В математике обобщенное многообразие флагов (или просто многообразие флагов ) — это однородное пространство , точками которого являются флаги в конечномерном векторном пространстве V над полем F. Когда F — это действительные или комплексные числа, обобщенное многообразие флагов — это гладкое или комплексное многообразие , называемое действительным или комплексным многообразием флагов . Многообразия флагов являются естественно проективными многообразиями .
Многообразия флагов можно определить с различной степенью общности. Прототипом является многообразие полных флагов в векторном пространстве V над полем F , которое является многообразием флагов для специальной линейной группы над F . Другие многообразия флагов возникают при рассмотрении частичных флагов или при ограничении специальной линейной группы подгруппами, такими как симплектическая группа . Для частичных флагов необходимо указать последовательность размерностей рассматриваемых флагов. Для подгрупп линейной группы на флаги должны быть наложены дополнительные условия.
В самом общем смысле обобщенное флаговое многообразие определяется как проективное однородное многообразие , то есть гладкое проективное многообразие X над полем F с транзитивным действием редуктивной группы G (и гладкой стабилизаторной подгруппой; это не является ограничением для F нулевой характеристики ) . Если X имеет F - рациональную точку , то оно изоморфно G / P для некоторой параболической подгруппы P из G. Проективное однородное многообразие также может быть реализовано как орбита вектора старшего веса в проективизированном представлении G. Комплексные проективные однородные многообразия являются компактными плоскими модельными пространствами для геометрий Картана параболического типа. Они являются однородными римановыми многообразиями относительно любой максимальной компактной подгруппы из G , и они являются в точности коприсоединенными орбитами компактных групп Ли .
Флаговые многообразия могут быть симметричными пространствами . Над комплексными числами соответствующие флаговые многообразия являются эрмитовыми симметричными пространствами . Над действительными числами R -пространство является синонимом действительного флагового многообразия, а соответствующие симметричные пространства называются симметричными R -пространствами.
Флаг в конечномерном векторном пространстве V над полем F представляет собой возрастающую последовательность подпространств , где «возрастание» означает, что каждое является собственным подпространством следующего (см. фильтрацию ):
Если мы запишем dim V i = d i, то получим
где n — размерность V . Следовательно, мы должны иметь k ≤ n . Флаг называется полным флагом, если d i = i для всех i , в противном случае он называется частичным флагом . Сигнатура флага — это последовательность ( d 1 , ..., d k ).
Частичный флаг может быть получен из полного флага путем удаления некоторых подпространств. И наоборот, любой частичный флаг может быть завершен (множеством различных способов) путем вставки подходящих подпространств.
Согласно основным результатам линейной алгебры , любые два полных флага в n -мерном векторном пространстве V над полем F не отличаются друг от друга с геометрической точки зрения. То есть, общая линейная группа действует транзитивно на множестве всех полных флагов.
Зафиксируем упорядоченный базис для V , отождествив его с F n , чья общая линейная группа является группой GL( n , F ) обратимых матриц размера n × n . Стандартный флаг, связанный с этим базисом, — это тот, где i- е подпространство охватывается первыми i векторами базиса. Относительно этого базиса стабилизатор стандартного флага является группой невырожденных нижних треугольных матриц , которую мы обозначим через B n . Таким образом, полное многообразие флагов может быть записано как однородное пространство GL( n , F ) / B n , что показывает, в частности, что оно имеет размерность n ( n −1)/2 над F .
Обратите внимание, что кратные тождества действуют тривиально на все флаги, и поэтому можно ограничиться специальной линейной группой SL( n , F ) матриц с определителем единица, которая является полупростой алгебраической группой; множество нижних треугольных матриц с определителем единица является подгруппой Бореля .
Если поле F — это действительные или комплексные числа, мы можем ввести скалярное произведение на V таким образом, что выбранный базис будет ортонормальным . Любой полный флаг затем расщепляется на прямую сумму одномерных подпространств путем взятия ортогональных дополнений. Из этого следует, что полное многообразие флагов над комплексными числами — это однородное пространство
где U( n ) — унитарная группа , а T n — n -тор диагональных унитарных матриц. Аналогичное описание существует над действительными числами, где U( n ) заменено ортогональной группой O( n ), а T n — диагональными ортогональными матрицами (имеющими диагональные элементы ±1).
Частичная разновидность флага
— это пространство всех флагов сигнатуры ( d 1 , d 2 , ... d k ) в векторном пространстве V размерности n = d k над F . Полное многообразие флагов — это частный случай, когда d i = i для всех i . Когда k = 2, это грассманиан d 1 -мерных подпространств V .
Это однородное пространство для общей линейной группы G пространства V над F. Для ясности возьмем V = F n , так что G = GL( n , F ). Стабилизатор флага вложенных подпространств V i размерности d i можно взять как группу невырожденных блочных нижних треугольных матриц, где размерности блоков равны n i := d i − d i −1 (при d 0 = 0).
Ограничиваясь матрицами с детерминантом единица, это параболическая подгруппа P группы SL( n , F ), и, таким образом, частичное многообразие флагов изоморфно однородному пространству SL( n , F )/ P .
Если F — это действительное или комплексное число, то скалярное произведение можно использовать для разложения любого флага на прямую сумму, и поэтому частичное многообразие флагов также изоморфно однородному пространству
в сложном случае, или
в реальном случае.
Верхние треугольные матрицы определителя один являются подгруппой Бореля SL( n , F ), и, следовательно, стабилизаторы частичных флагов являются параболическими подгруппами. Более того, частичный флаг определяется параболической подгруппой, которая его стабилизирует.
Следовательно, в более общем случае, если G — полупростая алгебраическая или группа Ли , то (обобщенное) многообразие флагов для G — это G / P, где P — параболическая подгруппа G. Соответствие между параболическими подгруппами и обобщенными многообразиями флагов позволяет понимать каждое из них в терминах другого.
Расширение терминологии «флаговое многообразие» разумно, поскольку точки G / P по-прежнему можно описать с помощью флагов. Когда G — классическая группа , такая как симплектическая группа или ортогональная группа , это особенно прозрачно. Если ( V , ω ) — симплектическое векторное пространство , то частичный флаг в V изотропен , если симплектическая форма обращается в нуль на собственных подпространствах V во флаге. Стабилизатор изотропного флага — параболическая подгруппа симплектической группы Sp( V , ω ). Для ортогональных групп наблюдается похожая картина с парой осложнений. Во-первых, если F не является алгебраически замкнутым, то изотропные подпространства могут не существовать: для общей теории нужно использовать расщепляемые ортогональные группы . Во-вторых, для векторных пространств четной размерности 2m изотропные подпространства размерности m бывают двух видов («самодвойственные» и «антисамодвойственные»), и для получения однородного пространства их необходимо различать.
Если G — компактная связная группа Ли, она содержит максимальный тор T , а пространство G / T левых смежных классов с топологией факторизации является компактным вещественным многообразием. Если H — любая другая замкнутая связная подгруппа G, содержащая T , то G / H — другое компактное вещественное многообразие. (Оба на самом деле являются комплексными однородными пространствами каноническим способом посредством комплексификации .)
Наличие сложной структуры и клеточных (ко)гомологий позволяет легко увидеть, что кольцо когомологий G / H сосредоточено в четных степенях, но на самом деле можно сказать нечто гораздо более сильное. Поскольку G → G/H является главным H -расслоением , существует классифицирующее отображение G / H → BH с целью классифицирующего пространства BH . Если заменить G / H на гомотопический фактор G H в последовательности G → G/H → BH , то получим главное G -расслоение, называемое расслоением Бореля действия правого умножения H на G , и мы можем использовать когомологическую спектральную последовательность Серра этого расслоения, чтобы понять гомоморфизм ограничения по слоям H *( G / H ) → H *( G ) и характеристическое отображение H *( BH ) → H *( G / H ), названное так потому, что его образ, характеристическое подкольцо H *( G / H ), несет характеристические классы исходного расслоения H → G → G / H .
Давайте теперь ограничим наше кольцо коэффициентов полем k нулевой характеристики, так что по теореме Хопфа H *( G ) является внешней алгеброй на образующих нечетной степени (подпространство примитивных элементов ). Отсюда следует, что реберные гомоморфизмы
спектральной последовательности в конечном итоге должна перевести пространство примитивных элементов в левом столбце H *( G ) страницы E 2 биективно в нижнюю строку H *( BH ): мы знаем, что G и H имеют одинаковый ранг , поэтому, если бы набор реберных гомоморфизмов не имел полного ранга в примитивном подпространстве, то образ нижней строки H *( BH ) на конечной странице H *( G / H ) последовательности был бы бесконечномерным как k -векторное пространство, что невозможно, например, снова с помощью клеточных когомологий , поскольку компактное однородное пространство допускает конечную структуру CW .
Таким образом, кольцевое отображение H *( G / H ) → H *( G ) в этом случае тривиально, а характеристическое отображение сюръективно, так что H *( G / H ) является фактором H *( BH ). Ядро отображения — это идеал, порожденный образами примитивных элементов при рёберных гомоморфизмах, который также является идеалом, порожденным элементами положительной степени в образе канонического отображения H *( BG ) → H *( BH ), индуцированного включением H в G .
Отображение H *( BG ) → H *( BT ) инъективно, и аналогично для H , с образом подкольца H *( BT ) W ( G ) элементов, инвариантных относительно действия группы Вейля , так что в конечном итоге получается краткое описание
где обозначает элементы положительной степени, а скобки — генерацию идеала. Например, для полного комплексного флагового многообразия U ( n )/ T n имеем
где t j имеют степень 2, а σ j — первые n элементарных симметрических многочленов от переменных t j . Для более конкретного примера возьмем n = 2, так что U ( 2 )/[ U (1) × U (1)] — это комплексный грассманиан Gr(1, 2 ) ≈ P 1 ≈ S 2 . Тогда мы ожидаем, что кольцо когомологий будет внешней алгеброй на генераторе степени два ( фундаментальный класс ), и действительно,
как и ожидалось.
Если G — полупростая алгебраическая группа (или группа Ли), а V — (конечномерное) представление G с наибольшим весом , то пространство с наибольшим весом является точкой в проективном пространстве P( V ), а ее орбита под действием G — проективное алгебраическое многообразие . Это многообразие является (обобщенным) многообразием флагов, и, более того, каждое (обобщенное) многообразие флагов для G возникает таким образом.
Арман Борель показал [ требуется ссылка ] , что это характеризует многообразия флагов общей полупростой алгебраической группы G : они являются в точности полными однородными пространствами группы G или, что эквивалентно (в этом контексте), проективными однородными G -многообразиями.
Пусть G — полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппой K. Тогда K действует транзитивно на любом классе сопряженности параболических подгрупп, и, следовательно, обобщенное многообразие флагов G / P является компактным однородным римановым многообразием K /( K∩P ) с группой изометрий K. Более того, если G — комплексная группа Ли, то G / P является однородным кэлеровым многообразием .
Обращаясь к этому, римановы однородные пространства
допускают строго большую группу Ли преобразований, а именно G. Специализируясь на случае, когда M является симметричным пространством , это наблюдение дает все симметричные пространства, допускающие такую большую группу симметрии, и эти пространства были классифицированы Кобаяси и Нагано.
Если G — комплексная группа Ли, то симметрические пространства M, возникающие таким образом, являются компактными эрмитовыми симметрическими пространствами : K — группа изометрий, а G — группа биголоморфизмов M.
Над действительными числами действительное флаговое многообразие также называется R-пространством, а R-пространства, которые являются римановыми симметрическими пространствами относительно K, известны как симметрические R-пространства. Симметричные R-пространства, которые не являются эрмитово симметричными, получаются, если взять G как вещественную форму группы биголоморфизмов G c эрмитова симметрического пространства G c / P c , такую, что P := P c ∩ G является параболической подгруппой G . Примерами являются проективные пространства (где G — группа проективных преобразований ) и сферы (где G — группа конформных преобразований ).
![{\displaystyle H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2d0836367cb61b9c72923023b03aafe4224973)
![{\displaystyle H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3342f125f5b23da00db3dffa0c08272d4b82b2f)