Стереографическая проекция

Частное отображение, проецирующее сферу на плоскость

3D-иллюстрация стереографической проекции из северного полюса на плоскость под сферой

В математике стереографическая проекция — это перспективная проекция сферы через определенную точку на сфере ( полюс или центр проекции ) на плоскость ( плоскость проекции ) , перпендикулярную диаметру, проходящему через точку. Это гладкая биективная функция от всей сферы, за исключением центра проекции, на всю плоскость. Она отображает окружности на сфере в окружности или линии на плоскости и является конформной , что означает, что она сохраняет углы, под которыми встречаются кривые, и, таким образом, локально приблизительно сохраняет формы . Она не является ни изометрической (сохраняющей расстояние), ни равноплощадной (сохраняющей площадь). ^[1]

Стереографическая проекция дает способ представления сферы плоскостью. Метрика, индуцированная обратной стереографической проекцией из плоскости на сферу, определяет геодезическое расстояние между точками на плоскости, равное сферическому расстоянию между сферическими точками, которые они представляют. Двумерная система координат на стереографической плоскости является альтернативной настройкой для сферической аналитической геометрии вместо сферических полярных координат или трехмерных декартовых координат . Это сферический аналог модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости .

Интуитивно, стереографическая проекция является способом изображения сферы как плоскости, с некоторыми неизбежными компромиссами. Поскольку сфера и плоскость появляются во многих областях математики и ее приложений, то же самое происходит и со стереографической проекцией; она находит применение в различных областях, включая комплексный анализ , картографию , геологию и фотографию . Иногда стереографические вычисления выполняются графически с использованием особого вида миллиметровой бумаги , называемой стереографической сеткой , сокращенно стереосеткой или сеткой Вульфа .

История

Иллюстрация Рубенса к книге Франсуа д'Агилона «Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles» . Он демонстрирует принцип общей перспективной проекции, частным случаем которой является стереографическая проекция.

Происхождение стереографической проекции неизвестно, но считается, что она была открыта древнегреческими астрономами и использовалась для проецирования небесной сферы на плоскость, чтобы можно было анализировать движения звезд и планет с помощью планиметрии . Ее самое раннее сохранившееся описание можно найти в «Планисфере » Птолемея ( II в. н. э.), но Синезий ( ок.  400 г. н. э .) неоднозначно приписывал ее Гиппарху (II в. до н. э. ) ^[2] , а «Конические сечения » Аполлония ( ок.  200 г. до н. э. ) содержат теорему , которая имеет решающее значение для доказательства свойства, что стереографическая проекция отображает окружности в окружности. Гиппарху, Аполлонию, Архимеду и даже Евдоксу (IV в. до н. э.) иногда спекулятивно приписывали изобретение или знание стереографической проекции ^[3] , но некоторые эксперты считают эти приписывания неоправданными. ^[2] Птолемей ссылается на использование стереографической проекции в «гороскопическом инструменте», возможно, анафорических часах  [фр.; it], описанных Витрувием (I в. до н. э.). ^{[4] [5]}

Ко времени Теона Александрийского (IV век) планисфера была объединена с диоптрой , чтобы сформировать планисферическую астролябию («звездный приемник») ^[3] , мощное портативное устройство, которое можно было использовать для измерения положения звезд и выполнения широкого спектра астрономических расчетов. Астролябия постоянно использовалась византийскими астрономами и была значительно развита средневековыми исламскими астрономами . Она была передана в Западную Европу в XI–XII веках, с арабскими текстами, переведенными на латынь.

В XVI и XVII веках экваториальный аспект стереографической проекции широко использовался для карт Восточного и Западного полушарий . Считается, что уже карта, созданная в 1507 году Гальтериусом Лудом ^[6], была в стереографической проекции, как и более поздние карты Жана Розе (1542), Румольда Меркатора (1595) и многих других. ^[7] В звездных картах даже этот экваториальный аспект использовался уже древними астрономами, такими как Птолемей . ^[8]

Франсуа д'Агилон дал стереографической проекции ее нынешнее название в своей работе 1613 года Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Шесть книг по оптике, полезных как философам, так и математикам). ^[9]

В конце XVI века Томас Харриот доказал, что стереографическая проекция является конформной ; однако это доказательство так и не было опубликовано и пролежало среди его бумаг в коробке более трех столетий. ^[10] В 1695 году Эдмунд Галлей , движимый интересом к картам звездного неба , первым опубликовал доказательство. ^[11] Он использовал недавно созданные инструменты исчисления , изобретенные его другом Исааком Ньютоном .

Определение

Первая формулировка

Стереографическая проекция единичной сферы из северного полюса на плоскость z = 0 , показанная здесь в поперечном сечении.

Единичная сфера S ² в трехмерном пространстве R ³ — это множество точек ( x , y , z ) таких, что x ² + y ² + z ² = 1 . Пусть N = (0, 0, 1) — «северный полюс», а M — остальная часть сферы. Плоскость z = 0 проходит через центр сферы; «экватор» — пересечение сферы с этой плоскостью.

Для любой точки P на M существует единственная прямая, проходящая через N и P , и эта прямая пересекает плоскость z = 0 ровно в одной точке P ′ , известной как стереографическая проекция P на плоскость.

В декартовых координатах ( x , y , z ) на сфере и ( X , Y ) на плоскости проекция и ее обратная задаются формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),\\(x,y,z)&=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

В сферических координатах ( φ , θ ) на сфере (где φ — зенитный угол , 0 ≤ φ ≤ π , а θ — азимут , 0 ≤ θ ≤ 2π ) и полярных координатах ( R , Θ ) на плоскости проекция и ее обратная величина имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right)=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arctan {\frac {1}{R}},\Theta \right).\end{aligned}}}$

Здесь подразумевается , что φ имеет значение π при R = 0. Кроме того, существует много способов переписать эти формулы с использованием тригонометрических тождеств . В цилиндрических координатах ( r , θ , z ) на сфере и полярных координатах ( R , Θ ) на плоскости проекция и ее обратная функция имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right).\end{aligned}}}$

Другие конвенции

Стереографическая проекция единичной сферы из северного полюса на плоскость z = −1 , показанная здесь в поперечном сечении

Некоторые авторы ^[12] определяют стереографическую проекцию из северного полюса (0, 0, 1) на плоскость z = −1 , которая касается единичной сферы в южном полюсе (0, 0, −1). Это можно описать как композицию проекции на экваториальную плоскость, описанную выше, и гомотетии из нее на полярную плоскость. Гомотетия масштабирует изображение в 2 раза (отношение диаметра к радиусу сферы), поэтому значения X и Y , полученные этой проекцией, в точности вдвое больше значений, полученных экваториальной проекцией, описанной в предыдущем разделе. Например, эта проекция отправляет экватор в окружность радиуса 2 с центром в начале координат. В то время как экваториальная проекция не создает бесконечно малого искажения площади вдоль экватора, эта полюсно-касательная проекция вместо этого не создает бесконечно малого искажения площади на южном полюсе.

Другие авторы ^[13] используют сферу радиусом ⁠1/2⁠ и плоскость z = − ⁠1/2⁠ . В этом случае формулы становятся

${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y,z)\rightarrow (\xi ,\eta )&=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right),\\(\xi ,\eta )\rightarrow (x,y,z)&=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Стереографическая проекция сферы из точки Q на плоскость E , показанная здесь в поперечном сечении.

В общем случае можно определить стереографическую проекцию из любой точки Q на сфере на любую плоскость E так, что

• E перпендикулярно диаметру, проходящему через Q , и
• E несодержит Q.

Пока E удовлетворяет этим условиям, то для любой точки P, отличной от Q, прямая , проходящая через P и Q , пересекает E ровно в одной точке P ′ , которая определяется как стереографическая проекция P на E. ^[14]

Обобщения

В более общем случае стереографическая проекция может быть применена к единичной n -сфере S ⁿ в ( n + 1 )-мерном евклидовом пространстве E ^{n +1} . Если Q является точкой S ⁿ , а E является гиперплоскостью в E n ^{+1 ,} то стереографическая проекция точки P ∈ S ⁿ − { Q } является точкой P ′ пересечения прямой QP с E . В декартовых координатах ( x _i , i от 0 до n ) на S ⁿ и ( X _i , i от 1 до n ) на E проекция из Q = (1, 0, 0, ..., 0) ∈ S ⁿ задается как Определение обратного задается как $${\displaystyle X_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{0}}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$ $${\displaystyle s^{2}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}^{2}={\frac {1+x_{0}}{1-x_{0}}},}$$ $${\displaystyle x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}}\quad {\text{and}}\quad x_{i}={\frac {2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$

Еще более общо, предположим, что S — (неособая) квадратичная гиперповерхность в проективном пространстве P ^{n +1} . Другими словами, S — геометрическое место нулей неособой квадратичной формы f ( x ₀ , ..., x _{n +1} ) в однородных координатах x _i . Зафиксируем любую точку Q на S и гиперплоскость E в P ^{n +1 ,} не содержащую Q . Тогда стереографическая проекция точки P в S − { Q } является единственной точкой пересечения QP с E . Как и прежде, стереографическая проекция конформна и обратима на непустом открытом множестве Зарисского. Стереографическая проекция представляет квадратичную гиперповерхность как рациональную гиперповерхность . ^[15] Эта конструкция играет роль в алгебраической геометрии и конформной геометрии .

Характеристики

Первая стереографическая проекция, определенная в предыдущем разделе, направляет «южный полюс» (0, 0, −1) единичной сферы в точку (0, 0), экватор — в единичную окружность , южное полушарие — в область внутри окружности, а северное полушарие — в область вне окружности.

Проекция не определена в точке проекции N = (0, 0, 1). Малые окрестности этой точки отправляются в подмножества плоскости, далекие от (0, 0). Чем ближе P к (0, 0, 1), тем дальше его образ от (0, 0) на плоскости. По этой причине принято говорить о (0, 0, 1) как об отображении в «бесконечность» на плоскости, а о сфере как о завершении плоскости путем добавления точки на бесконечности . Это понятие находит применение в проективной геометрии и комплексном анализе. На чисто топологическом уровне оно иллюстрирует, как сфера гомеоморфна одноточечной компактификации плоскости.

В декартовых координатах точка P ( x , y , z ) на сфере и ее изображение P ′ ( X , Y ) на плоскости либо обе являются рациональными точками , либо ни одна из них:

${\displaystyle P\in \mathbb {Q} ^{3}\iff P'\in \mathbb {Q} ^{2}}$

Декартова сетка на плоскости выглядит искаженной на сфере. Линии сетки по-прежнему перпендикулярны, но площади квадратов сетки уменьшаются по мере приближения к северному полюсу.

Полярная сетка на плоскости выглядит искаженной на сфере. Кривые сетки по-прежнему перпендикулярны, но площади секторов сетки уменьшаются по мере приближения к северному полюсу.

Стереографическая проекция является конформной, то есть она сохраняет углы, под которыми кривые пересекаются (см. рисунки). С другой стороны, стереографическая проекция не сохраняет площадь; в общем случае площадь области сферы не равна площади ее проекции на плоскость. Элемент площади задается в координатах ( X , Y ) как

${\displaystyle dA={\frac {4}{(1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}\;dX\;dY.}$

Вдоль единичной окружности, где X ² + Y ² = 1 , в пределе не происходит увеличения площади, что дает масштабный коэффициент 1. Области вблизи (0, 0) увеличиваются в 4 раза, а области вблизи бесконечности увеличиваются в произвольно малые количества раз.

Метрика задается в координатах ( X , Y ) следующим образом:

${\displaystyle {\frac {4}{(1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}\;(dX^{2}+dY^{2}),}$

и представляет собой уникальную формулу, найденную в книге Бернхарда Римана « Habilitationsschrift по основам геометрии», произнесенной в Геттингене в 1854 году и озаглавленной « Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grundeliegen ».

Никакое отображение сферы на плоскость не может быть одновременно конформным и сохраняющим площадь. Если бы это было так, то это была бы локальная изометрия и сохраняла бы гауссову кривизну . Сфера и плоскость имеют разную гауссову кривизну, поэтому это невозможно.

Окружности на сфере , которые не проходят через точку проекции, проецируются в окружности на плоскости. ^{[16] [17]} Окружности на сфере, которые проходят через точку проекции, проецируются в прямые линии на плоскости. Эти линии иногда рассматриваются как окружности, проходящие через точку на бесконечности, или окружности бесконечного радиуса. Эти свойства можно проверить, используя выражения в терминах, приведенных в § Первая формулировка: используя эти выражения для подстановки в уравнение плоскости, содержащей окружность на сфере, и очищая знаменатели, получаем уравнение окружности, то есть уравнение второй степени с в качестве его квадратичной части. Уравнение становится линейным , если то есть если плоскость проходит через точку проекции. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle X,Y,Z,}$ ${\displaystyle ax+by+cz-d=0}$ ${\displaystyle (c-d)(X^{2}+Y^{2})}$ ${\displaystyle c=d,}$

Все прямые на плоскости, преобразованные в окружности на сфере посредством обратной стереографической проекции, встречаются в точке проекции. Параллельные прямые, которые не пересекаются на плоскости, преобразуются в окружности, касающиеся в точке проекции. Пересекающиеся прямые преобразуются в окружности, которые пересекаются трансверсально в двух точках на сфере, одна из которых является точкой проекции. (Аналогичные замечания справедливы и для реальной проективной плоскости , но там отношения пересечения иные.)

Сфера с различными локсодромами , показанными разными цветами

Локсодромии сферы отображаются в кривые на плоскости вида

${\displaystyle R=e^{\Theta /a},\,}$

где параметр a измеряет «плотность» локсодромии. Таким образом, локсодромии соответствуют логарифмическим спиралям . Эти спирали пересекают радиальные линии на плоскости под равными углами, так же как локсодромии пересекают меридианы на сфере под равными углами.

Стереографическая проекция связана с инверсией плоскости простым образом. Пусть P и Q — две точки на сфере с проекциями P ′ и Q ′ на плоскость. Тогда P ′ и Q ′ являются инверсными изображениями друг друга в изображении экваториальной окружности тогда и только тогда, когда P и Q являются отражениями друг друга в экваториальной плоскости.

Другими словами, если:

• P — точка на сфере, но не «северный полюс» N и не его антипод — «южный полюс» S ,
• P ′ — изображение точки P в стереографической проекции с точкой проекции N и
• P″ — изображение точки P в стереографической проекции с точкой проекции S ,

тогда P ′ и P″ являются инверсными изображениями друг друга в единичной окружности.

${\displaystyle \triangle NOP^{\prime }\sim \triangle P^{\prime \prime }OS\implies OP^{\prime }:ON=OS:OP^{\prime \prime }\implies OP^{\prime }\cdot OP^{\prime \prime }=r^{2}}$

сеть Вульфа

Сетка Вульфа или стереосетка, используемая для построения графиков стереографической проекции вручную.

Генерация сети Вульфа (круговая сеть внутри красного круга) с помощью стереографической проекции с центром C и проекционной плоскостью ${\displaystyle \pi }$

Стереографические проекционные графики могут быть построены компьютером с использованием явных формул, приведенных выше. Однако для построения графиков вручную эти формулы громоздки. Вместо этого обычно используют миллиметровую бумагу, разработанную специально для этой задачи. Эта специальная миллиметровая бумага называется стереосеткой или сеткой Вульфа , в честь русского минералога Георгия (Юрия Викторовича) Вульфа . ^[18]

Показанная здесь сетка Вульфа представляет собой стереографическую проекцию сетки параллелей и меридианов полушария с центром в точке на экваторе (например, восточного или западного полушария планеты).

На рисунке свойство стереографической проекции искажать площадь можно увидеть, сравнив сектор сетки около центра сетки с сектором в крайнем правом или левом углу. Два сектора имеют равные площади на сфере. На диске последний имеет почти в четыре раза большую площадь, чем первый. Если сделать сетку тоньше, это отношение приближается ровно к 4.

На сетке Вульфа изображения параллелей и меридианов пересекаются под прямым углом. Это свойство ортогональности является следствием свойства сохранения угла стереографической проекции. (Однако свойство сохранения угла сильнее этого свойства. Не все проекции, сохраняющие ортогональность параллелей и меридианов, сохраняют угол.)

Иллюстрация шагов 1–4 для построения точки на сети Вульфа

Для примера использования сети Вульфа представьте себе две ее копии на тонкой бумаге, одну поверх другой, выровненные и скрепленные в их общем центре. Пусть P будет точкой на нижней единичной полусфере, сферические координаты которой равны (140°, 60°) и декартовы координаты которой равны (0,321, 0,557, −0,766). Эта точка лежит на линии, ориентированной на 60° против часовой стрелки от положительной оси x (или на 30° по часовой стрелке от положительной оси y ) и на 50° ниже горизонтальной плоскости z = 0. Как только эти углы известны, есть четыре шага для построения P :

1. Используя линии сетки, которые на рисунках расположены на расстоянии 10° друг от друга, отметьте точку на краю сетки, которая находится на 60° против часовой стрелки от точки (1, 0) (или на 30° по часовой стрелке от точки (0, 1)).
2. Поворачивайте верхнюю сетку до тех пор, пока эта точка не совпадет с точкой (1, 0) на нижней сетке.
3. Используя линии сетки на нижней сетке, отметьте точку, расположенную под углом 50° к центру от этой точки.
4. Поверните верхнюю сетку в противоположную сторону от того, как она была ориентирована ранее, чтобы снова выровнять ее с нижней сеткой. Точка, отмеченная в шаге 3, — это та проекция, которую мы хотели.

Для нанесения других точек, углы которых не являются такими круглыми числами, как 60° и 50°, необходимо визуально интерполировать между ближайшими линиями сетки. Полезно иметь сетку с более мелким шагом, чем 10°. Интервалы в 2° являются обычными.

Чтобы найти центральный угол между двумя точками на сфере на основе их стереографического графика, наложите график на сетку Вульфа и вращайте график вокруг центра до тех пор, пока две точки не окажутся на меридиане или около него. Затем измерьте угол между ними, подсчитав линии сетки вдоль этого меридиана.

• 
  _{На прозрачном листе , прикрепленном} к началу координат сети Вульфа, нанесены две точки P1 и P2 .
• 
  Прозрачный лист вращается, и центральный угол считывается вдоль общего меридиана к обеим точкам P ₁ и P ₂ .

Приложения в математике

Комплексный анализ

Стереографическая проекция из северного полюса сферы на ее экваториальную плоскость устанавливает однозначное соответствие между сферой и экваториальной плоскостью, продолженной точкой в ​​бесконечности, обозначенной ∞ . Когда экваториальная плоскость является комплексной плоскостью , это обеспечивает визуализацию сферы Римана

Хотя любая стереографическая проекция пропускает одну точку на сфере (точку проекции), всю сферу можно отобразить с помощью двух проекций из различных точек проекции. Другими словами, сферу можно покрыть двумя стереографическими параметризациями (обратными проекциям) из плоскости. Параметризации можно выбрать так, чтобы они индуцировали ту же ориентацию на сфере. Вместе они описывают сферу как ориентированную поверхность (или двумерное многообразие ).

Эта конструкция имеет особое значение в комплексном анализе. Точка ( X , Y ) в действительной плоскости может быть отождествлена ​​с комплексным числом ζ = X + i Y. Тогда стереографическая проекция из северного полюса на экваториальную плоскость равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &={\frac {x+iy}{1-z}},\\\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatorname {Im} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\right).\end{aligned}}}$

Аналогично, если ξ = X − i Y — еще одна комплексная координата, то функции

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {Im} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)\end{aligned}}}$

определить стереографическую проекцию с южного полюса на экваториальную плоскость. Карты перехода между ζ - и ξ -координатами тогда ζ = ⁠1/ξ⁠ и ξ = ⁠1/ζ⁠ , с ζ, стремящимся к 0, когда ξ стремится к бесконечности, и наоборот . Это облегчает элегантное и полезное понятие бесконечности для комплексных чисел и, по сути, целую теорию мероморфных функций, отображающихся на сферу Римана . Стандартная метрика на единичной сфере согласуется с метрикой Фубини–Штуди на сфере Римана.

Визуализация линий и плоскостей

Анимация линий Кикучи четырех из восьми зон <111> в кристалле ГЦК. Плоскости, обращенные ребром (полосчатые линии), пересекаются под фиксированными углами.

Множество всех прямых, проходящих через начало координат в трехмерном пространстве, образует пространство, называемое реальной проективной плоскостью . Эту плоскость трудно визуализировать, поскольку ее нельзя вложить в трехмерное пространство.

Однако можно визуализировать его как диск следующим образом. Любая линия, проходящая через начало координат, пересекает южное полушарие z  ≤ 0 в точке, которую затем можно стереографически спроецировать на точку на диске в плоскости XY. Горизонтальные линии, проходящие через начало координат, пересекают южное полушарие в двух антиподных точках вдоль экватора, которые проецируются на границу диска. Любую из двух проецируемых точек можно считать частью диска; подразумевается, что антиподные точки на экваторе представляют собой одну линию в 3-мерном пространстве и одну точку на границе проецируемого диска (см. топологию факторизации ). Таким образом, любой набор линий, проходящих через начало координат, можно изобразить как набор точек в проецируемом диске. Но граничные точки ведут себя иначе, чем граничные точки обычного 2-мерного диска, в том, что любая из них одновременно находится близко к внутренним точкам на противоположных сторонах диска (точно так же, как две почти горизонтальные линии, проходящие через начало координат, могут проецироваться на точки на противоположных сторонах диска).

Кроме того, каждая плоскость, проходящая через начало координат, пересекает единичную сферу по большому кругу, называемому следом плоскости. Этот круг отображается в круг при стереографической проекции. Таким образом, проекция позволяет нам визуализировать плоскости как дуги окружности в диске. До появления компьютеров стереографические проекции с большими кругами часто включали рисование дуг большого радиуса, что требовало использования циркуля . Теперь компьютеры значительно упрощают эту задачу.

Далее с каждой плоскостью связана уникальная линия, называемая полюсом плоскости , которая проходит через начало координат и перпендикулярна плоскости. Эту линию можно изобразить как точку на диске, как и любую линию, проходящую через начало координат. Таким образом, стереографическая проекция также позволяет нам визуализировать плоскости как точки на диске. Для графиков, включающих много плоскостей, построение их полюсов дает менее загроможденную картину, чем построение их следов.

Эта конструкция используется для визуализации направленных данных в кристаллографии и геологии, как описано ниже.

Другая визуализация

Стереографическая проекция также применяется для визуализации многогранников . В диаграмме Шлегеля n -мерный многогранник в R ^{n +1} проецируется на n -мерную сферу, которая затем стереографически проецируется на R ⁿ . Сокращение от R ^{n +1} до R ⁿ может сделать многогранник более простым для визуализации и понимания.

Арифметическая геометрия

Рациональные точки окружности соответствуют при стереографической проекции рациональным точкам прямой.

В элементарной арифметической геометрии стереографическая проекция из единичной окружности обеспечивает способ описания всех примитивных пифагорейских троек . В частности, стереографическая проекция из северного полюса (0,1) на ось x дает однозначное соответствие между рациональными числовыми точками ( x , y ) на единичной окружности (при y ≠ 1 ) и рациональными точками оси x . Если ( ⁠м/н⁠ , 0) — рациональная точка на оси x , то ее обратная стереографическая проекция — точка

${\displaystyle \left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right)}$

что дает формулу Евклида для пифагоровой тройки.

Замена половинного угла тангенса

Пара тригонометрических функций (sin x , cos x ) может рассматриваться как параметризация единичной окружности. Стереографическая проекция дает альтернативную параметризацию единичной окружности:

${\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1}}.}$

При этой перепараметризации элемент длины dx единичной окружности переходит в

${\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}.}$

Такая замена иногда может упростить интегралы, включающие тригонометрические функции.

Применение к другим дисциплинам

Картография

Основная проблема картографии заключается в том, что ни одна карта от сферы до плоскости не может точно отображать как углы, так и площади. В целом, картографические проекции, сохраняющие площади, предпочтительны для статистических приложений, в то время как картографические проекции, сохраняющие углы (конформные), предпочтительны для навигации .

Стереографическая проекция попадает во вторую категорию. Когда проекция центрирована на северном или южном полюсе Земли, она имеет дополнительные желательные свойства: она посылает меридианы к лучам, исходящим из начала координат, а параллели — к окружностям с центром в начале координат.

• 
  Стереографическая проекция мира к северу от 30° ю.ш. Сетка 15°.
• 
  Стереографическая проекция с индикатрисой деформации Тиссо .

Планетарная наука

Стереографическая проекция Луны , показывающая регионы к полюсу 60° северной широты. Кратеры, которые являются кругами на сфере, кажутся круглыми в этой проекции, независимо от того, находятся ли они близко к полюсу или краю карты.

Стереографическая проекция — единственная проекция, которая отображает все окружности на сфере в окружности на плоскости . Это свойство ценно при картографировании планет, где кратеры являются типичными объектами. Набор окружностей, проходящих через точку проекции, имеет неограниченный радиус и, следовательно, вырождается в линии.

Кристаллография

Кристаллографическая полюсная фигура для решетки алмаза в направлении [111]

В кристаллографии ориентация осей и граней кристалла в трехмерном пространстве является центральной геометрической проблемой, например, при интерпретации рентгеновских и электронных дифракционных картин. Эти ориентации можно визуализировать, как в разделе Визуализация линий и плоскостей выше. То есть оси кристалла и полюса к плоскостям кристалла пересекаются с северным полушарием, а затем наносятся на график с помощью стереографической проекции. График полюсов называется полюсной фигурой .

В электронной дифракции пары линий Кикучи появляются как полосы, украшающие пересечение между следами плоскости решетки и сферой Эвальда, тем самым обеспечивая экспериментальный доступ к стереографической проекции кристалла. Модельные карты Кикучи в обратном пространстве ^[19] и карты видимости полос для использования с контурами изгиба в прямом пространстве ^[20] таким образом действуют как дорожные карты для исследования пространства ориентации с кристаллами в просвечивающем электронном микроскопе .

Геология

Использование стереографической проекции нижнего полушария для построения плоских и линейных данных в структурной геологии на примере плоскости разлома с линейчатостью скольжения

Исследователи в области структурной геологии интересуются ориентациями плоскостей и линий по ряду причин. Слоистость породы — это планарная особенность, которая часто содержит линейную особенность, называемую линейностью . Аналогично, плоскость разлома — это планарная особенность, которая может содержать линейные особенности, такие как скользящие поверхности .

Эти ориентации линий и плоскостей в различных масштабах могут быть нанесены с использованием методов раздела Визуализация линий и плоскостей выше. Как и в кристаллографии, плоскости обычно наносятся на график по их полюсам. В отличие от кристаллографии, вместо северного используется южное полушарие (потому что рассматриваемые геологические объекты лежат под поверхностью Земли). В этом контексте стереографическую проекцию часто называют равноугольной проекцией нижнего полушария . Также используется равноплощадная проекция нижнего полушария, определяемая азимутальной равноплощадной проекцией Ламберта , особенно когда график должен быть подвергнут последующему статистическому анализу, такому как контурирование плотности . ^[21]

Механика горных пород

Стереографическая проекция является одним из наиболее широко используемых методов оценки устойчивости скального склона. Она позволяет представлять и анализировать трехмерные данные ориентации в двух измерениях. Кинематический анализ в стереографической проекции используется для оценки потенциала различных режимов обрушения скального склона, таких как обрушения плоскости, клина и опрокидывания, которые происходят из-за наличия неблагоприятно ориентированных разрывов. ^{[22] [23]} Этот метод особенно полезен для визуализации ориентации скальных склонов по отношению к наборам разрывов, облегчая оценку наиболее вероятного типа разрушения. ^[22] Например, обрушение плоскости более вероятно, когда простирание набора разрывов параллельно склону, а разрывы падают к склону под углом, достаточно крутым, чтобы допустить скольжение, но не круче самого склона.

Кроме того, некоторые авторы разработали графические методы, основанные на стереографической проекции, для простого расчета параметров геометрической коррекции, например, связанных с параллельностью между склоном и разрывами, наклоном разрыва и относительным углом между разрывом и уклоном, для классификации скальных массивов на склонах, включая оценку массы склона (SMR) ^[24] и оценку скального массива . ^[25]

Фотография

Стереографическая проекция сферической панорамы скульптуры «Тайная вечеря» Микеле Ведани в Эзино-Ларио , Ломбардия, Италия во время Викимании 2016 г.

«Vue circulaire des montagnes qu’on découvre du sommet du Glacier de Buet», Орас-Бенедикт де Соссюр, « Путешествие в Альпы», предыдущие эссе о природной истории окрестностей Женевы . Невшатель, 1779–96, пл. 8.

Некоторые объективы типа «рыбий глаз» используют стереографическую проекцию для захвата широкоугольного вида. ^[26] По сравнению с более традиционными объективами типа «рыбий глаз», которые используют равноплощадную проекцию, области, близкие к краю, сохраняют свою форму, а прямые линии менее изогнуты. Однако стереографические объективы типа «рыбий глаз» обычно более дороги в производстве. ^[27] Программное обеспечение для перекодирования изображений, такое как Panotools , позволяет автоматически перекодировать фотографии из равноплощадной проекции типа «рыбий глаз» в стереографическую проекцию.

Стереографическая проекция использовалась для картографирования сферических панорам , начиная с Ораса Бенедикта де Соссюра в 1779 году. Это приводит к эффектам, известным как маленькая планета (когда центр проекции находится в надире ) и труба (когда центр проекции находится в зените ). ^[28]

Популярность использования стереографических проекций для картографирования панорам по сравнению с другими азимутальными проекциями объясняется сохранением формы, которое является результатом конформности проекции. ^[28]

Смотрите также

• Список картографических проекций
• Астролябия
• Астрономические часы
• Модель диска Пуанкаре , аналогичное отображение гиперболической плоскости
• Стереографическая проекция в картографии
• Криволинейная перспектива
• Объектив «рыбий глаз»

Ссылки

1. В евклидовой метрике на плоскости.
2. Synesius написал в письме, описывая инструмент, включающий стереографическую проекцию: "Гиппарх давно намекнул на развертывание сферической поверхности [на плоскости], чтобы сохранить надлежащую пропорцию между заданными отношениями в различных фигурах, и он был фактически первым, кто занялся этим предметом. Я, однако (если это не самонадеянно делать столь большое заявление), проследил его до его полного завершения и усовершенствовал его, хотя большую часть времени проблема игнорировалась; ибо великий Птолемей и божественная группа его преемников довольствовались тем, что использовали его только так, как было достаточно для ночных часов посредством шестнадцати звезд, которые были единственными, которые Гиппарх переставил и ввел в свой инструмент". Перевод из Dicks, DR (1960). Географические фрагменты Гиппарха . Лондонский университет, Athlone Press, фрагмент 63 стр. 102–103.
   Дикс заключает (комментарий к фрагменту 63, стр. 194–207): «Можно ли принять свидетельство Синезия за чистую монету, зависит от точки зрения относительно силы возражений, высказанных выше. В целом, кажется, что ценность его свидетельства была сильно преувеличена, а его неудовлетворительный характер по многим пунктам недостаточно подчеркнут. В любом случае, «инструмент», который он послал Пеонию, был либо модифицированными астролябийскими часами витрувианского типа, либо простой небесной картой, а не планисферической астролябией. Более того, на основании имеющихся свидетельств мы, по моему мнению, не имеем права приписывать Гиппарху знание стереографической проекции или планисферической астролябии».
3. Neugebauer, Otto (1949). «Ранняя история астролябии». Isis . 40 (3): 240–256. doi :10.1086/349045. JSTOR  227240.
4. Sleeswyk, AW; Huldén, B. (1991). «Три водяных часа, описанных Витрувием». История и технологии . 8 (1): 25–50. doi :10.1080/07341519108581788.
5. Drachmann, AG . (1953). «Плоская астролябия и анафорические часы». Centaurus . 3 (1): 183–189. Bibcode :1953Cent....3..183D. doi :10.1111/j.1600-0498.1953.tb00528.x.
6. Согласно (Снайдер 1993), хотя он и признает, что лично не видел этого
7. Снайдер (1989).
8. Браун, Ллойд Арнольд: История карт, стр. 59.
9. Согласно (Элкинсу, 1988), который ссылается на Эккерта, «Die Kartenwissenschaft», Берлин, 1921, стр. 121–123.
10. Lohne, John (1979). «Очерки о Томасе Харриоте». Архив истории точных наук . 20 (3/4): 189–312. doi :10.1007/BF00327737. S2CID  118095486.
11. Тимоти Фиман. 2002. «Портреты Земли: математик смотрит на карты». Американское математическое общество.
12. См. Апостол (1974) стр. 17.
13. Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963
14. См. Pedoe (1988).
15. См. Шафаревич (1995).
16. Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . McGraw-Hill, Inc. стр. 19.
17. Конвей, Джон ; Дойл, Питер; Гилман, Джейн ; Терстон, Билл (1994-04-12), «Стереографическая проекция», Геометрия и воображение в Миннеаполисе, Университет Миннесоты, arXiv : 1804.03055 , заархивировано из оригинала 2021-04-19 , извлечено 2022-04-26
18. Вульф, Джордж, Untersuchungen im Gebiete der optischen Eigenschaften изоморфер Kristalle: Zeits. Крист., 36, 1–28 (1902)
19. М. фон Хеймендаль, В. Белл и Г. Томас (1964) Применение анализа линий Кикучи в электронной микроскопии, J. Appl. Phys. 35:12 , 3614–3616.
20. П. Фраундорф, Вентао Цинь, П. Мёк и Эрик Манделл (2005) Изучение полос нанокристаллической решетки, J. Appl. Phys. 98 :114308.
21. Лайл, Р. Дж.; Лейшон, П. Р. (2004). Методы стереографической проекции для геологов и инженеров-строителей (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 9780521535823.
22. Hoek, Evert; Bray, Jonathan D. (1981-06-30). Rock Slope Engineering: Третье издание. CRC Press. ISBN 978-0-419-16010-6.
23. Лайл, Ричард Дж.; Лейшон, Питер Р. (2004). Методы стереографической проекции для геологов и инженеров-строителей (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9781139171366. ISBN 978-0-521-53582-3.
24. Томас, Р.; Куэнка, А.; Кано, М.; Гарсия-Барба, Х. (2012-01-04). "Графический подход к оценке массы склона (SMR)". Инженерная геология . 124 : 67–76. Bibcode : 2012EngGe.124...67T. doi : 10.1016/j.enggeo.2011.10.004. ISSN  0013-7952.
25. Мун, Вики; Рассел, Джефф; Стюарт, Миган (июль 2001 г.). «Значение систем классификации скальных массивов для слабых скальных массивов: пример из Хантли, Новая Зеландия». Инженерная геология . 61 (1): 53–67. Bibcode : 2001EngGe..61...53M. doi : 10.1016/s0013-7952(01)00024-2. ISSN  0013-7952.
26. Samyang 8 мм .mw-parser-output span.fnumber,.mw-parser-output .fnumber-fallback{display:inline-block;white-space:nowrap;width:max-content}.mw-parser-output span.fnumber::first-letter,.mw-parser-output .fnumber-fallback .first-letter{font-style:italic;font-family:Trebuchet MS,Candara,Georgia,Calibri,Corbel,serif}f/3.5 Fisheye CS Архивировано 29.06.2011 на Wayback Machine
27. "Samyang 8 mm f/3.5 Aspherical IF MC Fish-eye". lenstip.com . Получено 2011-07-07 .
28. Герман и др. (2007).

Источники

• Апостол, Том (1974). Математический анализ (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-00288-4.
• Браун, Джеймс и Черчилль, Руэль (1989). Комплексные переменные и приложения . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2.
• Кассельман, Билл (2014), тематическая колонка, февраль 2014 г.: Стереографическая проекция, AMS , получено 12 декабря 2014 г.
• Герман, Даниэль; Берчилль, Л.; Дюре-Луц, А.; Перес-Дуарте, С.; Перес-Дуарте, Э.; Соммерс, Дж. (июнь 2007 г.). «Сглаживание видимой сферы». Труды по вычислительной эстетике 2007 . Банф: Еврографика. стр. 23–28.
• Гельфанд, И.М.; Минлос , Р.А .; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения , Нью-Йорк: Pergamon Press
• Do Carmo ; Manfredo P. (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Englewood Cliffs, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-212589-7.
• Элкинс, Джеймс (1988). «Разработал ли Леонардо теорию криволинейной перспективы?: Вместе с некоторыми замечаниями об аксиомах «угла» и «расстояния». Журнал Институтов Варбурга и Курто . 51. Институт Варбурга: 190–196. doi :10.2307/751275. JSTOR  751275. S2CID  193430645.
• Опреа, Джон (2003). Дифференциальная геометрия и приложения . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-065246-6.
• Педоу, Дэн (1988). Геометрия . Дувр. ISBN 0-486-65812-0.
• Шафаревич, Игорь (1995). Основы алгебраической геометрии I. Springer. ISBN 0-387-54812-2.
• Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции − рабочее руководство, профессиональная статья 1395. Геологическая служба США.
• Снайдер, Джон П. (1989). Альбом картографических проекций, профессиональная статья 1453. Геологическая служба США.
• Снайдер, Джон П. (1993). Сплющивание Земли . Чикагский университет. ISBN 0-226-76746-9.
• Спивак, Майкл (1999). Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию, том IV . Хьюстон, Техас: Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.

Внешние ссылки

• Стереографическая проекция и инверсия из Cut-the-Knot
• Пакет учебно-методических материалов DoITPoMS - «Стереографическая проекция»

Видео

• Доказательство стереографической проекции, переводящей окружности на сфере в окружности на плоскости.
• Стереографическая проекция с покадровой съемкой на Vimeo

Программное обеспечение

• Stereonet — программный инструмент для структурной геологии Рика Аллмендингера .
• PTCLab, лаборатория кристаллографии фазовых превращений
• Sphaerica, программный инструмент для построения линейки и циркуля на сфере, включая опцию отображения стереографической проекции
• Estereografica Web — веб-приложение для стереографической проекции в структурной геологии и кинематике разломов, разработанное Эрнесто Кристаллини.