В математике , а точнее в геометрии , параметризация (или параметризация ; также параметризация , параметризация ) — это процесс нахождения параметрических уравнений кривой , поверхности или, в более общем смысле, многообразия или многообразия , определяемых неявным уравнением . Обратный процесс называется имплицитизацией . [1] «Параметризировать» само по себе означает «выражать в терминах параметров ». [2]
Параметризация — это математический процесс, состоящий из выражения состояния системы , процесса или модели как функции некоторых независимых величин, называемых параметрами . Состояние системы обычно определяется конечным набором координат , и параметризация, таким образом, состоит из одной функции нескольких действительных переменных для каждой координаты. Число параметров — это число степеней свободы системы.
Например, положение точки , движущейся по кривой в трехмерном пространстве, определяется временем, необходимым для достижения точки при старте из фиксированного начала координат. Если x , y , z — координаты точки, то движение описывается параметрическим уравнением [1]
где t — параметр и обозначает время. Такое параметрическое уравнение полностью определяет кривую, без необходимости какой-либо интерпретации t как времени, и поэтому называется параметрическим уравнением кривой (иногда это сокращают, говоря, что имеется параметрическая кривая ). Аналогично можно получить параметрическое уравнение поверхности, рассматривая функции двух параметров t и u .
Параметризации, как правило, не являются уникальными . Обычный трехмерный объект может быть параметризован (или «координирован») одинаково эффективно с помощью декартовых координат ( x , y , z ), цилиндрических полярных координат ( ρ , φ , z ), сферических координат ( r , φ, θ) или других систем координат .
Аналогичным образом цветовое пространство трихроматического цветового зрения человека можно параметризовать с помощью трех цветов: красного, зеленого и синего, RGB , или голубого, пурпурного, желтого и черного, CMYK .
Как правило, минимальное количество параметров, необходимых для описания модели или геометрического объекта, равно его размерности , а область действия параметров — в пределах их допустимых диапазонов — это пространство параметров . Хотя хороший набор параметров позволяет идентифицировать каждую точку в пространстве объектов, может оказаться, что для данной параметризации различные значения параметров могут относиться к одной и той же точке. Такие отображения являются сюръективными , но не инъективными . Примером может служить пара цилиндрических полярных координат (ρ, φ, z ) и (ρ, φ + 2π, z ).
Как указано выше, существует произвол в выборе параметров данной модели, геометрического объекта и т. д. Часто возникает желание определить внутренние свойства объекта, которые не зависят от этого произвола, которые, следовательно, независимы от какого-либо конкретного выбора параметров. Это особенно актуально в физике, где параметризационная инвариантность (или «репараметризационная инвариантность») является руководящим принципом в поиске физически приемлемых теорий (особенно в общей теории относительности ).
Например, в то время как местоположение фиксированной точки на некоторой кривой линии может быть задано набором чисел, значения которых зависят от того, как параметризована кривая, длина (соответствующим образом определенная) кривой между двумя такими фиксированными точками не будет зависеть от конкретного выбора параметризации (в данном случае: метода, с помощью которого произвольная точка на линии уникально индексируется). Длина кривой, следовательно, является параметризационно-инвариантной величиной. В таких случаях параметризация является математическим инструментом, используемым для извлечения результата, значение которого не зависит от деталей параметризации или не ссылается на них. В более общем смысле параметризационная инвариантность физической теории подразумевает, что либо размерность, либо объем пространства параметров больше, чем необходимо для описания рассматриваемой физики (величин, имеющих физическое значение).
Хотя общая теория относительности может быть выражена без ссылки на систему координат, вычисления физических (т.е. наблюдаемых) величин, таких как кривизна пространства-времени, неизменно подразумевают введение определенной системы координат для ссылки на точки пространства-времени, участвующие в вычислении. В контексте общей теории относительности выбор системы координат может рассматриваться как метод «параметризации» пространства-времени, а нечувствительность результата вычисления физически значимой величины к этому выбору может рассматриваться как пример инвариантности параметризации.
В качестве другого примера можно привести физические теории, наблюдаемые величины которых зависят только от относительных расстояний (отношения расстояний) между парами объектов, которые называются масштабно-инвариантными . В таких теориях любая ссылка в ходе вычислений на абсолютное расстояние подразумевала бы введение параметра, к которому теория инвариантна.
