Тензор конторсии

Тензор конторсии в дифференциальной геометрии — это разница между связностью с кручением и без него. Он обычно появляется при изучении спиновых связей . Так, например, репер вместе со спиновой связью, когда подчиняется условию исчезновения кручения, дает описание гравитации Эйнштейна. Для суперсимметрии то же самое ограничение, исчезающего кручения, дает (уравнения поля) одиннадцатимерной супергравитации . ^[1] То есть, тензор конторсии, наряду со связью, становится одним из динамических объектов теории, понижая метрику до второстепенной, производной роли.

Устранение кручения в соединении называется поглощением кручения и является одним из этапов метода эквивалентности Картана для установления эквивалентности геометрических структур.

Определение в метрической геометрии

В метрической геометрии тензор искривления выражает разницу между совместимой с метрикой аффинной связностью с символом Кристоффеля и уникальной связностью Леви-Чивиты без кручения для той же метрики. ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$

Тензор конторсии определяется через тензор кручения следующим образом (с точностью до знака, см. ниже): ${\displaystyle K_{kji}}$ ${\displaystyle {T^{l}}_{ij}={\Gamma ^{l}}_{ij}-{\Gamma ^{l}}_{ji}}$

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jki}-T_{kij})}$

где индексы повышаются и понижаются относительно метрики:

${\displaystyle T_{ijk}\equiv g_{il}{T^{l}}_{jk}}$.

Причина неочевидной суммы в определении тензора конторсии заключается в разнице суммы-суммы, которая обеспечивает метрическую совместимость. Тензор конторсии антисимметричен в первых двух индексах, в то время как сам тензор кручения антисимметричен в своих последних двух индексах; это показано ниже.

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jki}-T_{kij})}$

${\displaystyle K_{(ij)k}={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jik})+{\tfrac {1}{2}}(T_{jki}+T_{ikj})-{\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{kji}){\bigr ]}}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(T_{ijk}+T_{jik}+T_{jki}+T_{ikj}-T_{kij}-T_{kji})}$

${\displaystyle =0}$

Полную метрически совместимую аффинную связность можно записать как:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},}$

где связь Леви-Чивиты без кручения: ${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}}$

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})}$

Определение в аффинной геометрии

В аффинной геометрии нет ни метрики, ни метрической связи, и поэтому нельзя свободно повышать и понижать индексы по требованию. Можно все еще достичь похожего эффекта, используя форму припоя , позволяя расслоению быть связанным с тем, что происходит в его базовом пространстве. Это явно геометрическая точка зрения, с тензорами, которые теперь являются геометрическими объектами в вертикальных и горизонтальных расслоениях расслоения волокон , вместо того, чтобы быть индексированными алгебраическими объектами, определенными только в базовом пространстве. В этом случае можно построить тензор искривления, живущий как одна форма на касательном расслоении.

Напомним, что кручение соединения можно выразить как ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta _{\omega }=D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$

где - форма припоя ( тавтологическая одноформа ). Нижний индекс служит лишь напоминанием о том, что этот тензор кручения был получен из соединения. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega }$

По аналогии с понижением индекса тензора кручения на участке выше можно выполнить аналогичную операцию с формой припоя и построить тензор

${\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=\langle \theta (Z),\Theta _{\omega }(X,Y)\rangle +\langle \theta (Y),\Theta _{\omega }(Z,X)\rangle -\langle \theta (X),\Theta _{\omega }(Y,Z)\rangle }$

Вот скалярное произведение. Этот тензор можно выразить как ^[2] ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

${\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=2\langle \theta (Z),\sigma _{\omega }(X)\theta (Y)\rangle }$

Величина является формой искривления и является именно тем, что нужно добавить к произвольной связи, чтобы получить связь Леви-Чивиты без кручения. То есть, если задана связь Эресмана , то существует другая связь , которая не имеет кручения. ${\displaystyle \sigma _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +\sigma _{\omega }}$

Тогда исчезновение кручения эквивалентно наличию

${\displaystyle \Theta _{\omega +\sigma _{\omega }}=0}$

или

${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma _{\omega })\wedge \theta }$

Это можно рассматривать как уравнение поля, связывающее динамику связи с динамикой тензора конторсии.

Вывод

Один из способов быстрого вывода совместимой с метрикой аффинной связности — повторить идею суммы-суммы-разности, использованную при выводе связности Леви–Чивиты, но не принимать кручение равным нулю. Ниже приведен вывод.

Соглашение о выводе (выберите этот способ определения коэффициентов связности. Мотивация заключается в формах связности с одной точкой в ​​калибровочной теории):

${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k},}$

${\displaystyle \nabla _{i}\omega _{j}=\partial _{i}\omega _{j}-{\Gamma ^{k}}_{ji}\omega _{k},}$

Начнем с условия метрической совместимости:

${\displaystyle \nabla _{i}g_{jk}=\partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}=0,}$

Теперь используем сумму-разность (циклируем индексы по условию):

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}+\partial _{j}g_{ki}-{\Gamma ^{l}}_{kj}g_{li}-{\Gamma ^{l}}_{ij}g_{kl}-\partial _{k}g_{ij}+{\Gamma ^{l}}_{ik}g_{lj}+{\Gamma ^{l}}_{jk}g_{il}=0}$

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kji}-\Gamma _{jki}-\Gamma _{ikj}-\Gamma _{kij}+\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}=0}$

Теперь воспользуемся приведенным ниже определением тензора кручения (для голономной системы отсчета), чтобы переписать связь:

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ij}-{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma _{kij}=T_{kij}+\Gamma _{kji}}$

Обратите внимание, что это определение кручения имеет противоположный знак, чем обычное определение при использовании вышеуказанного соглашения для упорядочения коэффициентов связи по нижнему индексу, т.е. оно имеет противоположный знак, чем определение без координат в следующем разделе по геометрии. Исправление этого несоответствия (которое, кажется, распространено в литературе) привело бы к тензору искривления с противоположным знаком. ${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k}}$ ${\displaystyle \Theta _{\omega }=D\theta }$

Подставим определение тензора кручения в то, что имеем:

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-(T_{kji}+\Gamma _{kij})-\Gamma _{jki}-(T_{ikj}+\Gamma _{ijk})-\Gamma _{kij}+(T_{jik}+\Gamma _{jki})+\Gamma _{ijk}=0}$

Очистите его и объедините подобные термины.

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik}}$

Члены кручения объединяются, чтобы создать объект, который преобразуется тензорно. Поскольку эти члены объединяются вместе метрически совместимым образом, им дается название, тензор конторсии, который определяет кососимметричную часть метрически совместимой аффинной связности.

Мы определим его здесь, мотивируя это тем, что он соответствует индексам левой части уравнения выше.

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik})}$

Очистка с использованием антисимметрии тензора кручения дает то, что мы определим как тензор конторсии:

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{ijk}-T_{jki})}$

Подставляя это обратно в наше выражение, мы имеем:

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2K_{kij}}$

Теперь выделим коэффициенты связи и сгруппируем члены кручения:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})+{\tfrac {1}{2}}g^{lk}(2K_{kij})}$

Напомним, что первый член с частными производными — это выражение связи Леви-Чивиты, часто используемое релятивистами.

Следуя этому примеру, определим следующее как соединение Леви-Чивиты без кручения:

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})}$

Тогда мы получаем, что полную метрически совместимую аффинную связность теперь можно записать как:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},}$

Связь с телепараллелизмом

В теории телепараллелизма мы сталкиваемся со связностью, связностью Вейценбёка , которая является плоской (исчезающая риманова кривизна), но имеет неисчезающее кручение. Плоскость — это именно то, что позволяет строить поля параллельных фреймов. Эти понятия можно распространить на супермногообразия . ^[3]

Смотрите также

• Тензор энергии-напряжения Белинфанте–Розенфельда

Ссылки

1. Урс Шрайбер, «11d Gravity From Just the Torsion Constraints» (2016)
2. Дэвид Бликер, «Калибровочная теория и вариационные принципы», архив 2021-07-09 в Wayback Machine (1982) D. Reidel Publishing (см. теорему 6.2.5)
3. Брайс ДеВитт , Супермногообразия , (1984) Cambridge University Press ISBN  0521 42377 5 (См. подраздел «дистантный параллелизм» раздела 2.7.)