Уравнения Янга–Миллса

Уравнения с частными производными, решения которых являются инстантонами

Коэффициент dx ¹ ⊗σ ₃ инстантона BPST на (x ¹ ,x ² ) -срезе R ⁴ , где σ ₃ - третья матрица Паули (вверху слева). Коэффициент dx ² ⊗σ ₃ (вверху справа). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона BPST A с g=2, ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля с центром вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля инстантона BPST с центром z на компактификации S ⁴ R ⁴ (внизу справа). Инстантон BPST является решением уравнений антисамодуальности и, следовательно, уравнений Янга–Миллса на R ⁴ . Это решение может быть расширено теоремой Уленбека об устранимой особенности до топологически нетривиальной ASD-связности на S ⁴ .

В физике и математике , и особенно в дифференциальной геометрии и калибровочной теории , уравнения Янга–Миллса представляют собой систему уравнений в частных производных для связности на векторном расслоении или главном расслоении . Они возникают в физике как уравнения Эйлера–Лагранжа функционала действия Янга –Миллса . Они также нашли значительное применение в математике.

Решения уравнений называются связями Янга–Миллса или инстантонами . Пространство модулей инстантонов использовалось Саймоном Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона .

Мотивация

Физика

В своей основополагающей статье по теме калибровочных теорий Роберт Миллс и Чен-Нин Ян разработали (по сути, независимо от математической литературы) теорию главных расслоений и связностей, чтобы объяснить концепцию калибровочной симметрии и калибровочной инвариантности применительно к физическим теориям. ^[1] Калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом, теперь называемые теориями Янга–Миллса , обобщили классическую работу Джеймса Максвелла по уравнениям Максвелла , которая была сформулирована на языке калибровочной теории Вольфгангом Паули и другими. ^[2] Новизна работы Янга и Миллса состояла в определении калибровочных теорий для произвольного выбора группы Ли , называемой структурной группой (или в физике калибровочной группой , см. Калибровочная группа (математика) для получения более подробной информации). Эта группа может быть неабелевой в отличие от случая, соответствующего электромагнетизму, и правильной основой для обсуждения таких объектов является теория главных расслоений . ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$

Основные моменты работы Янга и Миллса следующие. Предполагается, что фундаментальное описание физической модели осуществляется с помощью полей , и выводится, что при локальном калибровочном преобразовании (изменении локальной тривиализации главного расслоения) эти физические поля должны преобразовываться точно так же, как преобразуется связь (в физике — калибровочное поле ) на главном расслоении. Напряженность калибровочного поля — это кривизна связи, а энергия калибровочного поля задается (с точностью до константы) функционалом действия Янга–Миллса ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}$

Принцип наименьшего действия диктует, что правильные уравнения движения для этой физической теории должны быть заданы уравнениями Эйлера–Лагранжа этого функционала, которые представляют собой уравнения Янга–Миллса, выведенные ниже:

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}$

Математика

В дополнение к физическим истокам теории, уравнения Янга–Миллса представляют важный геометрический интерес. В общем случае нет естественного выбора связности на векторном расслоении или главном расслоении. В частном случае, когда это расслоение является касательным расслоением к римановому многообразию , такой естественный выбор есть, связность Леви-Чивиты , но в общем случае есть бесконечномерное пространство возможных выборов. Связность Янга–Миллса дает некоторый естественный выбор связности для общего расслоения, как мы сейчас опишем.

Связность определяется ее локальными формами для тривиализирующего открытого покрытия для расслоения . Первой попыткой выбора канонической связности может быть требование, чтобы эти формы исчезали. Однако это невозможно, если тривиализация не является плоской, в том смысле, что функции перехода являются постоянными функциями. Не каждое расслоение является плоским, поэтому это невозможно в общем случае. Вместо этого можно было бы потребовать, чтобы локальные формы связности сами были постоянными. На главном расслоении правильный способ сформулировать это условие состоит в том, что кривизна исчезает. Однако, по теории Черна–Вейля, если кривизна исчезает (то есть является плоской связностью ), то лежащее в основе главное расслоение должно иметь тривиальные классы Черна , что является топологическим препятствием к существованию плоских связностей: не каждое главное расслоение может иметь плоскую связность. ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle A}$

Лучшее, на что можно надеяться, — это попросить, чтобы вместо исчезающей кривизны расслоение имело кривизну как можно меньше . Функционал действия Янга–Миллса, описанный выше, — это в точности (квадрат) -нормы кривизны, а его уравнения Эйлера–Лагранжа описывают критические точки этого функционала, либо абсолютные минимумы, либо локальные минимумы. То есть, связности Янга–Миллса — это именно те, которые минимизируют свою кривизну. В этом смысле они являются естественным выбором связности на главном или векторном расслоении над многообразием с математической точки зрения. ${\displaystyle L^{2}}$

Определение

Пусть будет компактным , ориентированным , римановым многообразием . Уравнения Янга–Миллса можно сформулировать для связности на векторном расслоении или главном -расслоении над для некоторой компактной группы Ли . Здесь представлено последнее соглашение. Пусть обозначает главное -расслоение над . Тогда связность на может быть задана дифференциальной формой со значениями в алгебре Ли на тотальном пространстве главного расслоения. Эта связность имеет форму кривизны , которая является двумерной формой на со значениями в присоединенном расслоении . С этой связностью связана внешняя ковариантная производная , определенная на присоединенном расслоении. Кроме того, поскольку является компактной, ее связанная компактная алгебра Ли допускает инвариантное скалярное произведение относительно присоединенного представления . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle G}$

Так как является римановым, то на кокасательном расслоении есть скалярное произведение , а в сочетании с инвариантным скалярным произведением на есть скалярное произведение на расслоении -значных двумерных форм на . Так как является ориентированным, то на сечениях этого расслоения есть -скалярное произведение. А именно, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle s,t\rangle \,dvol_{g}}$

где внутри интеграла используется послойное внутреннее произведение, и является римановой формой объема . Используя это внутреннее произведение, формальный сопряженный оператор определяется как ${\displaystyle dvol_{g}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle d_{A}}$

${\displaystyle \langle d_{A}s,t\rangle _{L^{2}}=\langle s,d_{A}^{*}t\rangle _{L^{2}}}$.

Явно это задается выражением, где — оператор звезды Ходжа, действующий на двумерные формы. ${\displaystyle d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star }$ ${\displaystyle \star }$

Принимая вышеизложенное во внимание, уравнения Янга–Миллса представляют собой систему (в общем случае нелинейных) уравнений в частных производных, задаваемую как

Поскольку звезда Ходжа является изоморфизмом, то по явной формуле для уравнений Янга–Миллса можно эквивалентно записать ${\displaystyle d_{A}^{*}}$

Связь, удовлетворяющая условиям ( 1 ) или ( 2 ), называется связью Янга–Миллса .

Каждое соединение автоматически удовлетворяет тождеству Бьянки , поэтому соединения Янга–Миллса можно рассматривать как нелинейный аналог гармонических дифференциальных форм , которые удовлетворяют ${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle d\omega =d^{*}\omega =0}$.

В этом смысле поиск связей Янга–Миллса можно сравнить с теорией Ходжа , которая ищет гармонического представителя в классе когомологий де Рама дифференциальной формы. Аналогия заключается в том, что связь Янга–Миллса подобна гармоническому представителю в наборе всех возможных связей на главном расслоении.

Вывод

Уравнения Янга–Миллса являются уравнениями Эйлера–Лагранжа функционала Янга–Миллса , определяемыми как

Чтобы вывести уравнения из функционала, напомним, что пространство всех связей на является аффинным пространством, смоделированным на основе векторного пространства . При небольшой деформации связи в этом аффинном пространстве кривизны связаны соотношением ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle A+ta}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\wedge a.}$

Чтобы определить критические точки ( 3 ), вычислите

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\operatorname {YM} (A+ta)\right)_{t=0}&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\|F_{A}\|^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\rangle +t^{4}\|a\wedge a\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&=2\int _{X}\langle d_{A}^{*}F_{A},a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{aligned}}}$

Связь является критической точкой функционала Янга–Миллса тогда и только тогда, когда она обращается в нуль для каждого , и это происходит именно тогда, когда выполняется ( 1 ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$

Пространство модулей связностей Янга–Миллса

Уравнения Янга–Миллса калибровочно инвариантны . Математически калибровочное преобразование является автоморфизмом главного расслоения , и поскольку скалярное произведение на инвариантно, функционал Янга–Миллса удовлетворяет ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (g\cdot A)=\int _{X}\|gF_{A}g^{-1}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM} (A)}$

и поэтому, если удовлетворяет ( 1 ), то также удовлетворяет . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g\cdot A}$

Существует пространство модулей связностей Янга–Миллса по модулю калибровочных преобразований. Обозначим через калибровочную группу автоморфизмов . Множество классифицирует все связности по модулю калибровочных преобразований, а пространство модулей связностей Янга–Миллса является подмножеством. В общем случае ни или не является хаусдорфовым или гладким многообразием. Однако, ограничиваясь неприводимыми связностями, то есть связями, группа голономии которых задается всеми из , можно получить хаусдорфовы пространства. Пространство неприводимых связностей обозначается , и поэтому пространства модулей обозначаются и . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{*}}$

Пространства модулей связностей Янга–Миллса интенсивно изучались при определенных обстоятельствах. Майкл Атья и Рауль Ботт изучали уравнения Янга–Миллса для расслоений над компактными римановыми поверхностями . ^[4] Там пространство модулей получает альтернативное описание как пространство модулей голоморфных векторных расслоений . Это теорема Нарасимхана–Сешадри , которая была доказана в этой форме, связывая связности Янга–Миллса с голоморфными векторными расслоениями Дональдсоном. ^[5] В этой постановке пространство модулей имеет структуру компактного кэлерова многообразия . Модули связностей Янга–Миллса наиболее изучены, когда размерность базового многообразия равна четырем. ^{[3] [6]} Здесь уравнения Янга–Миллса допускают упрощение от уравнения в частных производных второго порядка до уравнения в частных производных первого порядка, уравнений антисамодуальности. ${\displaystyle X}$

Уравнения антисамодуальности

Когда размерность базового многообразия равна четырем, происходит совпадение: оператор звезды Ходжа отображает двумерные формы в двумерные формы, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$.

Оператор звезды Ходжа в этом случае квадратичен и имеет собственные значения и . В частности, существует разложение ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

в положительные и отрицательные собственные пространства , самодвойственные и антисамодвойственные 2-формы. Если связность на главном -расслоении над четырехмерным многообразием удовлетворяет либо , либо , то по ( 2 ) связность является связностью Янга–Миллса. Эти связности называются либо самодвойственными связностями , либо антисамодвойственными связностями , а уравнения уравнениями самодвойственности (SD) и уравнениями антисамодвойственности (ASD) . ^[3] Пространства самодвойственных и антисамодвойственных связностей обозначаются и , и аналогично для и . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{A}={\star F_{A}}}$ ${\displaystyle F_{A}=-{\star F_{A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\pm }}$

Пространство модулей ASD-связностей, или инстантонов, наиболее интенсивно изучалось Дональдсоном в случае, когда и является односвязным . ^{[7] [8] [9]} В этой постановке главное -расслоение классифицируется своим вторым классом Черна , . ^{[Примечание 1]} Для различных выборов главного расслоения получаются пространства модулей с интересными свойствами. Эти пространства являются хаусдорфовыми, даже когда допускают приводимые связности, и являются в общем гладкими. Дональдсон показал, что гладкая часть ориентируема. По теореме об индексе Атьи–Зингера можно вычислить, что размерность , пространства модулей ASD-связностей, когда , будет ${\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle c_{2}(P)\in H^{4}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}^{-}}$ ${\displaystyle c_{2}(P)=k}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X))}$

где — первое число Бетти , а — размерность положительно определенного подпространства относительно формы пересечения на . ^[3] Например, когда и , форма пересечения тривиальна, а пространство модулей имеет размерность . Это согласуется с существованием инстантона BPST , который является уникальным инстантоном ASD на с точностью до 5-параметрического семейства, определяющего его центр в и его масштаб. Такие инстантоны на могут быть расширены через точку на бесконечности с помощью теоремы Уленбека об устранимой сингулярности. В более общем случае, для положительных пространств модулей имеет размерность ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{+}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=S^{4}}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5}$ ${\displaystyle S^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle 8k-3.}$

Приложения

Теорема Дональдсона

Пространство модулей уравнений Янга–Миллса использовалось Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона о форме пересечения односвязных четырехмерных многообразий. Используя аналитические результаты Клиффорда Таубса и Карен Уленбек , Дональдсон смог показать, что в определенных обстоятельствах (когда форма пересечения определена ) пространство модулей инстантонов ASD на гладком, компактном, ориентированном, односвязном четырехмерном многообразии дает кобордизм между копией самого многообразия и несвязным объединением копий комплексной проективной плоскости . ^{[7] [10] [11] [12]} Мы можем подсчитать количество копий двумя способами: один раз, используя эту сигнатуру — инвариант кобордизма, а другой — используя интерпретацию приводимых связностей в теории Ходжа. Тщательно интерпретируя эти подсчеты, можно заключить, что такое гладкое многообразие имеет диагонализируемую форму пересечения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Пространство модулей инстантонов ASD может быть использовано для определения дополнительных инвариантов четырехмерных многообразий. Дональдсон определил полиномы на второй группе гомологий соответствующим образом ограниченного класса четырехмерных многообразий, возникающих из пар классов когомологий на пространстве модулей. ^[9] Эта работа впоследствии была превзойдена инвариантами Зайберга–Виттена .

Редукция размерности и другие модульные пространства

С помощью процесса размерной редукции уравнения Янга–Миллса могут быть использованы для вывода других важных уравнений в дифференциальной геометрии и калибровочной теории. Размерная редукция — это процесс рассмотрения уравнений Янга–Миллса над четырехмерным многообразием, обычно , и навязывания того, что решения должны быть инвариантными относительно группы симметрии. Например: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Требуя, чтобы уравнения антисамодуальности были инвариантны относительно трансляций в одном направлении , получаем уравнения Богомольного , которые описывают магнитные монополи на . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Требуя, чтобы уравнения самодуальности были инвариантны относительно переноса в двух направлениях, получаем уравнения Хитчина, впервые исследованные Хитчиным . Эти уравнения естественным образом приводят к изучению расслоений Хиггса и системы Хитчина .
• Требуя, чтобы уравнения антисамодуальности были инвариантны в трех направлениях, получаем уравнения Нама на интервале.

Существует двойственность между решениями размерно редуцированных уравнений ASD на и называемая преобразованием Нама, в честь Вернера Нама , который первым описал, как строить монополи из данных уравнения Нама. ^[13] Хитчин показал обратное, а Дональдсон доказал, что решения уравнений Нама могут быть дополнительно связаны с пространствами модулей рациональных отображений из комплексной проективной прямой в себя. ^{[14] [15]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Дуальность, наблюдаемая для этих решений, теоретически верна для произвольных дуальных групп симметрий четырехмерного многообразия. Действительно, существует похожая дуальность между инстантонами, инвариантными относительно дуальных решеток внутри , инстантонами на дуальных четырехмерных торах, и конструкцию ADHM можно рассматривать как дуальность между инстантонами на и дуальными алгебраическими данными над одной точкой. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Редукция симметрии уравнений ASD также приводит к ряду интегрируемых систем , и гипотеза Уорда заключается в том, что на самом деле все известные интегрируемые ОДУ и УЧП происходят из редукции симметрии ASDYM. Например, редукция SU(2) ASDYM дает уравнение синус-Гордона и Кортевега–де Фриза , ASDYM дает уравнение Цицейки , а конкретная редукция к размерностям дает интегрируемую хиральную модель Уорда. ^[16] В этом смысле это «главная теория» для интегрируемых систем, позволяющая восстановить многие известные системы путем выбора соответствующих параметров, таких как выбор калибровочной группы и схемы редукции симметрии. Другими такими главными теориями являются четырехмерная теория Черна–Саймонса и аффинная модель Годена . ${\displaystyle \mathrm {SL} (3,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2+1}$

Теория Черна–Саймонса

Пространство модулей уравнений Янга–Миллса над компактной римановой поверхностью можно рассматривать как конфигурационное пространство теории Черна–Саймонса на цилиндре . В этом случае пространство модулей допускает геометрическое квантование , открытое независимо Найджелом Хитчином и Аксельродом–Делла Пьетрой– Виттеном . ^{[17] [18]} ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \times [0,1]}$

Смотрите также

• Соединение (векторный пучок)
• Подключение (основной пучок)
• теория Дональдсона
• Эрмитовые уравнения Янга – Миллса
• Деформированные эрмитовы уравнения Янга–Миллса
• Уравнения Янга–Миллса–Хиггса

Примечания

1. Доказательство этого факта см. в посте https://mathoverflow.net/a/265399.

Ссылки

1. Янг, КН и Миллс, РЛ, 1954. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность. Physical review, 96(1), стр.191.
2. Паули, В., 1941. Релятивистские полевые теории элементарных частиц. Reviews of Modern Physics, 13(3), стр.203.
3. Дональдсон, SK, & Кронхаймер, PB (1990). Геометрия четырехмерных многообразий. Oxford University Press.
4. Атья, М. Ф. и Ботт, Р. (1983). Уравнения Янга–Миллса над римановыми поверхностями. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки, 308(1505), 523–615.
5. Дональдсон, СК (1983). Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри. Журнал дифференциальной геометрии, 18(2), 269–277.
6. Фридман, Р. и Морган, Дж. В. (1998). Калибровочная теория и топология четырехмерных многообразий (т. 4). Американское математическое общество.
7. Дональдсон, SK (1983). Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18(2), 279–315.
8. Дональдсон, СК (1986). Связи, когомологии и формы пересечения 4-многообразий. Журнал дифференциальной геометрии, 24(3), 275–341.
9. Дональдсон, SK (1990). Полиномиальные инварианты для гладких четырехмерных многообразий. Топология, 29(3), 257–315.
10. Таубс, CH (1982). Самодуальные связности Янга–Миллса на несамодвойственных 4-многообразиях. Журнал дифференциальной геометрии, 17(1), 139–170.
11. Uhlenbeck, KK (1982). Связи с ограничениями L ^p на кривизну. Сообщения по математической физике, 83(1), 31–42.
12. Uhlenbeck, KK (1982). Устранимые сингулярности в полях Янга–Миллса. Сообщения по математической физике, 83(1), 11–29.
13. Нам, В. (1983). Все самодуальные мультимонополи для произвольных калибровочных групп. В «Структурных элементах в физике частиц и статистической механике» (стр. 301–310). Springer, Бостон, Массачусетс.
14. Хитчин, Нью-Джерси (1983). О построении монополей. Сообщения по математической физике, 89(2), 145–190.
15. Дональдсон, СК (1984). Уравнения Нама и классификация монополей. Сообщения по математической физике, 96(3), 387–408.
16. Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 151–154. ISBN 9780198570639.
17. Хитчин, Нью-Джерси (1990). Плоские связи и геометрическое квантование. Сообщения в математической физике, 131(2), 347–380.
18. Аксельрод, С., Делла Пьетра, С. и Виттен, Э. (1991). Геометрическое квантование калибровочной теории Черна Саймонса. представления, 34, 39.