Убийственное векторное поле

Векторное поле на римановом многообразии, сохраняющем метрику

В математике векторное поле Киллинга (часто называемое полем Киллинга ), названное в честь Вильгельма Киллинга , — это векторное поле на римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии ), сохраняющее метрику . Поля убийства — это бесконечно малые генераторы изометрий ; т. е. потоки , порождаемые полями Киллинга, являются непрерывными изометриями многообразия . Проще говоря, поток порождает симметрию в том смысле, что перемещение каждой точки объекта на одинаковое расстояние в направлении вектора Киллинга не искажает расстояния до объекта.

Определение

В частности, векторное поле является полем Киллинга, если производная Ли по метрике равна нулю: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}$

С точки зрения связи Леви-Чивита , это

${\displaystyle g\left(\nabla _{Y}X,Z\right)+g\left(Y,\nabla _{Z}X\right)=0\,}$

для всех векторов и . В локальных координатах это соответствует уравнению Киллинга ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}$

Это условие выражается в ковариантной форме. Следовательно, достаточно установить его в предпочтительной системе координат, чтобы он сохранялся во всех системах координат.

Примеры

Поле смерти на круге

Поле Убийств по кругу и поток вдоль Поля Убийств.

Векторное поле на окружности, направленное против часовой стрелки и имеющее одинаковую длину в каждой точке, является векторным полем Киллинга, поскольку перемещение каждой точки окружности вдоль этого векторного поля просто вращает окружность.

Поля смерти на гиперболической плоскости

Поле убийства на модели верхней полуплоскости, на полукруглом выделении точек. Это векторное поле Киллинга порождает специальное конформное преобразование. Цвет указывает величину векторного поля в этой точке.

Игрушечный пример векторного поля Киллинга находится в верхней полуплоскости, снабженной метрикой Пуанкаре . Пара обычно называется гиперболической плоскостью и имеет векторное поле Киллинга (с использованием стандартных координат). Это должно быть интуитивно понятно, поскольку ковариантная производная переносит метрику по интегральной кривой, порождаемой векторным полем (изображение которого параллельно оси x). ${\displaystyle M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}}$ ${\displaystyle g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle \nabla _{\partial _{x}}g}$

Более того, метрика не зависит от того, из чего мы можем сразу сделать вывод, что это поле Киллинга, используя один из результатов, приведенных ниже в этой статье. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$

Группа изометрии модели верхней полуплоскости (точнее, компонента, связанного с тождеством) равна (см. модель полуплоскости Пуанкаре ), а два других поля Киллинга могут быть получены из рассмотрения действия генераторов на верхняя полуплоскость. Два других порождающих поля Киллинга — это дилатация и специальное конформное преобразование . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D=x\partial _{x}+y\partial _{y}}$ ${\displaystyle K=(x^{2}-y^{2})\partial _{x}+2xy\partial _{y}}$

Поля смерти на 2-сфере

Поле смерти на сфере. Это векторное поле Киллинга генерирует вращение вокруг оси z. Цвет указывает высоту базовой точки каждого вектора в поле. Увеличьте для анимации течения по полю Киллинга.

Поля Киллинга двухсферы или, в более общем смысле, -сферы должны быть очевидны из обычной интуиции: сферы, обладающие вращательной симметрией, должны обладать полями Киллинга, которые генерируют вращение вокруг любой оси. То есть мы ожидаем наличия симметрии под действием группы трехмерного вращения SO(3) . То есть, используя априорные знания о том, что сферы могут быть вложены в евклидово пространство, сразу можно угадать форму полей Киллинга. В целом это невозможно, поэтому этот пример имеет очень ограниченную образовательную ценность. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Обычная карта двумерной сферы, встроенная в декартовы координаты, имеет вид ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x=\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=\cos \theta }$

так что параметризуется высота и параметризуется вращение вокруг оси. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle z}$

Обращение стандартной декартовой метрики дает стандартную метрику на сфере : ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

Интуитивно понятно, что вращение вокруг любой оси должно быть изометрией. На этой диаграмме векторное поле, генерирующее вращение вокруг оси: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$

В этих координатах все компоненты метрики не зависят от , что показывает, что это поле Киллинга. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \partial _{\phi }}$

Векторное поле

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

это не поле Смерти; координата явно появляется в метрике. Создаваемый поток идет с севера на юг; точки на северном полюсе расходятся, а на южном сходятся. Любое преобразование, которое перемещает точки ближе или дальше друг от друга, не может быть изометрией; поэтому генератором такого движения не может быть поле Киллинга. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \partial _{\theta }}$

Генератор распознается как вращение вокруг -оси. ${\displaystyle \partial _{\phi }}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Z=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }}$

Второй генератор для вращения вокруг оси - это ${\displaystyle x}$

${\displaystyle X=z\partial _{y}-y\partial _{z}}$

Третий генератор для вращения вокруг -оси: ${\displaystyle y}$

${\displaystyle Y=z\partial _{x}-x\partial _{z}}$

Алгебра, заданная линейными комбинациями этих трех образующих, замыкается и подчиняется соотношениям

${\displaystyle [X,Y]=Z\quad [Y,Z]=X\quad [Z,X]=Y.}$

Это алгебра Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Выражение и через сферические координаты дает ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X=\sin ^{2}\theta \,(\sin \phi \partial _{\theta }+\cot \theta \cos \phi \partial _{\phi })}$

и

${\displaystyle Y=\sin ^{2}\theta \,(\cos \phi \partial _{\theta }-\cot \theta \sin \phi \partial _{\phi })}$

То, что эти три векторных поля на самом деле являются полями Киллинга, можно определить двумя разными способами. Один из них — явные вычисления: просто подставьте явные выражения для и пыхтите, чтобы показать, что это стоящее упражнение. Альтернативно можно признать и генераторами изометрий в евклидовом пространстве, а поскольку метрика на сфере наследуется от метрики в евклиденовом пространстве, то и изометрии наследуются. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\mathcal {L}}_{Y}g={\mathcal {L}}_{Z}g=0.}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle Z}$

Эти три поля Киллинга образуют полный набор образующих алгебры. Они не уникальны: любая линейная комбинация этих трех полей по-прежнему является полем Киллинга.

В этом примере следует отметить несколько тонких моментов.

• Эти три поля не являются глобально отличными от нуля; действительно, поле исчезает на северном и южном полюсах; аналогично и исчезают в антиподах на экваторе. Один из способов понять это — это следствие « теоремы о волосатом шаре ». Это свойство проплешин является общим свойством симметричных пространств в разложении Картана . В каждой точке многообразия алгебра полей Киллинга естественным образом распадается на две части: одна часть касается многообразия, а другая — обращается в нуль (в точке, где происходит разложение). ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Три поля и не имеют единичной длины. Нормализовать можно путем деления на общий коэффициент появления во всех трех выражениях. Однако в этом случае поля уже не являются гладкими: например, сингулярными (недифференцируемыми) на северном и южном полюсах. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \partial _{\phi }=X/\sin ^{2}\theta }$
• Эти три поля не являются поточечно ортогональными; на самом деле они не могут быть, поскольку в любой данной точке касательная плоскость двумерна, а векторов три. Для любой точки сферы существует некоторая нетривиальная линейная комбинация и , которая обращается в нуль: эти три вектора представляют собой сверхполный базис двумерной касательной плоскости в этой точке. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle Z}$
• Априорное знание того , что сферы могут быть встроены в евклидово пространство и, таким образом, наследовать метрику от этого вложения, приводит к сбивчивому интуитивному пониманию правильного количества полей Киллинга, которое можно было бы ожидать. Без такого вложения интуиция могла бы подсказать, что число линейно независимых образующих не будет больше размерности касательного расслоения. Ведь, фиксируя любую точку многообразия, можно двигаться только в тех направлениях, которые являются касательными. Размерность касательного расслоения для 2-сферы равна двум, и тем не менее найдены три поля Киллинга. Опять же, этот «сюрприз» является общим свойством симметричных пространств.

Поля смерти в пространстве Минковского

Поля Киллинга пространства Минковского — это три пространственных перемещения, сдвиг времени, три генератора вращений ( маленькая группа ) и три генератора бустов . Это

• Переводы во времени и пространстве

  ${\displaystyle \partial _{t}~,\qquad \partial _{x}~,\qquad \partial _{y}~,\qquad \partial _{z}~;}$

• Векторные поля, генерирующие три вращения, часто называемые J- генераторами.

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;}$

• Векторные поля, генерирующие три повышения, K- генераторы,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.}$

Повышение и вращение порождают группу Лоренца . Вместе с перемещениями пространства-времени это образует алгебру Ли для группы Пуанкаре .

Поля смерти в плоском пространстве

Здесь мы выводим поля Киллинга для общего плоского пространства. Из уравнения Киллинга и тождества Риччи для ковектора ${\displaystyle K_{a}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}K_{c}-\nabla _{b}\nabla _{a}K_{c}=R^{d}{}_{cab}K_{d}}$

(используя обозначение абстрактного индекса ), где – тензор кривизны Римана , для поля Киллинга можно доказать следующее тождество : ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$ ${\displaystyle X^{a}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{d}{}_{acb}X_{d}.}$

Когда базовое многообразие представляет собой плоское пространство, то есть евклидово пространство или псевдоевклидово пространство (как в случае с пространством Минковского), мы можем выбрать глобальные плоские координаты так, чтобы в этих координатах связность Леви-Чивита и, следовательно, кривизна Римана исчезали повсюду, давая ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=0.}$

Интегрирование и наложение уравнения Киллинга позволяет нам записать общее решение в виде ${\displaystyle X_{\rho }}$

${\displaystyle X^{\rho }=\omega ^{\rho \sigma }x_{\sigma }+c^{\rho }}$

где антисимметричен. Принимая подходящие значения и , мы получаем основу обобщенной алгебры Пуанкаре изометрий плоского пространства: ${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }=-\omega ^{\nu \mu }}$ ${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle c^{\rho }}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }=x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }}$

${\displaystyle P_{\rho }=\partial _{\rho }.}$

Они генерируют псевдовращения (вращения и повышения) и перемещения соответственно. Интуитивно они сохраняют (псевдо)-метрику в каждой точке.

Для (псевдо)евклидова пространства тотальной размерности всего имеются образующие, делающие плоское пространство максимально симметричным. Это число является общим для максимально симметричных пространств. Максимально симметричные пространства можно рассматривать как подмногообразия плоского пространства, возникающие как поверхности постоянного собственного расстояния. ${\displaystyle n(n+1)/2}$

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p,q}:\eta (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}}$

которые имеют симметрию O( p ,  q ) . Если подмногообразие имеет размерность , эта группа симметрий имеет ожидаемую размерность (как группа Ли ). ${\displaystyle n}$

Эвристически мы можем вывести размерность алгебры поля Киллинга. Рассматривая уравнение Киллинга вместе с тождеством как систему дифференциальных уравнений второго порядка для , мы можем определить значение в любой точке по заданным начальным данным в точке . Исходные данные определяют и , но уравнение Киллинга предполагает, что ковариантная производная антисимметрична. В целом это независимые значения исходных данных. ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{c}{}_{bad}X_{c}.}$ ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{a}(p)}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}(p)}$ ${\displaystyle n^{2}-n(n-1)/2=n(n+1)/2}$

Конкретные примеры см. ниже в примерах плоского пространства (пространство Минковского) и максимально симметричных пространств (сфера, гиперболическое пространство).

Поля смерти в общей теории относительности

Поля Киллинга используются для обсуждения изометрий в общей теории относительности (в которой геометрия пространства-времени , искаженная гравитационными полями, рассматривается как 4-мерное псевдориманово многообразие). В статической конфигурации, в которой ничего не меняется со временем, вектор времени будет вектором Киллинга, и, таким образом, поле Киллинга будет указывать направление поступательного движения во времени. Например, метрика Шварцшильда имеет четыре поля Киллинга: метрика не зависит от , следовательно, является времениподобным полем Киллинга. Остальные три — это три генератора вращений, о которых говорилось выше. Метрика Керра для вращающейся черной дыры имеет только два поля Киллинга: времениподобное поле и поле, генерирующее вращения вокруг оси вращения черной дыры. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \partial _{t}}$

Пространство де Ситтера и анти-деситтеровское пространство являются максимально симметричными пространствами, -мерные версии каждого из которых обладают полями Киллинга. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$

Поле убийства постоянной координаты

Если метрические коэффициенты в некотором координатном базисе не зависят от одной из координат , то – вектор Киллинга, где – дельта Кронекера . ^[3] ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle dx^{a}\,}$ ${\displaystyle x^{\kappa }\,}$ ${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }\,}$ ${\displaystyle \delta _{\kappa }^{\mu }\,}$

Чтобы доказать это, предположим . Тогда и ${\displaystyle g_{\mu \nu },_{0}=0\,}$ ${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }\,}$ ${\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,}$

Теперь давайте посмотрим на условие убийства

${\displaystyle K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,}$

и из . Условие убийства становится ${\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }\,}$

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0\,}$

то есть это правда. ${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$

• Физический смысл, например, состоит в том, что, если ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени, многообразие автоматически должно иметь времяподобный вектор Киллинга.
• С точки зрения непрофессионала, если объект не трансформируется и не «развивается» во времени (по прошествии времени), течение времени не изменит меры объекта. В такой формулировке результат звучит как тавтология, но надо понимать, что пример сильно надуман: поля уничтожения применимы и к гораздо более сложным и интересным случаям.

Обратно, если метрика допускает поле Киллинга , то можно построить координаты, для которых . Эти координаты строятся путем взятия гиперповерхности, которая нигде не касается . Возьмите координаты на , затем определите локальные координаты где обозначает параметр вдоль интегральной кривой на основе при . В этих координатах производная Ли сводится к координатной производной, т.е. ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{0}g_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle (t,x^{i})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle (x^{i})}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g_{\mu \nu }=\partial _{0}g_{\mu \nu }}$

и по определению поля Киллинга левая часть обращается в нуль.

Характеристики

Поле Киллинга однозначно определяется вектором в некоторой точке и его градиентом (т.е. всеми ковариантными производными поля в этой точке).

Скобка Ли двух полей Киллинга по-прежнему остается полем Киллинга. Таким образом , поля Киллинга на многообразии M образуют подалгебру Ли векторных полей на M . Это алгебра Ли группы изометрий многообразия, если M полно . Риманово многообразие с транзитивной группой изометрий — однородное пространство .

Для компактных коллекторов

• Отрицательная кривизна Риччи означает, что не существует нетривиальных (ненулевых) полей Киллинга.
• Неположительная кривизна Риччи означает, что любое поле Киллинга параллельно. т.е. ковариантная производная вдоль любого векторного поля равна тождественному нулю.
• Если секционная кривизна положительна, а размерность M четна, поле Киллинга должно иметь ноль.

Ковариантная дивергенция любого векторного поля Киллинга исчезает.

Если – векторное поле Киллинга и – гармоническое векторное поле , то – гармоническая функция . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g(X,Y)}$

Если — векторное поле Киллинга и — гармоническая p-форма , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0\,.}$

Геодезика

Каждому вектору Киллинга соответствует величина, сохраняющаяся вдоль геодезических . Эта сохраняющаяся величина представляет собой метрическое произведение вектора Киллинга и вектора геодезического касательного. Вдоль аффинно параметризованной геодезической с касательным вектором, тогда заданным вектором Киллинга , величина сохраняется: ${\displaystyle U^{a}}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle U^{b}X_{b}}$

${\displaystyle U^{a}\nabla _{a}(U^{b}X_{b})=0}$

Это помогает аналитически изучать движения в пространстве-времени с симметрией. ^[4]

Тензор энергии-напряжения

Учитывая сохраняющийся симметричный тензор , то есть удовлетворяющий и , которые являются свойствами, типичными для тензора энергии-импульса , и вектора Киллинга , мы можем построить сохраняющуюся величину, удовлетворяющую ${\displaystyle T^{ab}}$ ${\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}$ ${\displaystyle \nabla _{a}T^{ab}=0}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle J^{a}:=T^{ab}X_{b}}$

${\displaystyle \nabla _{a}J^{a}=0.}$

Разложение Картана

Как отмечалось выше, скобка Ли двух полей Киллинга по-прежнему остается полем Киллинга. Таким образом , поля Киллинга на многообразии образуют подалгебру Ли всех векторных полей. При выборе точки алгебру можно разложить на две части: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle p\in M~,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}}$

и

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}}$

где – ковариантная производная . Эти две части тривиально пересекаются, но в общем случае не разделяются . Например, если — риманово однородное пространство, то тогда и только тогда, когда — риманово симметрическое пространство. ^[5] ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M}$

Интуитивно понятно, что изометрии локально определяют подмногообразие всего пространства, а поля Киллинга показывают, как «скользить вдоль» этого подмногообразия. Они охватывают касательное пространство этого подмногообразия. Касательное пространство должно иметь ту же размерность, что и изометрии, эффективно действующие в этой точке. То есть, можно ожидать. Однако, в общем, количество полей Киллинга больше, чем размерность этого касательного пространства. Как это может быть? Ответ в том, что «лишние» поля Киллинга избыточны. Взятые все вместе, поля обеспечивают сверхполную основу для касательного пространства в любой конкретной выбранной точке; линейные комбинации могут исчезать в этой конкретной точке. Это было видно на примере Полей Смерти на 2-сфере: имеется 3 Поля Смерти; в любой данной точке два охватывают касательное пространство в этой точке, а третий представляет собой линейную комбинацию двух других. Выбор любых двух определяет оставшиеся вырожденные линейные комбинации, которые определяют ортогональное пространство. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T_{p}N}$ ${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}~.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}};}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$

Картановская инволюция

Инволюция Картана определяется как отражение или изменение направления геодезической. Его дифференциал меняет направление касательных к геодезической. Это линейный оператор нормы один; он имеет два инвариантных подпространства с собственным значением +1 и -1. Эти два подпространства соответствуют и соответственно. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$

Это можно уточнить. Зафиксировав точку, рассмотрим геодезическую, проходящую через , причем инволюция определяется как ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p~.}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )}$

Эта карта представляет собой инволюцию, поскольку, будучи ограничена геодезическими вдоль полей Киллинга, она также явно является изометрией. Он определяется однозначно. ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=1~.}$

Пусть – группа изометрий, порожденная полями Киллинга. Функция, определенная ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s_{p}:G\to G}$

${\displaystyle s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}}$

является гомоморфизмом .​ Его бесконечно малая величина ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{\lambda =0}}$

Инволюция Картана является гомоморфизмом алгебры Ли, в том, что

${\displaystyle \theta _{p}[X,Y]=\left[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\right]}$

for all Подпространство имеет нечетную четность при инволюции Картана и четную четность. То есть, обозначая инволюцию Картана в точке, как это было сделано ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}~.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \theta _{p}}$

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-Id}$

и

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+Id}$

где идентификационная карта. Из этого следует, что подпространство является подалгеброй Ли в том, что Поскольку это подпространства с четной и нечетной четностью, скобки Ли расщепляются, так что и ${\displaystyle Id}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$

Вышеупомянутое разложение справедливо во всех точках симметричного пространства ; доказательства можно найти в Йосте. ^[6] Они также справедливы и в более общих условиях, но не обязательно во всех точках многообразия. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M}$

Для частного случая симметричного пространства это очевидно, то есть поля Киллинга охватывают все касательное пространство симметричного пространства. Эквивалентно, тензор кривизны ковариантно постоянен в локально симметричных пространствах, поэтому они локально распараллеливаемы; это теорема Картана-Амброуза-Хикса . ${\displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak {m}};}$

Обобщения

• Векторные поля Киллинга можно обобщить до конформных векторных полей Киллинга , определяемых для некоторого скаляра. Производные однопараметрических семейств конформных отображений являются конформными полями Киллинга. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}$ ${\displaystyle \lambda .}$
• Тензорные поля Киллинга — это симметричные тензорные поля T такие, что бесследовая часть симметризации обращается в нуль. Примеры многообразий с тензорами Киллинга включают вращающуюся черную дыру и космологию FRW . ^[7] ${\displaystyle \nabla T\,}$
• Векторные поля Киллинга также можно определить на любом многообразии M (возможно, без метрики), если вместо группы изометрий взять любую действующую на нем группу Ли G. ^[8] В этом более широком смысле векторное поле Киллинга — это продолжение правоинвариантного векторного поля на G посредством группового действия. Если действие группы эффективно, то пространство векторных полей Киллинга изоморфно алгебре Ли группы  G . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Смотрите также

• Аффинное векторное поле
• Коллинеация кривизны
• Гомотетическое векторное поле
• Убийственная форма
• Убийственный горизонт
• Убийство спинора
• Коллинеация материи
• Симметрии пространства-времени

Рекомендации

1. Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.
2. Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-000423-4.. См. главы 3, 9.
3. Миснер, Торн, Уилер (1973). Гравитация . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 133–139. ISBN 9780805387322.
5. Олмос, Карлос; Реджани, Сильвио; Тамару, Хироши (2014). Индекс симметрии компактных естественно редуктивных пространств . Математика. З. 277 , 611–628. DOI 10.1007/s00209-013-1268-0
6. Юрген Йост, (2002) «Римманова геометрия и геометрический анализ» (третье издание) Springer. ( См. раздел 5.2, стр. 241–251. )
7. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 263, 344. ISBN. 9780805387322.
8. Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4