Разложение Риччи

В математических областях римановой и псевдоримановой геометрии разложение Риччи — это способ разбить тензор кривизны Римана риманова или псевдориманова многообразия на части со специальными алгебраическими свойствами. Это разложение имеет фундаментальное значение в римановой и псевдоримановой геометрии.

Определение разложения

Пусть ( M , g ) — риманово или псевдориманово n -многообразие. Рассмотрим его риманову кривизну как (0,4)-тензорное поле. Эта статья будет следовать соглашению о знаках

${\displaystyle R_{ijkl}=g_{lp}{\Big (}\partial _{i}\Gamma _{jk}^{p}-\partial _{j}\Gamma _{ik}^{p}+\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jk}^{q}-\Gamma _{jq}^{p}\Gamma _{ik}^{q}{\Big )};}$

написано многолинейно, это соглашение

${\displaystyle \operatorname {Rm} (W,X,Y,Z)=g{\Big (}\nabla _{W}\nabla _{X}Y-\nabla _{X}\nabla _{W}Y-\nabla _{[W,X]}Y,Z{\Big )}.}$

Согласно этому соглашению, тензор Риччи представляет собой (0,2)-тензорное поле, определяемое формулой R _jk = g ^il R _ijkl , а скалярная кривизна определяется формулой R = g ^jk R _jk . (Обратите внимание, что это менее распространенное соглашение о знаках для тензора Риччи; более стандартно определить его путем сжатия первого и третьего или второго и четвертого индексов, что дает тензор Риччи с противоположным знаком. При этом более распространенном соглашения, знаки тензора Риччи и скаляра должны быть изменены в приведенных ниже уравнениях.) Определим бесследовый тензор Риччи

${\displaystyle Z_{jk}=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk},}$

а затем определим три (0,4)-тензорных поля S , E и W формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&={\frac {R}{n(n-1)}}{\big (}g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}{\big )}\\E_{ijkl}&={\frac {1}{n-2}}{\big (}Z_{il}g_{jk}-Z_{jl}g_{ik}-Z_{ik}g_{jl}+Z_{jk}g_{il}{\big )}\\W_{ijkl}&=R_{ijkl}-S_{ijkl}-E_{ijkl}.\end{aligned}}}$

«Разложение Риччи» — это утверждение

${\displaystyle R_{ijkl}=S_{ijkl}+E_{ijkl}+W_{ijkl}.}$

Как уже говорилось, это бессмысленно, поскольку это всего лишь реорганизация определения W . Важность разложения заключается в свойствах трех новых тензоров S , E и W.

Терминологическое примечание. Тензор W называется тензором Вейля . Обозначение W является стандартным в математической литературе, тогда как C более распространено в литературе по физике. Обозначение R является стандартным в обоих случаях, хотя стандартизированных обозначений для S , Z и E не существует .

Основные свойства

Свойства фигур

Каждый из тензоров S , E и W имеет те же алгебраические симметрии, что и тензор Римана. То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&=-S_{jikl}=-S_{ijlk}=S_{klij}\\E_{ijkl}&=-E_{jikl}=-E_{ijlk}=E_{klij}\\W_{ijkl}&=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}\end{aligned}}}$

вместе с

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}&=0\\E_{ijkl}+E_{jkil}+E_{kijl}&=0\\W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}&=0.\end{aligned}}}$

Тензор Вейля обладает дополнительной симметрией, заключающейся в его полной бесследности:

${\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0.}$

Герман Вейль показал, что в размерности не менее четырех W обладает замечательным свойством измерять отклонение риманова или псевдориманова многообразия от локальной конформной плоскостности ; если он равен нулю, то M можно покрыть картами, относительно которых g имеет вид g _ij =e ^f δ _ij для некоторой функции f, определенной от карты к карте.

(Менее чем в трех измерениях каждое многообразие локально конформно плоское, тогда как в трех измерениях тензор Коттона измеряет отклонение от локальной конформной плоскостности.)

Свойства разложения

Можно проверить, что разложение Риччи ортогонально в том смысле, что

${\displaystyle S_{ijkl}E^{ijkl}=S_{ijkl}W^{ijkl}=E_{ijkl}W^{ijkl}=0,}$

напоминая общее определение. Из этого следует следствие, которое можно доказать непосредственно: ${\displaystyle T^{ijkl}=g^{ip}g^{jq}g^{kr}g^{ls}T_{pqrs}.}$

${\displaystyle R_{ijkl}R^{ijkl}=S_{ijkl}S^{ijkl}+E_{ijkl}E^{ijkl}+W_{ijkl}W^{ijkl}.}$

Эту ортогональность можно представить без индексов как

${\displaystyle \langle S,E\rangle _{g}=\langle S,W\rangle _{g}=\langle E,W\rangle _{g}=0,}$

вместе с

${\displaystyle |\operatorname {Rm} |_{g}^{2}=|S|_{g}^{2}+|E|_{g}^{2}+|W|_{g}^{2}.}$

Связанные формулы

Можно вычислить «формулы нормы»

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}S^{ijkl}&={\frac {2R^{2}}{n(n-1)}}\\E_{ijkl}E^{ijkl}&={\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}-{\frac {4R^{2}}{n(n-2)}}\\W_{ijkl}W^{ijkl}&=R_{ijkl}R^{ijkl}-{\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}+{\frac {2R^{2}}{(n-1)(n-2)}}\end{aligned}}}$

и «формулы следов»

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{il}S_{ijkl}&={\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}E_{ijkl}&=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}W_{ijkl}&=0.\end{aligned}}}$

Математическое объяснение

Математически разложение Риччи — это разложение пространства всех тензоров , обладающих симметрией тензора Римана, на его неприводимые представления для действия ортогональной группы (Бессе 1987, глава 1, §G). Пусть V — n -мерное векторное пространство , снабженное метрическим тензором (возможно, смешанной сигнатуры). Здесь V моделируется в кокасательном пространстве в точке, так что тензор кривизны R (со всеми пониженными индексами) является элементом тензорного произведения V ⊗ V ⊗ V ⊗ V . Тензор кривизны кососимметричен в своих первых и последних двух записях:

${\displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)\,}$

и подчиняется перестановочной симметрии

${\displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),\,}$

для всех x , y , z , ш  ∈  V ^* . В результате R является элементом подпространства , второй симметричной степени второй внешней степени V. Тензор кривизны также должен удовлетворять тождеству Бьянки, что означает, что он находится в ядре линейного отображения, заданного формулой ${\displaystyle S^{2}\Lambda ^{2}V}$ ${\displaystyle b:S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V}$

${\displaystyle b(R)(x,y,z,w)=R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w).\,}$

Пространство R V  = ker b в S ² Λ ² V является пространством алгебраических тензоров кривизны. Разложение Риччи — это разложение этого пространства на неприводимые факторы. Отображение сжатия Риччи

${\displaystyle c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V}$

дан кем-то

${\displaystyle c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).}$

Это сопоставляет симметричную 2-форму с алгебраическим тензором кривизны. И наоборот, для пары симметричных 2-форм h и k произведение Кулкарни – Номидзу h и k

${\displaystyle (h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)}$

создает тензор алгебраической кривизны.

Если n ≥ 4, то существует ортогональное разложение на (единственные) неприводимые подпространства.

р V = S V ⊕ E V ⊕ C V

где

${\displaystyle \mathbf {S} V=\mathbb {R} g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$, где пространство действительных скаляров ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {E} V=g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}S_{0}^{2}V}$, где S²
₀V — пространство бесследовых симметричных 2-форм

${\displaystyle \mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.}$

Части S , E и C разложения Риччи данного тензора Римана R являются ортогональными проекциями R на эти инвариантные факторы и соответствуют (соответственно) скаляру Риччи , тензору Риччи с удаленным следом и тензору Вейля тензора кривизны Римана. В частности,

${\displaystyle R=S+E+C}$

является ортогональным разложением в том смысле, что

${\displaystyle |R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.}$

Это разложение выражает пространство тензоров с симметриями Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля соответственно. Каждый из этих модулей является неприводимым представлением ортогональной группы (Singer & Thorpe 1969), и, таким образом, разложение Риччи является частным случаем расщепления модуля полупростой группы Ли на ее неприводимые факторы. В размерности 4 модуль Вейля далее разлагается на пару неприводимых множителей для специальной ортогональной группы : самодуальную и антиавтодуальную части W ⁺ и W ⁻ .

Физическая интерпретация

Разложение Риччи можно физически интерпретировать в общей теории относительности Эйнштейна , где его иногда называют разложением Геэнио-Дебевера . В этой теории уравнение поля Эйнштейна

${\displaystyle G_{ab}=8\pi \,T_{ab}}$

где - тензор энергии-импульса , описывающий количество и движение всей материи, а также всей энергии и импульса негравитационного поля, утверждает, что тензор Риччи - или, что эквивалентно, тензор Эйнштейна - представляет ту часть гравитационного поля, которая обусловлена ​​непосредственным присутствием негравитационной энергии и импульса. Тензор Вейля представляет собой часть гравитационного поля, которая может распространяться как гравитационная волна через область, не содержащую материи или негравитационных полей. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля обращается в нуль, не содержат гравитационного излучения и также являются конформно плоскими. ${\displaystyle T_{ab}}$

Смотрите также

• Беловское разложение тензора Римана
• Конформная геометрия
• Классификация Петрова
• Тензор Плебанского
• исчисление Риччи
• Тензор Схоутена
• Бесследовый тензор Риччи

Рекомендации

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xii+510, ISBN. 978-3-540-15279-8.
• Шарп, RW (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картана программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9. В разделе 6.1 обсуждается декомпозиция. Версии разложения также входят в обсуждение конформной и проективной геометрии в главах 7 и 8.
• Сингер, И.М .; Торп, Дж. А. (1969), «Кривизна 4-мерных пространств Эйнштейна», Глобальный анализ (Документы в честь К. Кодайры) , Univ. Tokyo Press, стр. 355–365..