Внешняя алгебра

Алгебра векторного пространства

Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (ориентированный плоский элемент), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт n векторов можно визуализировать как любую n -мерную форму (например, n - параллелотоп , n - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъемом ) и ориентацией , определяемой ориентацией его ( n - 1) -мерной границы и тем, на какой стороне находится внутренняя часть. ^{[1] [2]}

В математике внешнее произведение или клиновое произведение векторов — это алгебраическая конструкция, используемая в геометрии для изучения площадей , объёмов и их многомерных аналогов. Внешний продукт двух векторов u и  v , обозначаемый u ∧ v , называется бивектором и находится в пространстве, называемом внешним квадратом , векторном пространстве , отличном от исходного пространства векторов. Величину [ ^3] u ∧ v можно интерпретировать как площадь параллелограмма со сторонами u и  v , которую в трех измерениях также можно вычислить с использованием векторного произведения двух векторов. Как и векторное произведение, внешнее произведение является антикоммутативным , что означает, что u ∧ v = −( v ∧ u ) для всех векторов u и v , но, в отличие от векторного произведения, внешнее произведение ассоциативно . Один из способов визуализировать бивектор — это семейство параллелограммов , лежащих в одной плоскости, имеющих одинаковую площадь и ориентацию , что представляет собой выбор направления вращения внутри плоскости (по часовой стрелке или против часовой стрелки с некоторой точки зрения).

При таком рассмотрении внешнее произведение двух векторов называется 2-лопастным . В более общем смысле, внешний продукт любого количества k векторов может быть определен и иногда называется k -лезвием. Он живет в пространстве, известном как k -я внешняя сила. Величина получившегося k -лопасти представляет собой объем k -мерного параллелепипеда , ребра которого представляют собой заданные векторы, точно так же, как величина скалярного тройного произведения векторов в трех измерениях дает объем параллелепипеда, порожденного этими векторами.

Внешняя алгебра , или алгебра Грассмана по имени Германа Грассмана , ^[4] — это алгебраическая система, продуктом которой является внешний продукт. Внешняя алгебра обеспечивает алгебраическую среду для ответа на геометрические вопросы. Например, лезвия имеют конкретную геометрическую интерпретацию, а объектами внешней алгебры можно манипулировать в соответствии с набором однозначных правил. Внешняя алгебра содержит объекты, которые являются не только k -лопастями, но и суммами k -лопастей; такая сумма называется k -вектором . ^[5] k -лопасти , поскольку они являются простыми произведениями векторов, называются простыми элементами алгебры. Ранг любого k -вектора определяется как наименьшее количество простых элементов, суммой которых он является . Внешний продукт распространяется на полную внешнюю алгебру, так что имеет смысл перемножить любые два элемента алгебры. Оснащенная этим произведением внешняя алгебра является ассоциативной алгеброй , а это означает, что α ∧ ( β ∧ γ ) = ( α ∧ β ) ∧ γ для любых элементов α , β , γ . k -векторы имеют степень k , что означает , что они являются суммами произведений k векторов. При умножении элементов разной степени степени складываются аналогично умножению многочленов. Это означает, что внешняя алгебра является градуированной алгеброй .

Определение внешней алгебры имеет смысл для пространств не только геометрических векторов, но и других вектороподобных объектов, таких как векторные поля или функции . В полной общности внешняя алгебра может быть определена для модулей над коммутативным кольцом и для других структур, представляющих интерес в абстрактной алгебре . Это одна из тех более общих конструкций, в которых внешняя алгебра находит одно из своих наиболее важных приложений, где она появляется как алгебра дифференциальных форм , имеющая фундаментальное значение в областях, использующих дифференциальную геометрию . Дифференциальные формы — это математические объекты, которые представляют области бесконечно малых параллелограммов (и тел более высокой размерности) и поэтому могут быть интегрированы по поверхностям и многообразиям более высокой размерности таким образом, чтобы обобщать линейные интегралы из исчисления. Внешняя алгебра также обладает многими алгебраическими свойствами, которые делают ее удобным инструментом в самой алгебре. Ассоциация внешней алгебры с векторным пространством представляет собой тип функтора векторных пространств, что означает, что он совместим с линейными преобразованиями векторных пространств. Внешняя алгебра является одним из примеров биалгебры , что означает, что ее двойственное пространство также обладает продуктом, и этот двойственный продукт совместим с внешним продуктом. Эта двойственная алгебра является алгеброй знакопеременных полилинейных форм , а спаривание между внешней алгеброй и ее двойственной алгеброй задается внутренним произведением .

Мотивирующие примеры

Первые два примера предполагают метрическое тензорное поле и ориентацию; третий пример также не предполагает.

Области в самолете

Площадь параллелограмма через определитель матрицы координат двух его вершин.

Двумерное евклидово векторное пространство — это вещественное векторное пространство, снабженное базисом, состоящим из пары единичных векторов. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},}$

с ориентацией, заданной порядком , и с метрикой . ${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Предположим, что

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2}}$

представляют собой пару заданных векторов в , записанных в компонентах. Существует единственный параллелограмм, у которого и две стороны. Площадь этого параллелограмма определяется стандартной формулой определителя : ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\text{Area}}={\Bigl |}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}{\Bigr |}={\Biggl |}\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\Biggr |}=\left|ad-bc\right|.}$

Рассмотрим теперь внешнее произведение и : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}$

где первый шаг использует закон распределения для внешнего продукта, а последний использует тот факт, что внешний продукт является переменным отображением , и, в частности (Тот факт, что внешний продукт является переменным отображением, также заставляет ) Обратите внимание, что коэффициент в это последнее выражение и есть определитель матрицы [ vw ] . Тот факт, что это может быть положительным или отрицательным, имеет интуитивное значение, заключающееся в том, что v и w могут быть ориентированы по часовой стрелке или против часовой стрелки, как вершины параллелограмма, который они определяют. Такая площадь называется знаковой площадью параллелограмма: абсолютное значение знаковой площади — это обычная площадь, а знак определяет ее ориентацию. ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.}$

Тот факт, что этот коэффициент является знаковой областью, не случаен. Фактически, относительно легко увидеть, что внешний продукт должен быть связан со знаковой областью, если попытаться аксиоматизировать эту область как алгебраическую конструкцию. Подробно, если A( v , w ) обозначает подписанную область параллелограмма, в котором пара векторов v и w образуют две смежные стороны, то A должен удовлетворять следующим свойствам:

1. A( r v , s w ) = rs A( v , w ) для любых действительных чисел r и s , поскольку изменение масштаба любой из сторон изменяет масштаб площади на ту же величину (а изменение направления одной из сторон меняет ориентацию на противоположную) параллелограмма).
2. A( v , v ) = 0 , поскольку площадь вырожденного параллелограмма, определяемого v (т. е. отрезок прямой ), равна нулю.
3. A( w , v ) = −A( v , w ) , поскольку замена ролей v и w меняет ориентацию параллелограмма на противоположную.
4. A( v + r w , w ) = A( v , w ) для любого действительного числа r , поскольку добавление числа, кратного w , к v не влияет ни на основание, ни на высоту параллелограмма и, следовательно, сохраняет его площадь.
5. A( e ₁ , e ₂ ) = 1 , поскольку площадь единичного квадрата равна единице.

Перекрестное произведение ( синий вектор) по отношению к внешнему произведению ( голубой параллелограмм). Длина векторного произведения равна длине параллельного единичного вектора ( красный ), а размер внешнего произведения соответствует размеру эталонного параллелограмма ( светло-красный ).

За исключением последнего свойства, внешнее произведение двух векторов обладает теми же свойствами, что и площадь. В определенном смысле внешний продукт обобщает окончательное свойство, позволяя сравнивать площадь параллелограмма с площадью любого выбранного параллелограмма в параллельной плоскости (в данном случае со сторонами e 1 _и e 2 ₎ . Другими словами, внешний продукт обеспечивает независимую от базиса формулировку площади. ^[6]

Перекрестные и тройные произведения

Перекрестное произведение ( синий вектор) по отношению к внешнему произведению ( голубой параллелограмм). Длина векторного произведения равна длине параллельного единичного вектора ( красный ), а размер внешнего произведения соответствует размеру эталонного параллелограмма ( светло-красный ).

Для векторов из R ³ внешняя алгебра тесно связана с векторным произведением и тройным произведением . Используя стандартный базис { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , внешнее произведение пары векторов

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

и

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$

является

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

где { е ₁ ∧ е ₂ , е ₃ ∧ е ₁ , е ₂ ∧ е ₃ } — основа трехмерного пространства ⋀ ² ( R ³ ). Приведенные выше коэффициенты такие же, как и в обычном определении векторного произведения векторов в трех измерениях, с той лишь разницей, что внешнее произведение не является обычным вектором, а является 2-вектором.

Вводим третий вектор

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

внешнее произведение трех векторов равно

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

где e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ — базисный вектор одномерного пространства ⋀ ³ ( R ³ ). Скалярный коэффициент представляет собой тройное произведение трех векторов.

Перекрестное произведение и тройное произведение в трех измерениях допускают как геометрическую, так и алгебраическую интерпретацию. Векторное произведение u × v можно интерпретировать как вектор, который перпендикулярен как u , так и v и величина которого равна площади параллелограмма, определяемого двумя векторами. Его также можно интерпретировать как вектор, состоящий из миноров матрицы со столбцами u и v . Тройное произведение u , v и w геометрически является (подписанным) объемом. Алгебраически это определитель матрицы со столбцами u , v и w . Внешний вид изделия в трех измерениях допускает аналогичные интерпретации. Фактически, при наличии положительно ориентированного ортонормированного базиса внешнее произведение обобщает эти понятия на более высокие измерения.

Формальное определение

Внешняя алгебра Λ( V ) векторного пространства V над полем K определяется как факторалгебра тензорной алгебры по двустороннему идеалу I , порожденному всеми элементами вида x ⊗ x такими, что x ∈ V . ^[7] Символически,

${\displaystyle \Lambda (V):=T(V)/I.\,}$

Внешний продукт ∧ двух элементов Λ( V ) определяется формулой

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}.}$

Алгебраические свойства

Альтернативный продукт

Внешнее произведение построено на чередующихся элементах , что означает, что для всех по приведенной выше конструкции. Отсюда следует, что произведение также антикоммутативно на элементах , если предположить, что , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\wedge x=0}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,y\in V}$

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

следовательно

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

В более общем смысле, если является перестановкой целых чисел , и , , ... являются элементами , из этого следует, что ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [1,\dots ,k]}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

где подпись перестановки . ^[8] ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$

В частности, если для некоторого , то имеет место также следующее обобщение знакопеременного свойства: ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Вместе с распределительным свойством внешнего произведения еще одно обобщение состоит в том, что необходимым и достаточным условием того, чтобы быть линейно зависимым набором векторов, является то, что ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Внешняя мощность

k - я внешняя степень , обозначаемая , является векторным подпространством , натянутым на элементы вида ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

Если , то говорят, что это k -вектор . Если, кроме того, может быть выражено как внешнее произведение элементов , то оно называется разложимым (или  простым , по одним авторам, или  лезвием , по другим). Хотя разложимые -векторы охватывают , не каждый элемент является разложимым. Например, с базисом следующий 2-вектор не является разложимым: ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

Основа и размерность

Если размерность есть и является базисом для , то множество ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$

является основой для . Причина в следующем: дано любое внешнее произведение вида ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

каждый вектор можно записать как линейную комбинацию базисных векторов ; используя билинейность внешнего произведения, это можно расширить до линейной комбинации внешних произведений этих базисных векторов. Любой внешний продукт, в котором один и тот же базисный вектор встречается более одного раза, равен нулю; любой внешний продукт, в котором базисные векторы не расположены в правильном порядке, можно переупорядочить, меняя знак всякий раз, когда два базисных вектора меняются местами. В общем, результирующие коэффициенты базисных k -векторов можно вычислить как миноры матрицы , описывающей векторы в терминах базиса . ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

При подсчете базисных элементов размерность равна биномиальному коэффициенту : ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)={\binom {n}{k}},}$

где – размерность векторов , – количество векторов в произведении. Биномиальный коэффициент дает правильный результат даже в исключительных случаях; в частности, для . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=\{0\}}$ ${\displaystyle k>n}$

Любой элемент внешней алгебры можно записать в виде суммы k -векторов . Следовательно, как векторное пространство внешняя алгебра представляет собой прямую сумму

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

(где, по соглашению, поле, лежащее в основе , и ), и, следовательно, его размерность равна сумме биномиальных коэффициентов, которая равна . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Ранг k -вектора

Если , то это можно выразить как линейную комбинацию разложимых k -векторов : ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

где каждый из них разложен, скажем ${\displaystyle \alpha ^{(i)}}$

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$

Ранг k -вектора — это минимальное число разложимых k -векторов в таком разложении . Это похоже на понятие тензорного ранга . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Ранг особенно важен при изучении 2-векторов (Sternberg 1964, §III.6) (Bryant et al. 1991). Ранг 2-вектора можно отождествить с половиной ранга матрицы коэффициентов базиса. Таким образом, если является базисом для , то однозначно выражается как ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

где (матрица коэффициентов кососимметрична ). Таким образом, ранг матрицы четный и в два раза превышает ранг формы . ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \alpha }$

В характеристике 0 2-вектор имеет ранг тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ }$и ${\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

Градуированная структура

Внешнее произведение k -вектора на p -вектор является -вектором , что еще раз приводит к билинейности. Как следствие, разложение в прямую сумму предыдущего раздела ${\displaystyle (k+p)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

придает внешней алгебре дополнительную структуру градуированной алгебры , т.е.

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\!k+p}(V).}$

Более того, если K — базовое поле, мы имеем

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$и ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.}$

Внешний продукт является антикоммутативным, что означает, что если и , то ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

Помимо изучения градуированной структуры внешней алгебры, Бурбаки (1989) изучает дополнительные градуированные структуры внешних алгебр, например, структуры внешней алгебры градуированного модуля ( модуля, который уже несет свою собственную градуировку).

Универсальная собственность

Пусть V — векторное пространство над полем K. Неформально умножение в выполняется путем манипулирования символами и наложения закона распределения , ассоциативного закона и использования тождества для v ∈ V. Формально является «наиболее общей» алгеброй, в которой эти правила выполняются для умножения, в том смысле, что любая ассоциативная K -алгебра с единицей, содержащая V с попеременным умножением на V , должна содержать гомоморфный образ . Другими словами, внешняя алгебра обладает следующим универсальным свойством : ^[9] ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Для любой ассоциативной K -алгебры A с единицей и любого K - линейного отображения такого, что для каждого v в V существует ровно один гомоморфизм алгебры с единицей такой, что j ( v ) = f ( i ( v )) для всех v в V ( здесь i — естественное включение V в , см. выше). ${\displaystyle j:V\to A}$ ${\displaystyle j(v)j(v)=0}$ ${\displaystyle f:{\textstyle \bigwedge }(V)\to A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Универсальное свойство внешней алгебры

Чтобы построить наиболее общую алгебру, содержащую V и умножение которой является попеременным на V , естественно начать с наиболее общей ассоциативной алгебры, содержащей V , тензорной алгебры T ( V ) , а затем обеспечить свойство альтернируемости, взяв подходящую частное . Таким образом, мы берем двусторонний идеал I в T ( V ) , порожденный всеми элементами формы v ⊗ v для v в V , и определяем как фактор ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)\,/\,I}$

(и используйте ∧ в качестве символа умножения в ). Тогда несложно показать, что оно содержит V и удовлетворяет указанному выше универсальному свойству. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Как следствие этой конструкции, операция присвоения векторному пространству V его внешней алгебры является функтором из категории векторных пространств в категорию алгебр. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Вместо того, чтобы сначала определять, а затем идентифицировать внешние степени как определенные подпространства, можно альтернативно сначала определить пространства, а затем объединить их, чтобы сформировать алгебру . Этот подход часто используется в дифференциальной геометрии и описан в следующем разделе. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Обобщения

Учитывая коммутативное кольцо и -модуль , мы можем определить внешнюю алгебру так же, как указано выше, как подходящий фактор тензорной алгебры . Оно будет удовлетворять аналогичному универсальному свойству. Многие свойства также требуют, чтобы модуль был проективным . Если используется конечная размерность, свойства дополнительно требуют, чтобы они были конечно порожденными и проективными. Обобщения наиболее распространенных ситуаций можно найти у Бурбаки (1989). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (M)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Внешние алгебры векторных расслоений часто рассматриваются в геометрии и топологии. По теореме Серра – Свона нет существенных различий между алгебраическими свойствами внешней алгебры конечномерных векторных расслоений и свойствами внешней алгебры конечно порожденных проективных модулей . Более общие внешние алгебры могут быть определены для пучков модулей.

Альтернативная тензорная алгебра

Для поля характеристики, отличной от 2, ^[10] внешняя алгебра векторного пространства над может быть канонически отождествлена ​​с векторным подпространством, состоящим из антисимметричных тензоров . Для характеристики 0 (или выше ) векторное пространство -линейных антисимметричных тензоров трансверсально идеалу , следовательно, это хороший выбор для представления фактора. Но для ненулевой характеристики векторное пространство -линейных антисимметричных тензоров может быть не трансверсально идеальному (действительно, при векторное пространство -линейных антисимметричных тензоров содержится в ); тем не менее, трансверсально или нет, произведение может быть определено в этом пространстве так, что результирующая алгебра будет изоморфна внешней алгебре: в первом случае естественным выбором для произведения является просто факторпроизведение (с использованием доступной проекции), в во втором случае это произведение должно быть слегка изменено, как указано ниже (в соответствии с установкой Арнольда), но так, чтобы алгебра оставалась изоморфной внешней алгебре, т.е. фактором идеала, порожденного элементами формы . Конечно, для характеристики (или выше размерности векторного пространства) можно использовать то или иное определение произведения, поскольку обе алгебры изоморфны (см. В. И. Арнольд или Кобаяси-Номидзу). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle \dim V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k\geq \operatorname {char} K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\otimes x}$ ${\displaystyle 0}$

Пусть – пространство однородных тензоров степени . Это натянуто на разложимые тензоры ${\displaystyle \mathrm {T} ^{r}(V)}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.}$

Антисимметризация (или иногда косая симметризация ) разложимого тензора определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}$

и когда (для ненулевого характеристического поля может быть равно 0): ${\displaystyle r!\neq 0}$ ${\displaystyle r!}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})}$

где сумма берется по симметричной группе перестановок символов . Благодаря линейности и однородности это распространяется на операцию, также обозначаемую и , на полной тензорной алгебре . ${\displaystyle \{1,\dots ,r\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {Alt}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} =r!\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} .}$

Такое, что, если оно определено, является проекцией внешней (факторной) алгебры на r-однородное знакопеременное тензорное подпространство. С другой стороны, изображение всегда представляет собой знакопеременное тензорное градуированное подпространство (еще не алгебра, поскольку произведение еще не определено), обозначаемое . Это векторное подпространство , и оно наследует структуру градуированного векторного пространства . Более того, ядро ​​есть в точности однородное подмножество идеала или ядро ​​есть . Если определено, содержит ассоциативное градуированное произведение , определяемое (так же, как и произведение клина) ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathrm {T} (V))}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(r)}}$ ${\displaystyle I^{(r)}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

${\displaystyle t\wedge s=t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).}$

Предполагая, что характеристика 0, так как является дополнением к указанному выше произведению, существует канонический изоморфизм ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).}$

Если характеристика поля не равна нулю, будет сделано то же самое, что и раньше, но произведение невозможно определить, как указано выше. В таком случае изоморфизм все еще сохраняется, несмотря на то, что он не является дополнением к идеалу , но тогда продукт должен быть изменен, как указано ниже ( продукт, настройка Арнольда). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {Alt}}}$ ${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\dot {\wedge }}}$

Наконец, мы всегда получаем изоморфность с , но произведение можно (или нужно) выбрать двумя способами (или только одним). На самом деле произведение можно было выбрать многими способами, масштабируя его на однородных пространствах как для произвольной последовательности в поле, пока деление имеет смысл (это так, что переопределенное произведение также является ассоциативным, т. е. определяет алгебру на ). . Также обратите внимание, что определение продукта интерьера должно быть соответствующим образом изменено, чтобы сохранить свойство асимметричного вывода. ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle c(r+p)/c(r)c(p)}$ ${\displaystyle c(r)}$ ${\displaystyle A(V)}$

Обозначение индекса

Предположим, что V имеет конечную размерность n и что задан базис e 1 _, ..., en _V. Тогда любой знакопеременный тензор t ∈ Ar ⁽ V ) ⊂ Tr ( V ) ^можно записать в индексной записи как

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

где t ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _r} полностью антисимметричен по своим индексам.

Внешний продукт двух чередующихся тензоров t и s рангов r и p определяется выражением

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

Компоненты этого тензора представляют собой в точности косую часть компонент тензорного произведения s ⊗ t , обозначаемую квадратными скобками над индексами:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

Продукт для интерьера также можно описать в индексных обозначениях следующим образом. Пусть – антисимметричный тензор ранга . Тогда для α ∈ V ^∗ является знакопеременным тензором ранга , заданным формулой ${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }t}$ ${\displaystyle r-1}$

${\displaystyle (i_{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

где n — размерность V.

Двойственность

Альтернативные операторы

Учитывая два векторных пространства V и X и натуральное число k , знакопеременный оператор из V ^k в X является полилинейным отображением.

${\displaystyle f:V^{k}\to X}$

такие, что если v ₁ , ..., v _k являются линейно зависимыми векторами из V , то

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

Карта

${\displaystyle w:V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V),}$

который ассоциируется с векторами из их внешнего произведения, т.е. соответствующий им -вектор, также является чередующимся. Фактически, это отображение является «наиболее общим» знакопеременным оператором, определенным для любого другого знакопеременного оператора, и существует единственное линейное отображение с . Это универсальное свойство характеризует пространство и может служить его определением. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V^{k};}$ ${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X,}$ ${\displaystyle \phi :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow X}$ ${\displaystyle f=\phi \circ w.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

Чередующиеся многолинейные формы

Геометрическая интерпретация внешнего произведения n 1-форм ( ε , η , ω ) для получения n -формы («сетки» координатных поверхностей , здесь плоскостей), ^[1] для n = 1, 2, 3 . «Тиражи» показывают ориентацию . ^{[11] [12]}

Вышеупомянутое обсуждение специализируется на случае , когда базовое поле. В этом случае знакопеременная полилинейная функция ${\displaystyle X=K}$

${\displaystyle f:V^{k}\to K}$

называется знакопеременной полилинейной формой . Множество всех чередующихся полилинейных форм представляет собой векторное пространство, поскольку сумма двух таких отображений или произведение такого отображения на скаляр снова чередуется. По универсальному свойству внешней степени пространство знакопеременных форм степени on естественно изоморфно двойственному векторному пространству . Если конечномерно, то последний естественно изоморфен ^[ необходимы ^{пояснения ]} . В частности, если -мерно , то размерность пространства знакопеременных отображений от до является биномиальным коэффициентом . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}\left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{k}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$

При такой идентификации внешний продукт принимает конкретную форму: он производит новую антисимметричную карту из двух данных. Предположим , ω  : Vk → K и η  : Vm → K — два антисимметричных ^{отображения .} Как и в случае с тензорными произведениями полилинейных отображений, число переменных их внешнего произведения есть сумма чисел их переменных. В зависимости от выбора идентификации элементов внешней власти с полилинейными формами внешнее произведение определяется как

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}$

или как

${\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

где, если характеристика базового поля равна 0, чередование Alt полилинейной карты определяется как среднее значение скорректированных по знаку значений по всем перестановкам ее переменных: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

Когда поле имеет конечную характеристику , четко определена эквивалентная версия второго выражения без каких-либо факториалов или констант: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

где здесь Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} — подмножество ( k , m ) тасовок : перестановок σ множества {1, 2, ..., k + m } таких, что σ (1) < σ (2 ) < ⋯ < σ ( k ) и σ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ... < σ ( k + m ) . Поскольку это может выглядеть очень специфическим и точно настроенным, эквивалентной необработанной версией является суммирование в приведенной выше формуле по перестановкам в левых смежных классах S _{k + m} / ( S _k × S _m ) .

Интерьерное изделие

Предположим, что конечномерно. Если обозначает пространство, двойственное к векторному пространству , то для каждого можно определить первообразование на алгебре , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

Этот вывод называется внутренним произведением с или иногда оператором вставки или сокращением на . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Предположим, что . Тогда является полилинейным отображением в , поэтому оно определяется своими значениями в k -кратном декартовом произведении . Если u ₁ , u ₂ , ..., uk ₋₁ являются элементами _, то определим ${\displaystyle w\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$

Кроме того, пусть всякий раз, когда является чистым скаляром (т. е. принадлежит ). ${\displaystyle \iota _{\alpha }f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)}$

Аксиоматическая характеристика и свойства

Внутреннее изделие удовлетворяет следующим свойствам:

1. Для каждого и каждого (где по соглашению ), ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{-1}(V)=\{0\}}$

   ${\displaystyle i_{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

2. Если является элементом ( ), то является двойственным спариванием между элементами и элементами . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}$ ${\displaystyle i_{\alpha }v=\alpha (v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$
3. Для каждого , является градуированным выводом степени −1: ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }(a\wedge b)=(\iota _{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (\iota _{\alpha }b).}$

Этих трех свойств достаточно, чтобы охарактеризовать интерьерное произведение, а также определить его в общем бесконечномерном случае.

К дополнительным свойствам внутреннего продукта относятся:

• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\alpha }=0.}$
• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\beta }=-\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

Двойственность Ходжа

Предположим, что имеет конечную размерность . Тогда внутреннее произведение индуцирует канонический изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V)}$

по рекурсивному определению

${\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

В геометрической настройке ненулевой элемент верхней внешней степени (которая представляет собой одномерное векторное пространство) иногда называется формой объёма (или формой ориентации , хотя этот термин иногда может приводить к двусмысленности). Форма ориентации имени происходит от того факта, что выбор предпочтительного верхнего элемента определяет ориентацию всей внешней алгебры, поскольку это равносильно фиксации упорядоченного базиса векторного пространства. Относительно предпочтительной формы объема изоморфизм явно задается формулой ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V):\alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .}$

Если в дополнение к объемной форме векторное пространство V снабжено скалярным произведением, отождествляющим с , то результирующий изоморфизм называется звездным оператором Ходжа , который отображает элемент в его двойственный Ходжу : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V).}$

Композиция с самой собой отображает и всегда является скалярным кратным тождественной карты. В большинстве приложений форма объема совместима с внутренним произведением в том смысле, что она является внешним произведением ортонормированного базиса . В этом случае, ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

где id — тождественное отображение, а внутренний продукт имеет метрическую сигнатуру ( p , q ) — p плюсов и q минусов.

Внутренний продукт

Для конечномерного пространства скалярное произведение (или псевдоевклидово скалярное произведение) на определяет изоморфизм with , а значит, и изоморфизм with . Соединение этих двух пространств также принимает форму внутреннего продукта. На разложимых -векторах ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V{\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},}$

определитель матрицы внутренних продуктов. В частном случае v _i = w _i скалярное произведение представляет собой квадратную норму k -вектора , заданную определителем матрицы Грама (⟨ v _i , v _j ⟩) . Затем это расширяется билинейно (или полуторалинейно в комплексном случае) до невырожденного скалярного произведения на Если e _i , i = 1, 2, ..., n , образуют ортонормированный базис , то векторы вида ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V).}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

составляют ортонормированный базис для , утверждение, эквивалентное формуле Коши-Бине . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

По отношению к внутреннему произведению внешнее умножение и внутреннее произведение взаимно сопряжены. В частности, для , , и , ${\displaystyle v\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V)}$ ${\displaystyle w\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle x\in V}$

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

где x ^♭ ∈ V ^∗ — музыкальный изоморфизм , линейный функционал, определяемый формулой

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

для всех . Это свойство полностью характеризует скалярное произведение на внешней алгебре. ${\displaystyle y\in V}$

Действительно, в более общем смысле для , и итерация вышеуказанных сопряженных свойств дает ${\displaystyle v\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-l}(V)}$ ${\displaystyle w\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

где теперь - двойственный -вектор, определяемый формулой ${\displaystyle x^{\flat }\in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}\left(V^{*}\right)\simeq {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V){\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$

для всех . ${\displaystyle y\in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$

Структура биалгебры

Существует соответствие между градуированной двойственной градуированной алгеброй и знакопеременными полилинейными формами на . Внешняя алгебра (как и симметрическая алгебра ) наследует структуру биалгебры и, более того, структуру алгебры Хопфа от тензорной алгебры . См. статью о тензорных алгебрах для подробного рассмотрения этой темы. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle V}$

Внешний продукт полилинейных форм, определенных выше, двойственен копроизведению, определенному на , что дает структуру коалгебры . Копроизведение представляет собой линейную функцию , которая определяется выражением ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

по элементам . Символ обозначает единичный элемент поля . Напомним об этом , чтобы сказанное действительно имело место . Это определение копроизведения переносится на все пространство посредством (линейного) гомоморфизма. Правильная форма этого гомоморфизма — это не та форма, которую можно было бы наивно написать, а та, которая тщательно определена в статье о коалгебре . В этом случае получается ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\simeq {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\subseteq {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.}$

Развернув это подробно, можно получить следующее выражение для разложимых элементов:

${\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p+1,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (0)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).}$

где второе суммирование проводится по всем ( p +1, k − p ) -перетасовкам . Вышеупомянутое записано с использованием нотационного трюка, чтобы отслеживать элемент поля : трюк заключается в том, чтобы записать , и это перетасовывается в разные места во время разложения суммы при перетасовке. Перетасовка следует непосредственно из первой аксиомы коалгебры: относительный порядок элементов сохраняется при перетасовке: перетасовка просто разбивает упорядоченную последовательность на две упорядоченные последовательности: одну слева и одну справа. . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle x_{k}}$

Заметим, что копроизведение сохраняет градуировку алгебры. Распространяясь на все пространство, которое у вас есть ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(V),}$

${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)}$

Символ тензора ⊗, используемый в этом разделе, следует понимать с некоторой осторожностью: это не тот же самый символ тензора, который используется в определении знакопеременного произведения. Интуитивно, возможно, проще всего думать о нем как о еще одном, но другом тензорном произведении: оно все еще (били)линейно, каким и должно быть тензорное произведение, но это произведение подходит для определения биалгебры, т.е. то есть для создания объекта . Любое затянувшееся сомнение можно развеять, поразмыслив над равенствами (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) и ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ w , которые следуют из определение коалгебры, в отличие от наивных манипуляций с символами тензора и клина. Более подробно это различие развито в статье о тензорных алгебрах . Здесь проблемы гораздо меньше, поскольку знакопеременное произведение явно соответствует умножению в биалгебре, оставляя символ свободным для использования в определении биалгебры. На практике это не представляет особой проблемы, если только можно избежать фатальной ловушки замены чередующихся сумм символом клина, за одним исключением. Можно создать альтернативный продукт из , понимая, что он работает в другом пространстве. Сразу ниже дан пример: знакопеременное произведение для двойственного пространства может быть задано через копроизведение. Конструкция биалгебры здесь почти полностью аналогична конструкции в статье о тензорной алгебре , за исключением необходимости правильно отслеживать знаки чередования внешней алгебры. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$

С точки зрения копродукции внешний продукт в двойственном пространстве — это всего лишь градуированный двойник копродукции:

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)}$

где тензорное произведение в правой части представляет собой полилинейные линейные отображения (расширенные нулем на элементы несовместимой однородной степени: точнее, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ , где - единица, как определено в настоящее время). ${\displaystyle \varepsilon }$

Единица — это гомоморфизм , который возвращает 0-градуированный компонент своего аргумента. Копродукт и коединица вместе с внешним произведением определяют структуру биалгебры на внешней алгебре. ${\displaystyle \varepsilon :{\textstyle \bigwedge }(V)\to K}$

С антиподом , определенным на однородных элементах , внешняя алгебра, кроме того, является алгеброй Хопфа . ^[13] ${\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x}$

Функциональность

Предположим, что и являются парой векторных пространств и является линейным отображением . Тогда по свойству универсальности существует единственный гомоморфизм градуированных алгебр ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)}$

такой, что

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(W).}$

В частности, сохраняется однородная степень. k -градуированные компоненты задаются на разложимых элементах формулой ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)}$ ${\textstyle \bigwedge \left(f\right)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).}$

Позволять

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W).}$

Компоненты преобразования относительно базиса и являются матрицей миноров . В частности, если и имеет конечную размерность , то является отображением одномерного векторного пространства в себя и, следовательно, задается скаляром : определителем . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(f)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ ${\displaystyle f}$

Точность

Если – короткая точная последовательность векторных пространств, то ${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0}$

является точной последовательностью градуированных векторных пространств ^[14] , как и

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).}$^[15]

Прямые суммы

В частности, внешняя алгебра прямой суммы изоморфна тензорному произведению внешних алгебр:

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).}$

Это градуированный изоморфизм; то есть,

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!q}(W).}$

В большей общности для короткой точной последовательности векторных пространств существует естественная фильтрация ${\textstyle 0\to U\mathrel {\overset {f}{\to }} V\mathrel {\overset {g}{\to }} W\to 0,}$

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

где for натянут на элементы вида for и Соответствующие факторы допускают естественный изоморфизм ${\displaystyle F^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k+1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots v_{p-1}}$ ${\displaystyle u_{i}\in U}$ ${\displaystyle v_{i}\in V.}$

${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}\cong {\textstyle \bigwedge }^{\!k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(W)}$данный ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{p}\mapsto u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\otimes g(v_{1})\wedge \ldots \wedge g(v_{p}).}$

В частности, если U одномерен, то

${\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W)\to 0}$

точно, и если W одномерно, то

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(U)\otimes W\to 0}$

это точно. ^[16]

Приложения

Ориентированный объем в аффинном пространстве

Естественным окружением для (ориентированного) -мерного объема и внешней алгебры является аффинное пространство . Это также тесная связь между внешней алгеброй и дифференциальными формами , поскольку для интегрирования нам нужен «дифференциальный» объект для измерения бесконечно малого объема. Если — аффинное пространство над векторным пространством и ( симплекс ) набор упорядоченных точек , мы можем определить его ориентированный трехмерный объем как внешнее произведение векторов (используя конкатенацию для обозначения вектора смещения от точки к ); если изменить порядок точек, то ориентированный объем изменится на знак в соответствии с четностью перестановки. В -мерном пространстве объем любого -мерного симплекса скалярно кратен любому другому. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},...,A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{0}A_{1}\wedge A_{0}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{0}A_{k}={}}$ ${\displaystyle (-1)^{j}A_{j}A_{0}\wedge A_{j}A_{1}\wedge A_{j}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{j}A_{k}}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Сумма -мерных ориентированных площадей граничных симплексов -мерного симплекса равна нулю, как и сумма векторов вокруг треугольника или ориентированных треугольников, ограничивающих тетраэдр в предыдущем разделе. ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$

Структура векторного пространства обобщает сложение векторов в : у нас есть и аналогично k -лезвие линейно в каждом факторе. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\wedge v=u_{1}\wedge v+u_{2}\wedge v}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge \dots \wedge v_{k}}$

Линейная алгебра

В приложениях к линейной алгебре внешний продукт обеспечивает абстрактный алгебраический способ описания определителя и миноров матрицы . Например, хорошо известно, что определитель квадратной матрицы равен объему параллелоэдра, стороны которого являются столбцами матрицы (со знаком, указывающим ориентацию). Это предполагает, что определитель может быть определен через внешнее произведение векторов-столбцов. Аналогично, миноры матрицы k × k можно определить, рассматривая внешние произведения векторов-столбцов, выбранных k за раз. Эти идеи можно распространить не только на матрицы, но и на линейные преобразования : определителем линейного преобразования является фактор, с помощью которого оно масштабирует ориентированный объем любого заданного эталонного параллелоэдра. Таким образом, определитель линейного преобразования можно определить с точки зрения того, что преобразование делает с высшей внешней степенью. Действие трансформации на меньшие внешние силы дает основание независимого от основания говорить о второстепенных силах трансформации.

Физика

В физике многие величины естественным образом представляются знакопеременными операторами. Например, если движение заряженной частицы описывается векторами скорости и ускорения в четырехмерном пространстве-времени, то для нормализации вектора скорости требуется, чтобы электромагнитная сила была знакопеременным оператором скорости. Его шесть степеней свободы отождествляются с электрическим и магнитным полями.

Электромагнитное поле

В теориях относительности Эйнштейна электромагнитное поле обычно задается как дифференциальная 2-форма в 4-мерном пространстве или как эквивалентное переменное тензорное поле — электромагнитный тензор . Тогда или эквивалентное тождество Бьянки. Ничто из этого не требует метрики. ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle F_{ij}=A_{[i,j]}=A_{[i;j]},}$ ${\displaystyle dF=ddA=0}$ ${\displaystyle F_{[ij,k]}=F_{[ij;k]}=0.}$

Добавление метрики Лоренца и ориентации дает звездный оператор Ходжа и, таким образом, позволяет определить или эквивалентную тензорную дивергенцию, где ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle J={\star }d{\star }F}$ ${\displaystyle J^{i}=F_{,j}^{ij}=F_{;j}^{ij}}$ ${\displaystyle F^{ij}=g^{ik}g^{jl}F_{kl}.}$

Линейная геометрия

Разложимые k -векторы имеют геометрическую интерпретацию: бивектор представляет собой плоскость, натянутую на векторы, «взвешенные» с числом, заданным площадью ориентированного параллелограмма со сторонами и . Аналогично, 3-вектор представляет собой натянутое 3-пространство, взвешенное по объему ориентированного параллелепипеда с ребрами , и . ${\displaystyle u\wedge v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\wedge v\wedge w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Проективная геометрия

Разложимые k -векторы в соответствуют взвешенным k -мерным линейным подпространствам . В частности, грассманиан k -мерных подпространств пространства , обозначенный , естественно отождествляется с алгебраическим подмногообразием проективного пространства . Это называется вложением Плюккера , и образ вложения можно охарактеризовать отношениями Плюккера . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)}$ ${\textstyle \mathbf {P} {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}}$

Дифференциальная геометрия

Внешняя алгебра имеет заметные применения в дифференциальной геометрии , где она используется для определения дифференциальных форм . ^[17] Дифференциальные формы — это математические объекты, которые оценивают длину векторов, площади параллелограммов и объемы тел более высокой размерности , поэтому их можно интегрировать по кривым, поверхностям и многообразиям более высокой размерности таким образом, чтобы обобщать линейные интегралы и поверхностные интегралы из исчисления. Дифференциальная форма в точке дифференцируемого многообразия — это знакопеременная полилинейная форма на касательном пространстве в этой точке. Эквивалентно, дифференциальная форма степени k представляет собой линейный функционал от k -й внешней степени касательного пространства. Как следствие, внешний продукт полилинейных форм определяет естественный внешний продукт дифференциальных форм. Дифференциальные формы играют важную роль в различных областях дифференциальной геометрии.

Альтернативный подход определяет дифференциальные формы в терминах ростков функций .

В частности, внешняя производная придает внешней алгебре дифференциальных форм на многообразии структуру дифференциально-градуированной алгебры . Внешняя производная коммутирует с обратным образом вдоль гладких отображений между многообразиями и, следовательно, является естественным дифференциальным оператором . Внешняя алгебра дифференциальных форм, снабженная внешней производной, представляет собой коцепный комплекс , когомологии которого называются когомологиями де Рама основного многообразия и играют жизненно важную роль в алгебраической топологии дифференцируемых многообразий.

Теория представлений

В теории представлений внешняя алгебра является одним из двух фундаментальных функторов Шура в категории векторных пространств, а другой является симметричной алгеброй . Вместе эти конструкции используются для генерации неприводимых представлений полной линейной группы (см. Фундаментальное представление ).

Суперпространство

Внешняя алгебра над комплексными числами является архетипическим примером супералгебры , которая играет фундаментальную роль в физических теориях, касающихся фермионов и суперсимметрии . Отдельный элемент внешней алгебры называется сверхчислом [ ^18] или числом Грассмана . Сама внешняя алгебра тогда является просто одномерным суперпространством : это просто набор всех точек внешней алгебры. Топология этого пространства по существу является слабой топологией , открытые множества представляют собой цилиндрические множества . n -мерное суперпространство — это просто -кратное произведение внешних алгебр. ${\displaystyle n}$

Гомологии алгебры Ли

Пусть – алгебра Ли над полем , тогда можно определить структуру цепного комплекса на внешней алгебре поля . Это -линейное отображение ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \partial :{\textstyle \bigwedge }^{\!p+1}(L)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(L)}$

определяется на разложимых элементах формулой

${\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.}$

Тождество Якоби выполняется тогда и только тогда , когда , и поэтому это необходимое и достаточное условие для того, чтобы антикоммутативная неассоциативная алгебра была алгеброй Ли. Более того, в этом случае представляет собой цепной комплекс с граничным оператором . Гомологии , связанные с этим комплексом, являются гомологиями алгебры Ли . ${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(L)}$ ${\displaystyle \partial }$

Гомологическая алгебра

Внешняя алгебра является основным компонентом построения комплекса Кошуля — фундаментального объекта гомологической алгебры .

История

Внешняя алгебра была впервые введена Германом Грассманом в 1844 году под общим термином Ausdehnungslehre , или Теория Расширения . ^[19] В более общем смысле это относилось к алгебраической (или аксиоматической) теории расширенных величин и было одним из ранних предшественников современного понятия векторного пространства . Сен-Венан также опубликовал аналогичные идеи внешнего исчисления, в которых он заявлял о приоритете над Грассманом. ^[20]

Сама алгебра была построена на основе набора правил или аксиом, отражающих формальные аспекты теории мультивекторов Кэли и Сильвестра. Таким образом, это было исчисление , во многом похожее на исчисление высказываний , за исключением того, что оно было сосредоточено исключительно на задаче формального рассуждения в геометрических терминах. ^[21] В частности, эта новая разработка позволила аксиоматически охарактеризовать размерность, свойство, которое ранее рассматривалось только с координатной точки зрения.

Значение этой новой теории векторов и мультивекторов было потеряно для математиков середины XIX века ^[22] до тех пор, пока она не была тщательно проверена Джузеппе Пеано в 1888 году. Работа Пеано также оставалась несколько неясной до начала века, когда этот предмет был объединена членами французской геометрической школы (особенно Анри Пуанкаре , Эли Картаном и Гастоном Дарбу ), которые применили идеи Грассмана к исчислению дифференциальных форм .

Некоторое время спустя Альфред Норт Уайтхед , заимствуя идеи Пеано и Грассмана, представил свою универсальную алгебру . Это затем проложило путь развитию абстрактной алгебры в 20-м веке , поставив аксиоматическое понятие алгебраической системы на прочную логическую основу.

Смотрите также

• Альтернативная алгебра
• Внешнее исчисление идентичности
• Алгебра Клиффорда , обобщение внешней алгебры до ненулевой квадратичной формы.
• Геометрическая алгебра
• Кошульский комплекс
• Полилинейная алгебра
• Симметричная алгебра , симметричный аналог
• Тензорная алгебра
• Алгебра Вейля , квантовая деформация симметрической алгебры симплектической формой.

Примечания

1. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 0-679-77631-1.
2. Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 83. ИСБН 0-7167-0344-0.
3. Строго говоря, величина зависит от некоторой дополнительной структуры, а именно от того, что векторы находятся в евклидовом пространстве . Обычно мы не предполагаем, что эта структура доступна, за исключением тех случаев, когда это полезно для развития интуиции по этому вопросу.
4. Грассманн (1844 г.) представил их как расширенные алгебры (ср. Клиффорд 1878 г.). Он использовал слово äußere (буквально переводится как внешний или внешний ) только для обозначения определенного им продукта , который в настоящее время условно называется внешним продуктом , вероятно, чтобы отличить его от внешнего продукта , определенного в современной линейной алгебре .
5. Термин k-вектор не эквивалентен и не должен путаться с аналогичными терминами, такими как 4-вектор , который в другом контексте может означать 4-мерный вектор. Меньшая часть авторов использует термин k -мультивектор вместо k -вектор, что позволяет избежать этой путаницы.
6. Эта аксиоматизация территорий принадлежит Леопольду Кронекеру и Карлу Вейерштрассу ; см. Бурбаки (1989b, Историческая справка). Современную трактовку см. в Mac Lane & Birkhoff (1999, теорема IX.2.2). Элементарную трактовку см. в Strang (1993, Chapter 5).
7. Это определение является стандартным. См., например, Mac Lane & Birkhoff (1999).
8. Более общее доказательство этого можно найти у Бурбаки (1989).
9. См. Бурбаки (1989, §III.7.1) и Мак Лейн и Биркгоф (1999, теорема XVI.6.8). Более подробную информацию об универсальных свойствах в целом можно найти у Мак Лейна и Биркгоффа (1999, глава VI), а также во всех работах Бурбаки.
10. Обобщения см. в Бурбаки (1989, §III.7.5).
11. Примечание . Показанная здесь ориентация неверна; диаграмма просто дает ощущение, что ориентация определена для каждой k -формы.
12. Уилер, Дж.А.; Миснер, К.; Торн, Канзас (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 58–60, 83, 100–9, 115–9. ISBN 0-7167-0344-0.
13. Действительно, внешняя алгебра является обертывающей алгеброй абелевой структуры супералгебры Ли на . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
14. Эта часть утверждения также справедлива в большей общности, если и являются модулями над коммутативным кольцом: это преобразует эпиморфизмы в эпиморфизмы. См. Бурбаки (1989, предложение 3, §III.7.2). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }}$
15. Это утверждение обобщается только на случай, когда V и W — проективные модули над коммутативным кольцом. В противном случае, как правило, мономорфизмы не преобразуются в мономорфизмы. См. Бурбаки (1989, следствие предложения 12, §III.7.9). ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }}$
16. Такая фильтрация также справедлива для векторных расслоений и проективных модулей над коммутативным кольцом. Таким образом, это более общий результат, чем приведенный выше результат для прямых сумм, поскольку не каждая короткая точная последовательность распадается в других абелевых категориях .
17. Джеймс, AT (1983). «О клиновом продукте». В Карлине, Сэмюэл; Амемия, Такеши; Гудман, Лео А. (ред.). Исследования в области эконометрики, временных рядов и многомерной статистики . Академическая пресса. стр. 455–464. ISBN 0-12-398750-4.
18. ДеВитт, Брайс (1984). "Глава 1". Супермногообразия . Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 0-521-42377-5.
19. Канненберг (2000) опубликовал перевод работы Грассмана на английский язык; он перевел Ausdehnungslehre как «Теория расширения» .
20. Дж. Итард, Биография в словаре научной биографии (Нью-Йорк, 1970–1990).
21. В прошлом авторы называли это исчисление по-разному: исчислением расширения (Уайтхед 1898; Фордер 1941) или расширенной алгеброй (Клиффорд 1878), а в последнее время - расширенной векторной алгеброй (Браун 2007).
22. Бурбаки 1989, с. 661.

Рекомендации

Математические ссылки

• Бишоп, Р .; Гольдберг, С.И. (1980), Тензорный анализ многообразий , Дувр, ISBN 0-486-64039-6

  Включает рассмотрение чередующихся тензоров и чередующихся форм, а также подробное обсуждение двойственности Ходжа с точки зрения, принятой в этой статье.

• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

  Это основной математический справочник статьи. Он знакомит с внешней алгеброй модуля над коммутативным кольцом (хотя эта статья специализируется в первую очередь на случае, когда кольцо является полем), включая обсуждение свойств универсальности, функториальности, двойственности и структуры биалгебры. См. §III.7 и §III.11.

• Брайант, РЛ ; Чернь, СС ; Гарднер, РБ; Гольдшмидт, Х.Л.; Гриффитс, Пенсильвания (1991), Внешние дифференциальные системы , Springer-Verlag

  Эта книга содержит приложения внешних алгебр к задачам уравнений в частных производных . Ранг и связанные с ним концепции разрабатываются в первых главах.

• Мак Лейн, С .; Биркгоф, Г. (1999), Алгебра , AMS Челси, ISBN 0-8218-1646-2

  Разделы 6–10 главы XVI дают более элементарное описание внешней алгебры, включая двойственность, определители и миноры, а также альтернативные формы.

• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис Холл

  Содержит классическую трактовку внешней алгебры как знакопеременных тензоров и приложения к дифференциальной геометрии.

Исторические справки

• Бурбаки (1989, Историческая справка по главам II и III)
• Клиффорд, В. (1878), «Приложения обширной алгебры Грассмана», Американский журнал математики , Издательство Университета Джонса Хопкинса, 1 (4): 350–358, номер документа : 10.2307/2369379, JSTOR  2369379
• Фордер, Х.Г. (1941), Исчисление расширения, Интернет-архив
• Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке)(Теория линейного расширения - новый раздел математики) альтернативный справочник
• Канненберг, Ллойд (2000), Теория расширения (перевод Ausdehnungslehre Грассмана ) , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2031-1
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva; Канненберг, Ллойд (1999), Геометрическое исчисление: согласно Ausdehnungslehre Х. Грассмана , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4126-9.
• Уайтхед, Альфред Норт (1898), «Трактат об универсальной алгебре с приложениями», Nature , Cambridge, 58 (1504): 385, Бибкод : 1898Natur..58..385G, doi : 10.1038/058385a0, S2CID  3985954

Другие ссылки и дальнейшее чтение

• Браун, Дж. М. (2007), Алгебра Грассмана - Исследование приложений расширенной векторной алгебры с помощью Mathematica

  Введение во внешнюю алгебру и геометрическую алгебру с акцентом на приложения. Также включает раздел истории и библиографию.

• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-8053-9021-6

  Включает приложения внешней алгебры к дифференциальным формам, уделяя особое внимание интегрированию и теореме Стокса . Обозначения в этом тексте используются для обозначения пространства знакопеременных k -форм на V ; т. е. Спивак — это то, что будет называться в этой статье. Спивак обсуждает это в Приложении 4. ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V^{*}.}$

• Стрэнг, Г. (1993), Введение в линейную алгебру , Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-5-5

  Включает элементарную обработку аксиоматизации определителей как знаковых площадей, объемов и объемов более высокой размерности.

• Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Внешняя алгебра», Энциклопедия математики , EMS Press
• Венделл, Флеминг (2012) [1977], «7. Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление», Функции нескольких переменных (2-е изд.), Springer, стр. 275–320, ISBN 978-1-4684-9461-7

  Этот учебник по многомерному исчислению ловко вводит внешнюю алгебру дифференциальных форм в последовательность вычислений для колледжей.

• Шафаревич, ИР ; Ремизов, АО (2012). Линейная алгебра и геометрия. Спрингер . ISBN 978-3-642-30993-9.

  Глава 10: Внешнее произведение и внешние алгебры

• «Метод Грассмана в проективной геометрии». Сборник английских переводов трех заметок Чезаре Бурали-Форти о применении внешней алгебры к проективной геометрии.
• К. Бурали-Форти, «Введение в дифференциальную геометрию по методу Х. Грассмана». Английский перевод ранней книги по геометрическим приложениям внешних алгебр.
• «Механика в соответствии с принципами теории расширения». Английский перевод статей одного Грассмана о приложениях внешней алгебры.