элемент Казимира

Выделенный элемент центра алгебры Ли

В математике элемент Казимира (также известный как инвариант Казимира или оператор Казимира ) — это выдающийся элемент центра универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли . Прототипическим примером является оператор квадрата углового момента , который является элементом Казимира трехмерной группы вращений .

В более общем смысле элементы Казимира можно использовать для обозначения любого элемента центра универсальной обертывающей алгебры. Известно, что алгебра этих элементов изоморфна полиномиальной алгебре посредством изоморфизма Хариша-Чандры .

Элемент Казимира назван в честь Хендрика Казимира , который идентифицировал его в своем описании динамики твердого тела в 1931 году. ^[1]

Определение

Наиболее часто используемый инвариант Казимира — квадратичный инвариант. Его проще всего определить, поэтому он приводится первым. Однако могут быть и инварианты Казимира более высокого порядка, которые соответствуют однородным симметричным многочленам более высокого порядка.

Квадратичный элемент Казимира

Предположим, что является -мерной алгеброй Ли . Пусть B будет невырожденной билинейной формой на , которая инвариантна относительно присоединенного действия на себя, что означает, что для всех X , Y , Z в . (Наиболее типичным выбором B является форма Киллинга, если является полупростой .) Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

быть любой основой , и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

быть двойственным базисом относительно B. Элемент Казимира для B — это элемент универсальной обертывающей алгебры, заданный формулой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

Хотя определение опирается на выбор базиса для алгебры Ли, легко показать, что Ω не зависит от этого выбора. С другой стороны, Ω зависит от билинейной формы B. Инвариантность B подразумевает, что элемент Казимира коммутирует со всеми элементами алгебры Ли и, следовательно, лежит в центре универсальной обертывающей алгебры . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Квадратичный инвариант Казимира линейного представления и гладкого действия

При наличии представления ρ на векторном пространстве V , возможно, бесконечномерном, инвариант Казимира для ρ определяется как ρ (Ω), линейный оператор на V , заданный формулой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

Конкретная форма этой конструкции играет важную роль в дифференциальной геометрии и глобальном анализе. Предположим, что связная группа Ли G с алгеброй Ли действует на дифференцируемом многообразии M. Рассмотрим соответствующее представление ρ группы G на пространстве гладких функций на M. Тогда элементы из представляются дифференциальными операторами первого порядка на M. В этой ситуации инвариант Казимира для ρ является G-инвариантным дифференциальным оператором второго порядка на M, определяемым приведенной выше формулой. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Более конкретно, если случается так, что M имеет риманову метрику , на которой G действует транзитивно посредством изометрий, а стабилизирующая подгруппа G _x точки действует неприводимо на касательном пространстве M в точке x , то инвариант Казимира для ρ является скалярным кратным оператора Лапласа, вытекающего из метрики.

Могут быть также определены более общие инварианты Казимира, обычно встречающиеся при изучении псевдодифференциальных операторов в теории Фредгольма .

Элементы Казимира высшего порядка

Статья об универсальных обертывающих алгебрах дает подробное, точное определение операторов Казимира и описание некоторых их свойств. Все операторы Казимира соответствуют симметричным однородным многочленам в симметричной алгебре присоединенного представления : ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}$

где m — порядок симметричного тензора , а форма — базис векторного пространства . Это соответствует симметричному однородному многочлену ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$

в m неопределенных переменных в полиномиальной алгебре над полем K. Причина симметрии следует из теоремы PBW и гораздо более подробно обсуждается в статье об универсальных обертывающих алгебрах . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$

Более того, элемент Казимира должен принадлежать центру универсальной обертывающей алгебры, т.е. он должен подчиняться

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

для всех базисных элементов В терминах соответствующего симметричного тензора это условие эквивалентно инвариантности тензора: ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

где — структурные константы алгебры Ли, т.е. . ${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}$

Характеристики

Единственность квадратичного элемента Казимира

Поскольку для простой алгебры Ли каждая инвариантная билинейная форма является кратной форме Киллинга , соответствующий элемент Казимира определен однозначно с точностью до константы. Для общей полупростой алгебры Ли пространство инвариантных билинейных форм имеет один базисный вектор для каждой простой компоненты, и, следовательно, то же самое верно для пространства соответствующих операторов Казимира.

Связь с лапласианом наГ

Если — компактная группа Ли с алгеброй Ли , выбор невырожденной инвариантной билинейной формы на соответствует выбору биинвариантной римановой метрики на . Тогда при отождествлении универсальной обертывающей алгебры с левоинвариантными дифференциальными операторами на элемент Казимира билинейной формы на отображается в лапласиан (относительно соответствующей биинвариантной метрики). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Элементы Казимира и теория представлений

По теореме Рака [ ^3] для полупростой алгебры Ли размерность центра универсальной обертывающей алгебры равна ее рангу . Оператор Казимира дает понятие лапласиана на общей полупростой группе Ли ; но для ранга > 1 не существует единственного аналога лапласиана.

По определению любой элемент центра универсальной обертывающей алгебры коммутирует со всеми другими элементами алгебры. По лемме Шура , в любом неприводимом представлении алгебры Ли любой элемент Казимира, таким образом, пропорционален единице. Собственные значения всех элементов Казимира могут быть использованы для классификации представлений алгебры Ли (и, следовательно, также ее группы Ли ). ^{[4] [ необходимо разъяснение ]}

Физическая масса и спин являются примерами этих собственных значений, как и многие другие квантовые числа, обнаруженные в квантовой механике . На первый взгляд, топологические квантовые числа являются исключением из этой закономерности; хотя более глубокие теории намекают, что это две грани одного и того же явления. ^{[ по мнению кого? ] [ необходима цитата ]} .

Пусть — конечномерный модуль наибольшего веса веса . Тогда квадратичный элемент Казимира действует на константой ${\displaystyle L(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L(\lambda )}$

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$

где — вес, определяемый половиной суммы положительных корней. ^[5] Если нетривиально (т.е. если ), то эта константа отлична от нуля. В конце концов, поскольку доминирует, если , то и , показывая, что . Это наблюдение играет важную роль в доказательстве теоремы Вейля о полной приводимости . Также можно доказать неисчезаемость собственного значения более абстрактным способом — без использования явной формулы для собственного значения — с помощью критерия Картана; см. разделы 4.3 и 6.2 в книге Хамфриса. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$

Симметричные инвариантные тензоры простых алгебр Ли

Элемент Казимира порядка соответствует симметричному инвариантному тензору того же порядка посредством . Построение и связывание элементов Казимира эквивалентно выполнению того же действия для симметричных инвариантных тензоров. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}}$

Построение симметричных инвариантных тензоров

Симметричные инвариантные тензоры могут быть построены как симметризованные следы в определяющем представлении ^[6]

${\displaystyle k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)}$

где индексы повышаются и понижаются формой Киллинга и симметричны относительно всех перестановок.

Также возможно построить симметричные инвариантные тензоры из антисимметричных инвариантных тензоров типа

${\displaystyle \Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}[i_{2}}^{j_{1}}\cdots f_{i_{2m-3}i_{2m-2}]}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}}$

Симметричный инвариантный тензор ^[7]

${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}}$

бесследен для . Такие инвариантные тензоры ортогональны друг другу в том смысле, что если . ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0}$ ${\displaystyle n>m}$

В случае простой алгебры Ли введем полностью симметричный тензор третьего порядка такой, что в определяющем представлении ${\displaystyle A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}}$ ${\displaystyle d_{ijk}}$

${\displaystyle X_{i}X_{j}={\frac {2}{\ell +1}}\delta _{ij}+f_{ij}^{k}X_{k}+d_{ij}^{k}X_{k}}$

Тогда симметричные инвариантные тензоры Садбери равны ^[6]

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}}$

Соотношения между симметричными инвариантными тензорами

Для простой алгебры Ли ранга существуют алгебраически независимые симметричные инвариантные тензоры. Поэтому любой такой тензор может быть выражен через заданные тензоры. Существует систематический метод вывода полных наборов тождеств между симметричными инвариантными тензорами. ^[6] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

В случае алгебры Ли симметричные инвариантные тензоры подчиняются . ^[7] Перевыражение этих тензоров в терминах других семейств, таких как или приводит к нетривиальным соотношениям внутри этих других семейств. Например, тензоры Садбери могут быть выражены в терминах , с соотношениями типа ^[7] ${\displaystyle A_{l}}$ ${\displaystyle t^{(m)}}$ ${\displaystyle t^{(m>l+1)}=0}$ ${\displaystyle d^{(m)}}$ ${\displaystyle k^{(m)}}$ ${\displaystyle d^{(m>l+1)}}$ ${\displaystyle d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

Структурные константы также подчиняются тождествам, которые не связаны напрямую с симметричными инвариантными тензорами, например ^[8]

${\displaystyle 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}}$

Примеры

Случайсл(2)

Алгебра Ли состоит из комплексных матриц размером два на два с нулевым следом. Существует три стандартных базисных элемента, , и , причем ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Коммутаторы

${\displaystyle {\begin{aligned}[][e,f]&=h,&[h,f]&=-2f,&[h,e]&=2e.\end{aligned}}}$

Можно показать, что элемент Казимира есть

$${\displaystyle \Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe={\frac {3}{2}}I_{2}.}$$

Случайтак(3)

Алгебра Ли — это алгебра Ли SO(3) , группа вращений для трехмерного евклидова пространства . Она простая, ранга 1, и поэтому имеет одного независимого Казимира. Форма Киллинга для группы вращений — это просто символ Кронекера , и поэтому инвариант Казимира — это просто сумма квадратов генераторов алгебры. То есть инвариант Казимира задается как ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

Рассмотрим неприводимое представление , в котором наибольшее собственное значение равно , где возможные значения равны . Инвариантность оператора Казимира подразумевает, что он кратен оператору тождества . Эту константу можно вычислить явно, что даст следующий результат ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$

В квантовой механике скалярная величина называется полным угловым моментом . Для конечномерных матричнозначных представлений группы вращения всегда принимает целые значения (для бозонных представлений ) или полуцелые значения (для фермионных представлений ). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

Для заданного значения матричное представление является -мерным. Так, например, трехмерное представление для соответствует , и задается генераторами ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \ell =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

где множители необходимы для согласования с физическим соглашением (используемым здесь), что генераторы должны быть косо-самосопряженными операторами. ^[10] ${\displaystyle i}$

Квадратичный инвариант Казимира можно затем легко вычислить вручную, получив в результате:

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

как когда . ${\displaystyle \ell (\ell +1)=2}$ ${\displaystyle \ell =1}$

Это то, что имеется в виду, когда мы говорим, что собственные значения оператора Казимира используются для классификации неприводимых представлений алгебры Ли (и ассоциированной группы Ли): два неприводимых представления алгебры Ли эквивалентны тогда и только тогда, когда их элемент Казимира имеет одно и то же собственное значение. В этом случае неприводимые значения полностью определяются значением или, что эквивалентно, значением . Аналогично, двумерное представление имеет базис, заданный матрицами Паули , которые соответствуют спину 1 ⁄ 2 , и можно снова проверить формулу для Казимира прямым вычислением. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$

Смотрите также

• Изоморфизм Хариша-Чандры
• Псевдовектор Паули–Любанского
• Коэффициенты Клебша–Гордана

Ссылки

1. Оливер, Дэвид (2004). Лохматый конь физики: математическая красота в физическом мире . Springer. стр. 81. ISBN 978-0-387-40307-6.
2. Холл 2015 Предложение 10.5
3. Рака, Джулио (1965). Теория групп и спектроскопия . Springer Berlin Heidelberg.
4. Ксавье Бекарт, «Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике» (2005) Лекция, Летняя школа Модава по математической физике .
5. Холл 2015 Предложение 10.6
6. Mountain, Arthur J. (1998). «Инвариантные тензоры и операторы Казимира для простых компактных групп Ли». Журнал математической физики . 39 (10): 5601–5607. arXiv : physics/9802012 . Bibcode :1998JMP....39.5601M. doi :10.1063/1.532552. ISSN  0022-2488. S2CID  16436468.
7. Azcarraga, de; Macfarlane, AJ; Mountain, AJ; Bueno, JC Perez (1997-06-03). "Инвариантные тензоры для простых групп". Nuclear Physics B . 510 (3): 657–687. arXiv : physics/9706006 . doi :10.1016/S0550-3213(97)00609-3. S2CID  14665950.
8. Хабер, Говард Э. (2019-12-31). "Полезные отношения между генераторами в определяющих и присоединенных представлениях SU(N)". SciPost Physics Lecture Notes . arXiv : 1912.13302v2 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.21 . S2CID  42081451.
9. Холл 2013 Предложение 17.8
10. Холл 2013 Предложение 17.3

• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков, Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H, ISBN 9781461471165
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666

Дальнейшее чтение

• Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Graduate Texts in Mathematics. Том 9 (Второе издание, исправленное издание). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Якобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Dover Publications. стр. 243–249. ISBN 0-486-63832-4.
• https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element