Обозначения Ван дер Вардена

Обозначения, используемые для спиноров Вейля

В теоретической физике обозначение Ван дер Вардена ^{[1] [2]} относится к использованию двухкомпонентных спиноров ( спиноров Вейля ) в четырех измерениях пространства-времени. Это стандарт в твисторной теории и суперсимметрии . Он назван в честь Бартеля Леендерта ван дер Вардена .

Пунктирные индексы

Индексы без точек (хиральные индексы)

Спиноры с нижними непунктирными индексами имеют левую киральность и называются киральными индексами.

${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {left} }={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}}$

Пунктирные индексы (антикиральные индексы)

Спиноры с поднятыми пунктирными индексами и верхней чертой на символе (не индексе) являются правыми и называются антихиральными индексами.

${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {right} }={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}}$

Без индексов, т.е. «безиндексная нотация», верхняя черта сохраняется на правом спиноре, поскольку возникает неоднозначность между киральностью, когда индекс не указан.

Шляпные индексы

Индексы со шляпками называются индексами Дирака и представляют собой набор индексов с точками и без точек, или киральных и антихиральных индексов. Например, если

${\displaystyle \alpha =1,2\,,{\dot {\alpha }}={\dot {1}},{\dot {2}}}$

тогда спинор в киральном базисе представляется как

${\displaystyle \Sigma _{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}}$

где

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ,{\dot {\alpha }})=1,2,{\dot {1}},{\dot {2}}}$

В этих обозначениях сопряженным Дираком (также называемым сопряженным Дираком ) является

${\displaystyle \Sigma ^{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\chi ^{\alpha }&{\bar {\psi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Символы Инфельда – Ван дер Вардена
• Преобразование Лоренца
• уравнение Паули
• исчисление Риччи

Примечания

1. Ван дер Варден Б.Л. (1929). «Спиноранализ». Нахр. Гес. Висс. Геттинген Матем.-Физ . охне Ангабе: 100–109.
2. Веблен О. (1933). «Геометрия двухкомпонентных спиноров». Учеб. Натл. акад. наук. США . 19 (4): 462–474. Бибкод : 1933PNAS...19..462В. дои : 10.1073/pnas.19.4.462 . ПМК 1086023 . ПМИД  16577541. 

Рекомендации

• Спиноры в физике
• П. Лабелль (2010), Суперсимметрия , Демистифицированная серия, McGraw-Hill (США), ISBN 978-0-07-163641-4
• Херли, диджей; Вандик, Массачусетс (2000), Геометрия, спиноры и приложения , Springer, ISBN 1-85233-223-9
• Пенроуз, Р.; Риндлер, В. (1984), Спиноры и пространство-время , том. 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-24527-3
• Будинич П.; Траутман, А. (1988), Спинориальная шахматная доска , Springer-Verlag, ISBN 0-387-19078-3