Метрическое соединение

Построить в дифференциальной геометрии

В математике метрическая связность — это связность в векторном расслоении E , снабженная метрикой расслоения ; то есть метрика, для которой внутренний продукт любых двух векторов останется неизменным, когда эти векторы параллельно транспортируются вдоль любой кривой. ^[1] Это эквивалентно:

• Связность, для которой ковариантные производные метрики на E обращаются в нуль.
• Основная связность на расслоении ортонормированных реперов E .

Частным случаем метрической связности является риманова связность; существует единственное такое соединение без кручения — соединение Леви-Чивита . В этом случае расслоение E является касательным расслоением TM многообразия, а метрика на E индуцируется римановой метрикой на M .

Другим частным случаем метрической связи является связь Янга–Миллса, которая удовлетворяет уравнениям движения Янга–Миллса . Большую часть механизмов определения соединения и его кривизны можно реализовать, не требуя какой-либо совместимости с метрикой связки. Однако, если требуется совместимость, эта метрическая связь определяет внутренний продукт, звезду Ходжа (которая дополнительно требует выбора ориентации) и лапласиан , которые необходимы для формулировки уравнений Янга – Миллса.

Определение

Пусть – любые локальные сечения векторного расслоения E и пусть X – векторное поле в базисном пространстве M расслоения. Определим метрику расслоения , то есть метрику на векторных слоях E . Тогда соединение D на E является метрическим соединением, если: ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .}$

Здесь d — обыкновенный дифференциал скалярной функции. Ковариантную производную можно расширить так, чтобы она действовала как отображение E -значных дифференциальных форм в базовом пространстве:

${\displaystyle D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).}$

Один определяет функцию и ${\displaystyle D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf}$ ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega }$

где – локальное гладкое сечение векторного расслоения и – (скалярнозначная) p -форма. Приведенные выше определения также применимы к локальным гладким каркасам , а также к локальным сечениям. ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Метрическое и двойное сопряжение

Метрику расслоения , налагаемую на E , не следует путать с естественным спариванием векторного пространства и его двойственного пространства, которое присуще любому векторному расслоению. Последняя является функцией на расслоении эндоморфизмов так, что ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},}$

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R} }$

пары векторов с двойственными векторами (функционалами) над каждой точкой M . То есть, если есть какая-либо локальная система координат на E , то естественным образом получается двойственная система координат на E *, удовлетворяющая . ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \{e_{i}^{*}\}}$ ${\displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}}$

Напротив, метрика пакета является функцией от ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle E\otimes E,}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R} }$

давая внутренний продукт на каждом слое векторного пространства E . Метрика расслоения позволяет определить ортонормированную систему координат уравнением ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Учитывая векторное расслоение, всегда можно определить на нем метрику расслоения.

Следуя стандартной практике ^[1] , можно определить форму связности , символы Кристоффеля и кривизну Римана без ссылки на метрику расслоения, используя только спаривание. Они будут подчиняться обычным свойствам симметрии; например, тензор кривизны будет антисимметричен по двум последним индексам и будет удовлетворять второму тождеству Бьянки . Однако для определения звезды Ходжа , лапласиана , первого тождества Бьянки и функционала Янга–Миллса необходима метрика расслоения. Звезде Ходжа дополнительно требуется выбор ориентации, и она дает двойник Ходжа своему аргументу. ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Форма подключения

Учитывая локальную диаграмму расслоения , ковариантную производную можно записать в виде

${\displaystyle D=d+A}$

где А — одноформа связи .

Немного нотационной техники в порядке. Пусть обозначает пространство дифференцируемых сечений на E , пусть обозначает пространство p -форм на M и пусть – эндоморфизмы на E. Ковариантная производная, как она определена здесь, представляет собой отображение ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}}$

${\displaystyle D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)}$

Форму связи можно выразить через коэффициенты связи как

${\displaystyle A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma ^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.}$

Цель обозначений состоит в том, чтобы отличить индексы j , k , которые пробегают n измерений слоя, от индекса i , который пробегает m -мерное базовое пространство. В приведенном ниже случае римановой связности векторное пространство E считается касательным расслоением TM и n = m .

Обозначение А для формы соединения пришло из физики , в исторической ссылке на векторное потенциальное поле электромагнетизма и калибровочной теории . В математике обозначение часто используется вместо А , как в статье о форме связи ; к сожалению, использование для формы соединения противоречит использованию для обозначения общей альтернативной формы векторного расслоения. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Косая симметрия

Связность кососимметрична по индексам векторного пространства (слоя); то есть для данного векторного поля матрица кососимметрична; эквивалентно, это элемент алгебры Ли . ${\displaystyle X\in TM}$ ${\displaystyle A(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$

Это можно увидеть следующим образом. Пусть слой n -мерен, так что расслоению E можно задать ортонормированный локальный репер с i = 1, 2, ..., n . Тогда по определению имеем, что , так что: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle de_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.}$

Кроме того, для каждой точки расслоенной диаграммы локальная система координат ортонормирована: ${\displaystyle x\in U\subset M}$

${\displaystyle \langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.}$

Отсюда следует, что для каждого вектора ${\displaystyle X\in T_{x}M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}}$

То есть является кососимметричным. ${\displaystyle A=-A^{\text{T}}}$

Это достигается путем явного использования метрики пакета; без использования этого и используя только спаривание , можно только связать форму связности A на E с ее двойственной формой A ^∗ на E ^∗ , поскольку Это следует из определения двойственной связи как ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle A^{*}=-A^{\text{T}}.}$ ${\displaystyle d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).}$

Кривизна

Существует несколько обозначений кривизны соединения, в том числе современное, использующее F для обозначения тензора напряженности поля , классическое, использующее R в качестве тензора кривизны , и классическое обозначение тензора кривизны Римана , большинство из которых могут естественным образом распространяется на случай векторных расслоений. Ни одно из этих определений не требует ни метрического тензора, ни метрики расслоения и может быть определено совершенно конкретно без ссылки на них. Однако определения требуют четкого представления об эндоморфизмах E , как описано выше.

Компактный стиль

Наиболее компактное определение кривизны F состоит в том, чтобы определить ее как 2-форму, принимающую значения в , определяемые величиной, на которую соединение не может быть точным; то есть как ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)}$

${\displaystyle F=D\circ D}$

который является элементом

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),}$

или эквивалентно,

${\displaystyle F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)}$

Чтобы связать это с другими распространенными определениями и обозначениями, пусть это будет раздел E . Вставляя в вышеизложенное и расширяя, находим ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d+A)\circ (d+A)\sigma =(dA+A\wedge A)\sigma }$

или, что то же самое, удаление раздела

${\displaystyle F=dA+A\wedge A}$

как краткое определение.

Стиль компонента

В терминах компонент пусть где – стандартные одноформовые координатные базы на кокасательном расслоении T ^* M . Вставляя в вышеизложенное и расширяя, получаем (используя соглашение о суммировании ): ${\displaystyle A=A_{i}dx^{i},}$ ${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

Имейте в виду, что для n -мерного векторного пространства каждое из них представляет собой матрицу размера n × n , индексы которой подавлены, тогда как индексы i и j пробегают 1,..., m , где m является размерностью лежащее в основе многообразие. Оба этих индекса могут проявляться одновременно, как показано в следующем разделе. ${\displaystyle A_{i}}$

Представленные здесь обозначения обычно используются в физике; например, его можно сразу узнать как тензор напряженности глюонного поля . В абелевом случае n = 1 и векторное расслоение одномерно; коммутатор исчезает, и вышеуказанное можно затем признать электромагнитным тензором в более или менее стандартных физических обозначениях.

Стиль относительности

Все индексы можно сделать явными, предоставив гладкую структуру i = 1, ..., n на . Тогда данный раздел может быть записан как ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{i}e_{i}}$

В этом локальном фрейме форма соединения становится

${\displaystyle (A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{}_{ij}dx^{i}}$

будучи символом Кристоффеля ; опять же, индекс i пробегает 1,..., m (размерность основного многообразия M ), тогда как j и k пробегают 1,..., n , размерность слоя. Вставив и повернув рукоятку, получим ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$

где теперь идентифицируется как тензор кривизны Римана . Это написано в стиле, обычно используемом во многих учебниках по общей теории относительности середины 20-го века (за несколькими заметными исключениями, такими как MTW , который на ранних этапах настаивал на безиндексной системе обозначений). Опять же, индексы i и j охватывают размеры многообразия M , а r и k — размерность слоев. ${\displaystyle R^{k}{}_{rij}}$

Стиль касательного пучка

Вышеуказанное можно перенести обратно в стиль векторного поля, записав в качестве стандартных базовых элементов для касательного расслоения TM . Затем определяется тензор кривизны как ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}}$

так что пространственные направления повторно поглощаются, что приводит к обозначению

${\displaystyle F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma }$

Альтернативно, пространственные направления можно сделать явными, скрывая индексы, записав выражения в терминах векторных полей X и Y на TM . В стандартном базисе X равен

${\displaystyle X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

и то же самое для Y. После небольшого включения и пыхтения можно получить

${\displaystyle R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma }$

где

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{Y}X}$

является производной Ли векторного поля Y относительно X .

Напомним, что тензор кривизны отображает волокна в волокна:

${\displaystyle R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

так что

${\displaystyle R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

Чтобы внести ясность, существуют ли альтернативные обозначения одного и того же понятия. Обратите внимание, что ни одна из вышеперечисленных манипуляций никогда не требовала прохождения метрики пакета. Можно также продемонстрировать вторую идентичность Бьянки. ${\displaystyle F=R(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle DF=0}$

без необходимости использования метрики пакета.

Связь Янга-Миллса

Приведенное выше развитие тензора кривизны не апеллировало к метрике расслоения. То есть им не нужно было предполагать, что D или A были метрическими связностями: для получения вышеуказанных форм достаточно просто иметь связность на векторном расслоении. Все различные варианты обозначений непосредственно следуют только из рассмотрения эндоморфизмов слоев расслоения.

Метрика расслоения необходима для определения звезды Ходжа и двойственной звезды Ходжа ; это необходимо, в свою очередь, для определения лапласиана и демонстрации того, что

${\displaystyle D{\star }F=0}$

Любое соединение, удовлетворяющее этому тождеству, называется соединением Янга-Миллса . Можно показать, что эта связь является критической точкой уравнений Эйлера–Лагранжа , применяемых к действию Янга–Миллса.

${\displaystyle YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)}$

где - элемент объема , двойственный по Ходжу константе 1. Обратите внимание, что для построения этого действия требуются три различных скалярных произведения: метрическая связь на E , скалярный продукт на End( E ), эквивалентный квадратичному оператору Казимира ( след пары матриц) и двойственность Ходжа. ${\displaystyle {\star }(1)}$

Риманова связь

Важным частным случаем метрической связности является риманова связность . Это связность на касательном расслоении псевдориманова многообразия ( M , g ) такая, что для всех векторных полей X на M. Эквивалентно, является римановым, если определяемый им параллельный транспорт сохраняет метрику g . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$ ${\displaystyle \nabla }$

Данная связность является римановой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

для всех векторных полей X , Y и Z на M , где обозначает производную функции вдоль этого векторного поля . ${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))}$ ${\displaystyle g(Y,Z)}$ ${\displaystyle X}$

Связность Леви-Чивита — это риманова связность без кручения на многообразии. Оно уникально согласно основной теореме римановой геометрии . Для каждой римановой связности можно написать (уникальную) соответствующую связность Леви-Чивита. Разница между ними определяется тензором искривления .

В обозначениях компонентов ковариантная производная совместима с метрическим тензором , если ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle \nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.}$

Хотя могут быть определены и другие ковариантные производные, обычно рассматривают только метрически-совместимую производную. Это связано с тем, что при наличии двух ковариантных производных и существует тензор для преобразования одной в другую: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla '}$

${\displaystyle \nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$

Если пространство также без кручения , то тензор симметричен по своим первым двум индексам. ${\displaystyle {C_{ab}}^{c}}$

Несколько слов об обозначениях

В этом случае принято менять обозначения и использовать символ набла ∇ вместо D ; в остальном это одно и то же. То есть ∇ = D из предыдущих разделов выше.

Аналогично скалярное произведение на E заменяется метрическим тензором g на TM . Это согласуется с историческим обычаем, но также позволяет избежать путаницы: для общего случая векторного расслоения E предполагается, что базовое многообразие M не наделено метрикой. Частный случай многообразий с метрикой g на TM в дополнение к метрике расслоения на E приводит к теории Калуцы–Клейна . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Смотрите также

• Вертикальные и горизонтальные пучки

Рекомендации

1. Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ (PDF) , Universitext (Шестое изд.), Springer, Гейдельберг, doi : 10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, МР  2829653.( Третье издание: см. главу 3; Шестое издание: см. главу 4. )

• Родригес, Вашингтон; Фернандес, В.В.; Мойя, AM (2005). «Метрические совместимые ковариантные производные». arXiv : math/0501561 .
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-87033-2
• Шмидт, Б.Г. (1973). «Условия, при которых соединение является метрическим». Коммун. Математика. Физ . 29 (1): 55–59. Бибкод : 1973CMaPh..29...55S. дои : 10.1007/bf01661152. hdl : 10338.dmlcz/127117 . S2CID  121543450.