Вес (теория представлений)

В математической области теории представлений вес алгебры A над полем F — это гомоморфизм алгебры из A в F или, что эквивалентно, одномерное представление A над F. Это алгебраический аналог мультипликативного характера группы . Важность этого понятия, однако, вытекает из его применения к представлениям алгебр Ли и, следовательно, также к представлениям алгебраических и групп Ли . В этом контексте вес представления является обобщением понятия собственного значения , а соответствующее собственное пространство называется весовым пространством .

Мотивация и общая концепция

Если задано множество S матриц над одним и тем же полем, каждая из которых диагонализуема , и любые две из которых коммутируют , то всегда можно одновременно диагонализировать все элементы S. ^{[примечание 1]} Эквивалентно, для любого множества S взаимно коммутирующих полупростых линейных преобразований конечномерного векторного пространства V существует базис V , состоящий из ${\displaystyle n\times n}$ одновременные собственные векторы всех элементов S . Каждый из этих общих собственных векторов v ∈ V определяет линейный функционал на подалгебре U алгебры End( V  ), порожденной множеством эндоморфизмов S ; этот функционал определяется как отображение, которое сопоставляет каждому элементу U его собственное значение на собственном векторе v . Это отображение также является мультипликативным и переводит единицу в 1; таким образом, это гомоморфизм алгебры из U в базовое поле. Это «обобщенное собственное значение» является прототипом для понятия веса.

Понятие тесно связано с идеей мультипликативного характера в теории групп , который является гомоморфизмом χ из группы G в мультипликативную группу поля F. Таким образом, χ : G → F × ^{удовлетворяет} χ ( e ) = 1 (где e — единичный элемент G ) и

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$для всех g , h в G .

Действительно, если G действует на векторное пространство V над F , каждое одновременное собственное подпространство для каждого элемента группы G , если таковое существует, определяет мультипликативный характер на G : собственное значение на этом общем собственном подпространстве каждого элемента группы.

Понятие мультипликативного характера можно распространить на любую алгебру A над F , заменив χ : G → F ^× линейным отображением χ : A → F следующим образом:

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

для всех a , b из A. Если алгебра A действует на векторное пространство V над F в любое одновременное собственное подпространство, это соответствует гомоморфизму алгебры из A в F, присваивающему каждому элементу A его собственное значение.

Если A — алгебра Ли (которая, как правило, не является ассоциативной алгеброй ), то вместо требования мультипликативности характера требуется, чтобы он отображал любую скобку Ли в соответствующий коммутатор ; но поскольку F коммутативна , это просто означает, что это отображение должно исчезать на скобках Ли: χ ([ a , b ]) = 0. Вес на алгебре Ли g над полем F — это линейное отображение λ: g → F с λ([ x , y ]) = 0 для всех x , y в g . Любой вес на алгебре Ли g исчезает на производной алгебре [ g , g ] и, следовательно, спускается до веса на абелевой алгебре Ли g /[ g , g ]. Таким образом, веса представляют интерес в первую очередь для абелевых алгебр Ли, где они сводятся к простому понятию обобщенного собственного значения для пространства коммутирующих линейных преобразований.

Если G — группа Ли или алгебраическая группа , то мультипликативный характер θ: G → F ^× индуцирует вес χ = dθ: g → F на ее алгебре Ли посредством дифференцирования. (Для групп Ли это дифференцирование по единичному элементу G , а случай алгебраической группы — это абстракция, использующая понятие вывода.)

Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

Пусть — комплексная полупростая алгебра Ли и подалгебра Картана . В этом разделе мы описываем концепции , необходимые для формулировки «теоремы о наибольшем весе», классифицирующей конечномерные представления . В частности, мы объясним понятие «доминантного целочисленного элемента». Сами представления описаны в статье, ссылка на которую приведена выше. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Вес представления

Пример весов представления алгебры Ли sl(3,C)

Пусть — представление алгебры Ли на векторном пространстве V над полем характеристики 0, скажем , и пусть — линейный функционал на , где — подалгебра Картана алгебры . Тогда ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$весовое пространство Vс весомλ— это подпространство,заданноеформулой ${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad (\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$.

Вес представления V (представление часто называют сокращенно векторным пространством V, над которым действуют элементы алгебры Ли, а не отображением ) — это линейный функционал λ, такой что соответствующее весовое пространство не равно нулю. Ненулевые элементы весового пространства называются весовыми векторами . То есть весовой вектор является одновременным собственным вектором для действия элементов , с соответствующими собственными значениями, заданными λ. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Если V — прямая сумма его весовых пространств

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

тогда V называетсявесовой модуль ;это соответствует наличию общегособственного базиса(базиса одновременных собственных векторов) для всех представленных элементов алгебры, т. е. наличию одновременно диагонализируемых матриц (см.диагонализируемая матрица).

Если G — группа с алгеброй Ли , каждое конечномерное представление G индуцирует представление . Тогда вес представления G — это просто вес ассоциированного представления . Существует тонкое различие между весами представлений групп и представлений алгебры Ли, которое заключается в том, что в этих двух случаях существует разное понятие условия целостности; см. ниже. (Условие целостности более ограничительно в случае группы, отражая тот факт, что не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Действие корневых векторов

Для присоединенного представления пространство , над которым действует представление, является самой алгеброй Ли. Тогда ненулевые веса называются корнями , весовые пространства называются корневыми пространствами , а весовые векторы, которые, таким образом, являются элементами , называются корневыми векторами . Явно, линейный функционал на называется корнем, если и существует ненулевой в такой, что ${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

для всех в . Совокупность корней образует корневую систему . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

С точки зрения теории представлений значимость корней и корневых векторов заключается в следующем элементарном, но важном результате: если — представление , v — весовой вектор с весом и X — корневой вектор с корнем , то ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

для всех H в . То есть, является либо нулевым вектором, либо вектором веса с весом . Таким образом, действие отображает пространство весов с весом в пространство весов с весом . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \sigma (X)(v)}$ ${\displaystyle \lambda +\alpha }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda +\alpha }$

Например, если , или комплексифицировано, корневые векторы охватывают алгебру и имеют веса , , и соответственно. Подалгебра Картана охватывается , а действие классифицирует весовые пространства. Действие отображает весовое пространство веса в весовое пространство веса , а действие отображает весовое пространство веса в весовое пространство веса , а действие отображает весовые пространства в себя. В фундаментальном представлении с весами и весовыми пространствами отображает в ноль и в , в то время как отображает в ноль и в , и отображает каждое весовое пространство в себя. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {H,X,Y}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda +1}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda -1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle H}$

Неотъемлемый элемент

Алгебраически целые элементы (треугольная решетка), доминирующие целые элементы (черные точки) и фундаментальные веса для sl(3,C)

Пусть будет действительным подпространством , порожденным корнями , где - пространство линейных функционалов , сопряженное пространство к . Для вычислений удобно выбрать скалярное произведение, инвариантное относительно группы Вейля, то есть относительно отражений относительно гиперплоскостей, ортогональных корням. Затем мы можем использовать это скалярное произведение для идентификации с подпространством . При такой идентификации корень , связанный с корнем, задается как ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

где обозначает внутреннее произведение векторов В дополнение к этому внутреннему произведению, обычно используется обозначение угловых скобок при обсуждении корневых систем , при этом угловая скобка определяется как Угловая скобка здесь не является внутренним произведением, поскольку она не симметрична и линейна только по первому аргументу. Обозначение угловых скобок не следует путать с внутренним произведением ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta .}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Теперь определим два различных понятия целочисленности для элементов . Мотивация этих определений проста: веса конечномерных представлений удовлетворяют первому условию целочисленности, тогда как если G — группа с алгеброй Ли , веса конечномерных представлений G удовлетворяют второму условию целочисленности. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Элемент является алгебраически целым , если ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

для всех корней . Мотивация этого условия заключается в том, что кокорень может быть отождествлен с элементом H в стандартном базисе для -подалгебры . ^[1] Согласно элементарным результатам для , собственные значения в любом конечномерном представлении должны быть целыми числами. Мы приходим к выводу, что, как указано выше, вес любого конечномерного представления является алгебраически целым числом. ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Фундаментальные веса определяются свойством, что они образуют базис двойственного множества кокорней, связанных с простыми корнями . То есть фундаментальные веса определяются условием ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

где — простые корни. Элемент тогда является алгебраически целым тогда и только тогда, когда он является целочисленной комбинацией фундаментальных весов. ^[3] Множество всех -целочисленных весов представляет собой решетку в , называемую решеткой весов для , обозначаемую . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$

На рисунке показан пример алгебры Ли , корневая система которой является корневой системой. Имеется два простых корня, и . Первый фундаментальный вес, , должен быть ортогонален и должен ортогонально проецироваться на половину , и аналогично для . Решетка весов тогда является треугольной решеткой. ${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Предположим теперь, что алгебра Ли является алгеброй Ли группы Ли G . Тогда мы говорим, что является аналитически целой ( G-целой ), если для каждого t из такого, что мы имеем . Причина введения этого определения заключается в том, что если представление возникает из представления G , то веса представления будут G -целыми. ^[4] Для полупростой G множество всех G -целых весов является подрешеткой P ( G ) ⊂ P ( ). Если G односвязна , то P ( G ) = P ( ). Если G не односвязна , то решетка P ( G ) меньше, чем P ( ), и их фактор изоморфен фундаментальной группе G . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$ ${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Частичное упорядочение в пространстве весов

Если положительные корни равны , , и , то заштрихованная область представляет собой множество точек выше ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Теперь введем частичное упорядочение на множестве весов, которое будет использоваться для формулировки теоремы о наибольшем весе, описывающей представления . Напомним, что R — это множество корней; теперь мы фиксируем множество положительных корней . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R^{+}}$

Рассмотрим два элемента и из . Нас в основном интересует случай, когда и являются целыми, но это предположение не является необходимым для определения, которое мы собираемся ввести. Затем мы говорим, что выше , чем , что мы записываем как , если выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами. ^[6] Это означает, грубо говоря, что «выше» означает в направлениях положительных корней. Мы эквивалентно говорим, что «ниже», чем , что мы записываем как . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$ ${\displaystyle \mu -\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$

Это лишь частичное упорядочение; легко может случиться, что оно не выше и не ниже . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Доминирующий вес

Целый элемент λ является доминирующим, если для каждого положительного корня γ . Эквивалентно, λ является доминирующим, если он является неотрицательной целочисленной комбинацией фундаментальных весов. В этом случае доминирующие целые элементы находятся в 60-градусном секторе. Понятие быть доминирующим не то же самое, что быть выше нуля. Обратите внимание, что серая область на рисунке справа представляет собой 120-градусный сектор, строго содержащий 60-градусный сектор, соответствующий доминирующим целым элементам. ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$ ${\displaystyle A_{2}}$

Множество всех λ (не обязательно целых) таких, что называется фундаментальной камерой Вейля, связанной с данным набором положительных корней. ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$

Теорема о наибольшем весе

Вес представления называется наибольшим весом, если любой другой вес меньше, чем . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$

Теория, классифицирующая конечномерные неприводимые представления , основана на «теореме о высшем весе». Теорема гласит, что ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(1) каждое неприводимое (конечномерное) представление имеет наибольший вес,

(2) наибольший вес всегда является доминирующим, алгебраически целым элементом,

(3) два неприводимых представления с одинаковым наибольшим весом изоморфны, и

(4) каждый доминирующий, алгебраически целый элемент является наибольшим весом неприводимого представления.

Последний пункт является самым сложным; представления могут быть построены с использованием модулей Verma .

Модуль с наибольшим весом

Представление (не обязательно конечномерное) V называется модулем наибольшего веса , если оно порождается весовым вектором v ∈ V , который аннулируется действием всех положительных корневых пространств в . Каждый неприводимый -модуль с наибольшим весом обязательно является модулем наибольшего веса, но в бесконечномерном случае модуль наибольшего веса не обязательно должен быть неприводимым. Для каждого — не обязательно доминантного или целочисленного — существует единственный (с точностью до изоморфизма) простой -модуль наибольшего веса с наибольшим весом λ, который обозначается L (λ), но этот модуль бесконечномерен, если только λ не является доминантным целочисленным. Можно показать, что каждый модуль наибольшего веса с наибольшим весом λ является фактором модуля Верма M (λ). Это просто переформулировка свойства универсальности в определении модуля Верма. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Каждый конечномерный модуль с наибольшим весом неприводим. ^[8]

Смотрите также

• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Теория представлений связной компактной группы Ли
• Высшая весовая категория
• Корневая система

Примечания

1. Фактически, если задан набор коммутирующих матриц над алгебраически замкнутым полем , они одновременно триангулируемы , без необходимости предполагать, что они диагонализируемы.

Ссылки

1. Холл 2015 Теорема 7.19 и уравнение (7.9)
2. Холл 2015 Предложение 9.2
3. Холл 2015 Предложение 8.36
4. Холл 2015 Предложение 12.5
5. Холл 2015 Следствие 13.8 и Следствие 13.20
6. Холл 2015 Определение 8.39
7. Холл 2015 Теоремы 9.4 и 9.5
8. Это следует из (доказательства) предложения 6.13 в Hall 2015 вместе с общим результатом о полной приводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли.

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103..
• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972b), Линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics, т. 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, МР  0396773
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4.