Логарифмическая спираль

Самоподобная кривая роста

Логарифмическая спираль ( шаг 10°)

Часть множества Мандельброта, следующая логарифмической спирали

Логарифмическая спираль , равноугольная спираль или спираль роста — это самоподобная спиральная кривая , которая часто встречается в природе. Первым, кто описал логарифмическую спираль , был Альбрехт Дюрер (1525), который назвал ее «вечной линией» («ewige Linie»). ^{[1] [2]} Более века спустя кривая была рассмотрена Декартом (1638), а позднее тщательно исследована Якобом Бернулли , который назвал ее Spira mirabilis , «чудесной спиралью».

Логарифмическую спираль можно отличить от архимедовой спирали тем, что расстояния между витками логарифмической спирали увеличиваются в геометрической прогрессии , тогда как в архимедовой спирали эти расстояния постоянны.

Определение

В полярных координатах логарифмическую спираль можно записать как ^[3] или где — основание натуральных логарифмов , а — действительные константы. ${\displaystyle (r,\varphi )}$ $${\displaystyle r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle k\neq 0}$

В декартовых координатах

Логарифмическую спираль с полярным уравнением можно представить в декартовых координатах следующим образом: В комплексной плоскости : $${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$$ ${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$ $${\displaystyle x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$$ ${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ $${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$$

Spira mirabilisи Якоб Бернулли

Spira mirabilis , что на латыни означает «чудесная спираль», — еще одно название логарифмической спирали. Хотя эта кривая уже была названа другими математиками, конкретное название («чудесная» или «изумительная» спираль) было дано этой кривой Якобом Бернулли , потому что он был очарован одним из ее уникальных математических свойств: размер спирали увеличивается, но ее форма не меняется с каждой последующей кривой, свойство, известное как самоподобие . Возможно, в результате этого уникального свойства spira mirabilis эволюционировала в природе, появляясь в определенных растущих формах, таких какраковины наутилуса и головки подсолнечника . Якоб Бернулли хотел, чтобы такая спираль была выгравирована на его надгробии вместе с фразой « Eadem mutata resurgo » («Хотя измененный, я восстану тем же самым»), но по ошибкевместо этого там была помещена архимедова спираль . ^{[4] [5]}

Характеристики

Определение угла наклона и сектора

Анимация, демонстрирующая постоянный угол между пересекающейся окружностью с центром в начале координат и логарифмической спиралью.

Логарифмическая спираль имеет следующие свойства (см. Спираль ): ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,}$

• Угол наклона : ${\displaystyle \tan \alpha =k\quad ({\color {red}{\text{constant !}}})}$
  с углом наклона (см. схему и анимацию). ${\displaystyle \alpha }$
  (В случае, если угол будет равен 0, а кривая — окружность с радиусом .) ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$
• Кривизна : ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$
• Длина дуги : ${\displaystyle L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha }}}$
  Особенно: , если . ${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad ({\color {red}{\text{finite !}}})\;}$ ${\displaystyle k>0}$
  Это свойство впервые осознал Эванджелиста Торричелли еще до изобретения исчисления . ^[6]
• Площадь сектора: ${\displaystyle A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• Инверсия: Инверсия окружности ( ) отображает логарифмическую спираль на логарифмическую спираль ${\displaystyle r\to 1/r}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.}$

Примеры для ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$

• Вращение, масштабирование : Вращение спирали на угол дает спираль , которая представляет собой исходную спираль, равномерно масштабированную (в начале координат) на . ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$ ${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$
  Масштабирование дает ту же кривую. ${\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}$
• Самоподобие : результат предыдущего свойства:
  Масштабированная логарифмическая спираль конгруэнтна (по вращению) исходной кривой.
  Пример: На диаграмме показаны спирали с углом наклона и . Следовательно, все они являются масштабированными копиями красной. Но их также можно получить, вращая красную на углы соответственно. Все спирали не имеют общих точек (см. свойство комплексной показательной функции ). ${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$ ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$ ${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$
• Отношение к другим кривым: Логарифмические спирали конгруэнтны своим собственным эвольвентам , эвольвентам и педальным кривым, основанным на их центрах.
• Комплексная показательная функция : Показательная функция точно отображает все линии, не параллельные действительной или мнимой оси в комплексной плоскости, во все логарифмические спирали в комплексной плоскости с центром в точке : Угол наклона логарифмической спирали — это угол между линией и мнимой осью. ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiral}}}$$ ${\displaystyle \alpha }$

Особые случаи и приближения

Золотая спираль — это логарифмическая спираль, которая расширяется наружу на коэффициент золотого сечения на каждые 90 градусов поворота (угол наклона около 17,03239 градусов). Ее можно аппроксимировать «спиралью Фибоначчи», состоящей из последовательности четвертей окружности с радиусами, пропорциональными числам Фибоначчи .

В природе

Разрез раковины наутилуса , показывающий камеры, расположенные примерно в логарифмической спирали. Построенная спираль (пунктирная синяя кривая) основана на параметре скорости роста , что приводит к шагу . ${\displaystyle b=0.1759}$ ${\displaystyle \arctan b\approx 10^{\circ }}$

В ряде природных явлений можно обнаружить кривые, близкие к логарифмическим спиралям. Вот несколько примеров и причин:

• Приближение ястреба к своей добыче в классическом преследовании , предполагая, что добыча движется по прямой линии. Их самый острый взгляд находится под углом к ​​направлению их полета; этот угол равен шагу спирали. ^[7]
• Приближение насекомого к источнику света. Они привыкли, что источник света находится под постоянным углом к ​​траектории их полета. Обычно Солнце (или Луна для ночных видов) является единственным источником света, и полет в этом направлении приведет к практически прямой линии. ^[8]
• Рукава спиральных галактик . ^[9] Галактика Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет собой примерно логарифмическую спираль с шагом около 12 градусов. ^[10] Однако, хотя спиральные галактики часто моделировались как логарифмические спирали, архимедовы спирали или гиперболические спирали , их углы наклона меняются в зависимости от расстояния от центра галактики, в отличие от логарифмических спиралей (для которых этот угол не меняется), а также в противоречии с другими математическими спиралями, используемыми для их моделирования. ^[11]
• Нервы роговицы ( т.е. роговичные нервы субэпителиального слоя) заканчиваются вблизи поверхностного эпителиального слоя роговицы в виде логарифмической спирали. ^[12]
• Полосы тропических циклонов , такие как ураганы. ^[13 ]
• Многие биологические структуры, включая раковины моллюсков . ^[14] В этих случаях причиной может быть построение путем расширения подобных форм, как в случае с многоугольными фигурами.
• Логарифмические спиральные пляжи могут образовываться в результате преломления и дифракции волн побережьем. Half Moon Bay (Калифорния) является примером такого типа пляжа. ^[15]

В инженерных приложениях

• Логарифмические спиральные антенны являются частотно-независимыми антеннами, то есть антеннами, диаграмма направленности излучения, импеданс и поляризация которых остаются в значительной степени неизменными в широкой полосе пропускания. ^[17]
• При изготовлении механизмов с помощью субтрактивных производственных машин (таких как лазерные резаки ) может возникнуть потеря точности, когда механизм изготавливается на другом станке из-за разницы в материале, удаляемом (то есть, пропиле ) каждым станком в процессе резки. Чтобы скорректировать это изменение пропила, самоподобное свойство логарифмической спирали было использовано для разработки механизма отмены пропила для лазерных резаков. ^[18]
• Логарифмические спиральные конические шестерни являются типом спиральных конических шестерен, чья центральная линия зубьев шестерни является логарифмической спиралью. Логарифмическая спираль имеет преимущество в обеспечении равных углов между центральной линией зубьев и радиальными линиями, что придает зацепляющей передаче большую устойчивость. ^[19]

• В скалолазании пружинные кулачковые устройства изготавливаются из металлических кулачков , внешние поверхности захвата которых имеют форму дуг логарифмических спиралей. Когда устройство вставляется в трещину в скале, вращение этих кулачков расширяет их общую ширину, чтобы соответствовать ширине трещины, при этом сохраняя постоянный угол относительно поверхности скалы (относительно центра спирали, где прикладывается сила). Угол наклона спирали выбирается для оптимизации трения устройства о скалу. ^[20]

Смотрите также

• Архимедова спираль
• Эписпиральный
• Список спиралей
• Задача о мышах — геометрическая задача, требующая нахождения пути, по которому гоняются друг за другом мыши, решением которой является логарифмическая спираль.
• Теорема Тейта–Кнезера

Ссылки

1. Альбрехт Дюрер (1525). Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, в Линиене, Эбенене и Ганцен Корпорен.
2. Хаммер, Эйвинд (2016). «Грязный секрет Дюрера». Идеальная форма: Спиральные истории . Springer International Publishing. стр. 173–175. doi :10.1007/978-3-319-47373-4_41. ISBN 978-3-319-47372-7.
3. Прия Хеменуэй (2005). Божественная пропорция: Φ Phi в искусстве, природе и науке . Sterling Publishing Co. ISBN 978-1-4027-3522-6.
4. Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире . Нью-Йорк: Broadway Books. ISBN 978-0-7679-0815-3.
5. Йейтс, Р. К.: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. У. Эдвардс (1952), «Эволюты». стр. 206.
6. Карл Бенджамин Бойер (1949). История исчисления и его концептуальное развитие. Courier Dover Publications. стр. 133. ISBN 978-0-486-60509-8.
7. Чин, Гилберт Дж. (8 декабря 2000 г.). «Организменная биология: полет по логарифмической спирали». Science . 290 (5498): 1857. doi :10.1126/science.290.5498.1857c. S2CID  180484583.
8. Джон Химмельман (2002). Discovering Moths: Nighttime Jewels in Your Own Backyard. Down East Enterprise Inc. стр. 63. ISBN 978-0-89272-528-1.
9. G. Bertin и CC Lin (1996). Спиральная структура в галактиках: теория волн плотности. MIT Press. стр. 78. ISBN 978-0-262-02396-2.
10. Дэвид Дж. Дарлинг (2004). Универсальная книга математики: от Абракадабры до парадоксов Зенона. John Wiley and Sons. стр. 188. ISBN 978-0-471-27047-8.
11. Савченко, СС; Решетников, ВП (сентябрь 2013 г.). «Изменения угла питча в спиральных галактиках». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . doi : 10.1093/mnras/stt1627 .
12. CQ Yu CQ и MI Rosenblatt, «Трансгенная нейрофлуоресценция роговицы у мышей: новая модель для исследования структуры нервов и регенерации in vivo», Invest Ophthalmol Vis Sci. 2007 г., апрель; 48(4):1535-42.
13. Эндрю Грей (1901). Трактат по физике, том 1. Черчилль. С. 356–357.
14. Майкл Корти (1992). «Форма, функция и синтез раковины моллюска». В Иштване Харгиттае и Клиффорде А. Пиковере (ред.). Спиральная симметрия . World Scientific. стр. 370. ISBN 978-981-02-0615-4.
15. Аллан Томас Уильямс и Антон Микаллеф (2009). Управление пляжем: принципы и практика. Earthscan. стр. 14. ISBN 978-1-84407-435-8.
16. "механизмы отмены пропилов". hpi.de . Получено 2020-12-26 .
17. Mayes, PE (1992). «Частотно-независимые антенны и их широкополосные производные». Труды IEEE . 80 (1): 103–112. Bibcode : 1992IEEEP..80..103M. doi : 10.1109/5.119570.
18. Румен, Тиджс; Апель, Инго; Шигеяма, Джотаро; Мухаммад, Абдулла; Баудиш, Патрик (2020-10-20). «Механизмы отмены прорезей: обеспечение работы механизмов лазерной резки на различных лазерных резаках». Труды 33-го ежегодного симпозиума ACM по программному обеспечению и технологиям пользовательского интерфейса . Виртуальное мероприятие в США: ACM. стр. 293–303. doi :10.1145/3379337.3415895. ISBN 978-1-4503-7514-6. S2CID  222805227.
19. Цзян, Цзяньфэн; Ло, Циншэн; Ван, Литинг; Цяо, Лицзюнь; Ли, Минхао (2020). «Обзор логарифмической спиральной конической передачи». Журнал Бразильского общества механических наук и инжиниринга . 42 (8): 400. doi :10.1007/s40430-020-02488-y. ISSN  1678-5878.
20. Todesco, Gian Marco (2018). «Странные шестерни». В Emmer, Michele; Abate, Marco (ред.). Imagine Math 6: Between Culture and Mathematics . Springer International Publishing. стр. 179–193. doi :10.1007/978-3-319-93949-0_16. ISBN 9783319939490.

• Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмическая спираль». MathWorld .
• Джим Уилсон, Эквиангулярная спираль (или логарифмическая спираль) и связанные с ней кривые, Университет Джорджии (1999)
• Александр Богомольный , Spira Mirabilis - Wonderful Spiral, на cut-the-knot

Внешние ссылки

• Spira mirabilis история и математика
• Астрономическая фотография дня от NASA: ураган Изабель против галактики Водоворот (25 сентября 2003 г.)
• Астрономическая фотография дня от NASA: тайфун Раммасун против галактики Вертушка (17 мая 2008 г.)
• SpiralZoom.com — образовательный сайт о науке формирования узоров, спиралях в природе и спиралях в мифическом воображении.
• Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)
• Лекция на YouTube о задаче Зенона о мышах и логарифмических спиралях