформальное строительство

Вес модуля Verma с наибольшим весом ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \lambda }$

Мы можем объяснить идею модуля Verma следующим образом. ^[2] Позвольте быть полупростой алгеброй Ли (над , для простоты). Пусть – фиксированная подалгебра Картана и – ассоциированная корневая система. Пусть – фиксированный набор положительных корней. Для каждого выберите ненулевой элемент для соответствующего корневого пространства и ненулевой элемент в корневом пространстве . Мы думаем о 's' как о «повышающих операторах», а о 's' как о «понижающих операторах». ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Пусть теперь – произвольный линейный функционал, не обязательно доминантный или целочисленный. Наша цель — построить представление с наибольшим весом , которое генерируется одним ненулевым вектором с весом . Модуль Вермы — это один из таких модулей с наибольшим весом, который является максимальным в том смысле, что любой другой модуль с наибольшим весом является фактором модуля Верма. Окажется, что модули Верма всегда бесконечномерны; однако, если является доминирующим интегралом, можно построить конечномерный фактор-модуль модуля Вермы. Таким образом, модули Верма играют важную роль в классификации конечномерных представлений . В частности, они являются важным инструментом в сложной части теоремы о наибольшем весе , а именно показывают, что каждый доминирующий целочисленный элемент фактически возникает как наивысший вес конечномерного неприводимого представления . ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теперь попытаемся интуитивно понять, как должен выглядеть модуль Verma с наибольшим весом. Поскольку это должен быть вектор с наибольшим весом с весом , мы, конечно, хотим ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$

и

${\displaystyle X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Затем следует натянуть элементы, полученные путем понижения действием s : ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v}$.

Теперь мы наложим только те отношения между векторами вышеуказанной формы, которые требуются коммутационными отношениями между ''ами. В частности, модуль Верма всегда бесконечномерен. Веса модуля Вермы с наибольшим весом будут состоять из всех элементов , которые можно получить путем вычитания целочисленных комбинаций положительных корней. На рисунке показаны веса модуля Verma для . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Простой аргумент переупорядочения показывает, что существует только один возможный способ, которым полная алгебра Ли может действовать в этом пространстве. В частности, если есть какой-либо элемент из , то с помощью простой части теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта мы можем переписать ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ZY_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}}$

как линейная комбинация произведений элементов алгебры Ли с повышающими операторами, действующими первыми, элементами подалгебры Картана и последними понижающими операторами . Применяя эту сумму членов к , любой член с повышающим оператором равен нулю, любые факторы Картана действуют как скаляры, и, таким образом, мы получаем элемент исходной формы. ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle v}$

Чтобы лучше понять структуру модуля Вермы, мы можем выбрать порядок положительных корней как и обозначить соответствующие понижающие операторы через . Затем с помощью простого аргумента переупорядочения каждый элемент приведенной выше формы можно переписать как линейную комбинацию элементов с символами в определенном порядке: ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v}$,

где 's - неотрицательные целые числа. Собственно, такие векторы и составляют основу модуля Вермы. ${\displaystyle k_{j}}$

Хотя данное описание модуля Верма дает интуитивное представление о том, как он выглядит, все же остается дать его строгую конструкцию. В любом случае модуль Вермы дает — для любого , не обязательно доминантного или целого, — представление с наибольшим весом . Цена, которую мы платим за эту относительно простую конструкцию, — это то, что она всегда бесконечномерна. В случае, когда является доминантным и целым, можно построить конечномерный неприводимый фактор модуля Вермы. ^[3] ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Случай sl(2; C)

Пусть будет обычным основанием для : ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

при этом подалгебра Картана является промежутком . Пусть определяется для произвольного комплексного числа . Тогда модуль Верма с наибольшим весом натянут на линейно независимые векторы и действие базисных элементов будет следующим: ^[4] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (H)=m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

(Это означает, в частности, то и это .) Эти формулы мотивированы тем, как базисные элементы действуют в конечномерных представлениях , за исключением того, что мы больше не требуем, чтобы «цепочка» собственных векторов для заканчивалась. ${\displaystyle H\cdot v_{0}=mv_{0}}$ ${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H}$

В этой конструкции — произвольное комплексное число, не обязательно вещественное, положительное или целое. Тем не менее случай, когда – неотрицательное целое число, является особым. В этом случае легко увидеть, что размах векторов инвариантен, потому что . Тогда фактор-модуль представляет собой конечномерное неприводимое представление размерности ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m+1.}$

Определение модулей Verma

Существует две стандартные конструкции модуля Вермы, обе из которых включают концепцию универсальной обертывающей алгебры . Продолжим обозначения предыдущего раздела: – комплексная полупростая алгебра Ли, – фиксированная подалгебра Картана, – ассоциированная система корней с фиксированным набором положительных корней. Для каждого мы выбираем ненулевые элементы и . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$

Как фактор обертывающей алгебры

Первая конструкция ^[5] модуля Верма представляет собой фактор универсальной обертывающей алгебры . Поскольку предполагается, что модуль Верма является -модулем, он также будет -модулем в силу универсального свойства обертывающей алгебры. Таким образом, если у нас есть модуль Вермы с вектором старшего веса , будет линейное отображение из в, заданное выражением ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})}$.

Поскольку предполагается, что карта создается с помощью , карта должна быть сюръективной. Поскольку предполагается, что это вектор с наибольшим весом, ядро ​​должно включать все корневые векторы для in . Поскольку также предполагается весовой вектор с весом , ядро ​​должно включать все векторы вида ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Наконец, ядро ​​должно быть левым идеалом в ; ведь если тогда для всех . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$ ${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$ ${\displaystyle y\in U({\mathfrak {g}})}$

Предыдущее обсуждение мотивирует следующую конструкцию модуля Вермы. Определим как фактор-векторное пространство ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$,

где левый идеал, порожденный всеми элементами вида ${\displaystyle I_{\lambda }}$

${\displaystyle X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},}$

и

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Поскольку это левый идеал, естественное левое действие на себя переносится на частное. Таким образом, является -модулем и, следовательно, также -модулем. ${\displaystyle I_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Путем расширения скаляров

Процедура « расширения скаляров » — это метод замены левого модуля над одной алгеброй (не обязательно коммутативной) в левый модуль над большей алгеброй, содержащей подалгебру. Мы можем думать о нем как о правом -модуле, где действует умножением справа. Поскольку это левый -модуль и правый -модуль, мы можем сформировать тензорное произведение этих двух по алгебре : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$.

Теперь, поскольку является левым -модулем над самим собой, указанное выше тензорное произведение несет структуру левого модуля над большей алгеброй , однозначно определяемую требованием, что ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

для всех и в . Таким образом, начиная с левого -модуля , мы создали левый -модуль . ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$

Теперь мы применим эту конструкцию в случае полупростой алгебры Ли. Мы позволяем быть подалгеброй, натянутой на и корневыми векторами с . (Таким образом, это «борелевская подалгебра» в .) Мы можем сформировать левый модуль над универсальной обертывающей алгеброй следующим образом: ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

• ${\displaystyle F_{\lambda }}$- это одномерное векторное пространство, натянутое на один вектор вместе со структурой -модуля , которая действует как умножение на , а пространства положительных корней действуют тривиально: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Мотивацией для этой формулы является то, что она описывает, как должно действовать на вектор с наивысшим весом в модуле Verma. ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

Теперь из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта следует, что это подалгебра . Таким образом, мы можем применить расширение скалярной техники для преобразования левого -модуля в левый -модуль следующим образом: ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$.

Так как — левый -модуль, то он, в частности, является модулем (представлением) для . ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Структура модуля Верма

Какая бы конструкция модуля Верма ни использовалась, необходимо доказать, что она нетривиальна, т. е. не является нулевым модулем. На самом деле можно использовать теорему Пуанкаре–Биркгофа–Витта, чтобы показать, что лежащее в основе векторное пространство изоморфно ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

где - подалгебра Ли, порожденная пространствами отрицательных корней (то есть 's). ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Основные свойства

Модули Верма, рассматриваемые как -модули , являются модулями с наивысшим весом , т.е. они генерируются вектором с наибольшим весом . Этот вектор с наибольшим весом (первый - это единица в, а второй - это единица в поле , рассматриваемом как -модуль ) и он имеет вес . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1\otimes 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Множественность

Модули Верма являются весовыми модулями , т.е. представляют собой прямую сумму всех своих весовых пространств . Каждое весовое пространство в конечномерно, а размерность -весового пространства равна количеству способов выражения в виде суммы положительных корней (это тесно связано с так называемой статистической суммой Костанта ). Это утверждение следует из более раннего утверждения о том, что модуль Верма изоморфен как векторное пространство , а также из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта для . ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

Универсальная собственность

Модули Верма обладают очень важным свойством: если какое-либо представление порождается вектором с наибольшим весом , то существует сюръективный гомоморфизм . То есть все представления с наибольшим весом , порождаемые вектором с наибольшим весом (так называемые модули с наибольшим весом ). являются частными​ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }.}$

Неприводимый факторный модуль

${\displaystyle W_{\lambda }}$содержит единственный максимальный подмодуль и его фактор является единственным (с точностью до изоморфизма ) неприводимым представлением со старшим весом ^[7]. Если старший вес является доминантным и целым, то доказывается, что этот неприводимый фактор на самом деле конечномерен. ^[8] ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda }$

В качестве примера рассмотрим случай, рассмотренный выше. Если наивысший вес является «доминирующим целым» — то есть просто неотрицательным целым числом — тогда диапазон элементов инвариантен. Тогда факторпредставление неприводимо с размерностью . Факторпредставление натянуто на линейно независимые векторы . Действие такое же, как и в модуле Верма, за исключением того, что в частном, по сравнению с модулем Верма. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle Yv_{m}=0}$ ${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$

Сам модуль Верма неприводим тогда и только тогда, когда он антидоминантен. ^[9] Следовательно, когда является целым, является неприводимым тогда и только тогда, когда ни одна из координат в базисе фундаментальных весов не принадлежит множеству , в то время как, вообще говоря, это условие необходимо, но недостаточно для того, чтобы быть неприводимым. ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

Другие объекты недвижимости

Модуль Вермы называется регулярным , если его старший вес λ находится на аффинной орбите Вейля доминантного веса . Другими словами, существует элемент w группы Вейля W такой, что ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

где – аффинное действие группы Вейля . ${\displaystyle \cdot }$

Модуль Вермы называется сингулярным , если на аффинной орбите λ нет доминирующего веса. В этом случае существует вес такой, что находится на стенке фундаментальной камеры Вейля (δ — сумма всех фундаментальных весов ). ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Гомоморфизмы модулей Верма

Для любых двух весов нетривиальный гомоморфизм ${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

может существовать только в том случае, если и связаны с аффинным действием группы Вейля алгебры Ли . Это легко следует из теоремы Хариш-Чандры о бесконечно малых центральных характерах . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Каждый гомоморфизм модулей Верма инъективен и размерность

${\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1}$

для любого . Итак, существует ненулевой модуль тогда и только тогда, когда он изоморфен (единственному) подмодулю модуля . ${\displaystyle \mu ,\lambda }$ ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

Полная классификация гомоморфизмов модулей Вермы была проведена Бернштейном–Гельфандом–Гельфандом ^[10] и Вермой ^[11] и может быть резюмирована в следующем утверждении:

Ненулевой гомоморфизм существует тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

последовательность весов

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$

такой, что для некоторых положительных корней (и является соответствующим корневым отражением и является суммой всех фундаментальных весов ) и для каждого является натуральным числом ( корень , связанный с корнем ). ${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$ ${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

Если модули Верма и регулярны, то существуют единственный доминантный вес и единственные элементы w , w ′ группы Вейля W такие, что ${\displaystyle M_{\mu }}$ ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$

и

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$

где – аффинное действие группы Вейля. Если веса далее целые , то существует ненулевой гомоморфизм ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

если и только если

${\displaystyle w\leq w'}$

в порядке Брюа группы Вейля.

Серия Джордана – Гёльдера

Позволять

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}$

— последовательность -модулей такая, что фактор B/A неприводим со старшим весом ц. Тогда существует ненулевой гомоморфизм . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Легким следствием этого является то, что для любых модулей с наибольшим весом, таких что ${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$

существует ненулевой гомоморфизм . ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Резолюция Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда.

Пусть – конечномерное неприводимое представление алгебры Ли со старшим весом λ. Из раздела о гомоморфизмах модулей Вермы мы знаем, что существует гомоморфизм ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}$

если и только если

${\displaystyle w\leq w'}$

в порядке Брюа группы Вейля . Следующая теорема описывает проективное разрешение в терминах модулей Вермы (она была доказана Бернштейном – Гельфандом – Гельфандом в 1975 г. ^[12] ): ${\displaystyle V_{\lambda }}$

Существует точная последовательность -гомоморфизмов ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$

где n — длина наибольшего элемента группы Вейля.

Аналогичное решение существует и для обобщенных модулей Вермы . Кратко это обозначается как резолюция BGG .

Смотрите также

• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Теорема о старшем весе
• Обобщенный модуль Верма
• Модуль Вейля

Примечания

1. Например, Холл 2015, глава 9.
2. Зал 2015 г., раздел 9.2.
3. Зал 2015 г., разделы 9.6 и 9.7.
4. Зал 2015 г., разделы 9.2.
5. Зал 2015 г., раздел 9.5.
6. Холл, 2015 г., Теорема 9.14.
7. Зал 2015 г., раздел 9.6.
8. Зал 2015 г., раздел 9.7.
9. Хамфрис, Джеймс (22 июля 2008 г.). Представления полупростых алгебр Ли в категории BGG 𝒪. Аспирантура по математике. Том. 94. Американское математическое общество. дои : 10.1090/gsm/094. ISBN 978-0-8218-4678-0.
10. Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И., Структура представлений, порожденных векторами старшего веса, Функционал. Анальный. Прил. 5 (1971)
11. Верма Н., Структура некоторых индуцированных представлений комплексных полупростых алгебр Ли, Bull. амер. Математика. Соц. 74 (1968)
12. Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И., Дифференциальные операторы в базовом аффинном пространстве и исследование g-модулей, групп Ли и их представлений , И.М. Гельфанд, Ред., Адам Хильгер, Лондон, 1975.

Рекомендации

• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. Глава 20. ISBN 978-0-444-82836-1– через ScienceDirect .
• Картер, Р. (2005), Алгебры Ли конечного и аффинного типа , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85138-1.
• Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры , Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-11077-0.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Дж. (1980), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.
• Кнапп, AW (2002), Группы лжи за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser, стр. 285, ISBN 978-0-8176-3926-6.
• Роча, Алвани (2001) [1994], «Разрешение BGG», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Роггенкамп, К.; Стефанеску, М. (2002), Алгебра — теория представлений , Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4.

В эту статью включены материалы из модуля Verma на PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .