Germ (математика)

Класс эквивалентности объектов, имеющих общие локальные свойства в точке топологического пространства

В математике понятие ростка объекта в/на топологическом пространстве является классом эквивалентности этого объекта и других объектов того же рода, который охватывает их общие локальные свойства. В частности, рассматриваемые объекты в основном являются функциями (или отображениями ) и подмножествами . В конкретных реализациях этой идеи рассматриваемые функции или подмножества будут иметь некоторое свойство, например быть аналитическими или гладкими , но в целом это не требуется (рассматриваемые функции даже не обязательно должны быть непрерывными ); однако необходимо, чтобы пространство на/в котором определен объект, было топологическим пространством, чтобы слово « локальный» имело какой-то смысл.

Имя

Название происходит от слова «зародыш злака» и является продолжением метафоры снопа , поскольку зародыш (в местном масштабе) является «сердцем» функции, как и зерно.

Формальное определение

Основное определение

Если задана точка x топологического пространства X и две карты (где Y — любое множество ), то и определяют один и тот же росток в точке x, если существует окрестность U точки x такая, что при ограничении на U f и g равны; это означает, что для всех u из U. ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(u)=g(u)}$

Аналогично, если S и T — любые два подмножества X , то они определяют один и тот же росток в точке x, если снова существует окрестность U точки x такая, что

${\displaystyle S\cap U=T\cap U.}$

Легко видеть, что определение того же ростка в точке x является отношением эквивалентности (будь то на картах или множествах), а классы эквивалентности называются ростками (соответственно, ростками карт или ростками множеств). Отношение эквивалентности обычно записывается как

${\displaystyle f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.}$

Если задано отображение f на X , то его росток в точке x обычно обозначается [ f ] _x . Аналогично, росток в точке x множества S записывается как [ S ] _x . Таким образом,

${\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}$

Росток отображения в точке x в X , который отображает точку x в X в точку y в Y, обозначается как

${\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y).}$

При использовании этой нотации f рассматривается как целый класс эквивалентности отображений, при этом для любого репрезентативного отображения используется одна и та же буква f .

Обратите внимание, что два множества эквивалентны по ростку в точке x тогда и только тогда, когда их характеристические функции эквивалентны по ростку в точке x :

${\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}$

В более общем плане

Карты не обязательно должны быть определены на всем X , и в частности они не обязательно должны иметь один и тот же домен. Однако, если f имеет домен S , а g имеет домен T , оба подмножества X , то f и g эквивалентны по росткам в x в X , если сначала S и T эквивалентны по росткам в x , скажем , а затем более того , для некоторой меньшей окрестности V с . Это особенно актуально в двух ситуациях: ${\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,}$ ${\displaystyle f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}}$ ${\displaystyle x\in V\subseteq U}$

1. f определено на подмногообразии V многообразия X , и
2. f имеет некоторый полюс в точке x , поэтому она даже не определена в точке x , как, например, рациональная функция , которая была бы определена вне подмногообразия.

Основные свойства

Если f и g эквивалентны росткам в точке x , то они обладают всеми общими локальными свойствами, такими как непрерывность, дифференцируемость и т. д., поэтому имеет смысл говорить о дифференцируемом или аналитическом ростке и т. д. Аналогично для подмножеств: если один представитель ростка является аналитическим множеством , то таковыми являются и все представители, по крайней мере, в некоторой окрестности точки x .

Алгебраические структуры на цели Y наследуются набором ростков со значениями в Y . Например, если цель Y является группой , то имеет смысл умножить ростки: чтобы определить [ f ] _x [ ​​g ] _x , сначала возьмите представителей f и g , определенных на окрестностях U и V соответственно, и определите [ f ] _x [ ​​g ] _x как росток в точке x отображения поточечного произведения fg (которое определено на ). Точно так же, если Y является абелевой группой , векторным пространством или кольцом , то таковым является и набор ростков. ${\displaystyle U\cap V}$

Множество ростков в точке x отображений из X в Y не имеет полезной топологии , за исключением дискретной . Поэтому мало или совсем не имеет смысла говорить о сходящейся последовательности ростков. Однако, если X и Y являются многообразиями , то пространства струй ( ряды Тейлора конечного порядка в точке x отображения(-ростков)) имеют топологии, поскольку их можно отождествить с конечномерными векторными пространствами . ${\displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)}$

Связь со снопами

Идея ростков лежит в основе определения пучков и предпучков. Предпучок абелевых групп на топологическом пространстве X сопоставляет абелеву группу каждому открытому множеству U в X. Типичными примерами абелевых групп здесь являются: действительнозначные функции на U , дифференциальные формы на U , векторные поля на U , голоморфные функции на U ( когда X — комплексное многообразие ), постоянные функции на U и дифференциальные операторы на U. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Если тогда существует отображение ограничений, удовлетворяющее определенным условиям совместимости . Для фиксированного x говорят, что элементы и эквивалентны в x, если существует окрестность x с res _WU ( f ) = res _WV ( g ) (оба элемента из ). Классы эквивалентности образуют стебель в x предпучка . Это отношение эквивалентности является абстракцией эквивалентности ростка, описанной выше. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Интерпретация ростков через пучки также дает общее объяснение наличия алгебраических структур на множествах ростков. Причина в том, что формирование стеблей сохраняет конечные пределы . Это подразумевает, что если T является теорией Ловера , а пучок F является T -алгеброй, то любой стебель F _x также является T -алгеброй.

Примеры

Если и имеют дополнительную структуру, то можно определить подмножества множества всех отображений из X в Y или, в более общем случае, подпредпучки данного предпучка и соответствующие ростки: ниже приведены некоторые примечательные примеры . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Если оба являются топологическими пространствами , то подмножество ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

непрерывных функций определяет ростки непрерывных функций .

• Если оба и допускают дифференцируемую структуру , то подмножество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

-раз непрерывно дифференцируемых функций , подмножество ${\displaystyle k}$

${\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

гладких функций и подмножества

${\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

аналитических функций ( здесь — ординал для бесконечности; это злоупотребление обозначениями , по аналогии с и ), а затем могут быть построены пространства ростков (конечно) дифференцируемых , гладких , аналитических функций . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

• Если имеют сложную структуру (например, являются подмножествами комплексных векторных пространств ), то между ними можно определить голоморфные функции и, следовательно, построить пространства ростков голоморфных функций . ${\displaystyle X,Y}$
• Если имеют алгебраическую структуру , то между ними могут быть определены регулярные (и рациональные ) функции, а также могут быть определены ростки регулярных функций (а также рациональных ). ${\displaystyle X,Y}$
• Росток на положительной бесконечности (или просто росток f ) есть . Эти ростки используются в асимптотическом анализе и полях Харди . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow Y}$ ${\displaystyle \{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}}$

Обозначение

Стебель пучка на топологическом пространстве в точке обычно обозначается как Вследствие этого ростки, составляющие стебли пучков различного рода функций, заимствуют эту схему обозначений : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}}$— пространство ростков непрерывных функций при . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{k}}$для каждого натурального числа есть пространство ростков -раз-дифференцируемых функций при . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty }}$— пространство ростков бесконечно дифференцируемых («гладких») функций при . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }}$— пространство ростков аналитических функций в . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$— пространство ростков голоморфных функций (в комплексной геометрии ) или пространство ростков регулярных функций (в алгебраической геометрии ) при . ${\displaystyle x}$

Для ростков множеств и многообразий обозначения не столь устоявшиеся: в литературе встречаются следующие обозначения:

• ${\displaystyle {\mathfrak {V}}_{x}}$есть пространство ростков аналитических многообразий в . Когда точка фиксирована и известна (например, когда есть топологическое векторное пространство и ), ее можно опустить в каждом из приведенных выше символов: также, когда , можно добавить нижний индекс перед символом. Например ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \dim X=n}$
• ${\displaystyle {_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}}$представляют собой пространства ростков, показанные выше, когда — -мерное векторное пространство и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$

Приложения

Ключевое слово в приложениях ростков — локальность : все локальные свойства функции в точке можно изучить, проанализировав ее росток . Они являются обобщением рядов Тейлора , и действительно, ряд Тейлора ростка (дифференцируемой функции) определен: для вычисления производных нужна только локальная информация.

Ростки полезны при определении свойств динамических систем вблизи выбранных точек их фазового пространства : они являются одним из основных инструментов в теории особенностей и теории катастроф .

Когда рассматриваемые топологические пространства являются римановыми поверхностями или, в более общем случае, сложными аналитическими многообразиями , ростки голоморфных функций на них можно рассматривать как степенные ряды , и, таким образом, множество ростков можно считать аналитическим продолжением аналитической функции .

Ростки также могут быть использованы в определении касательных векторов в дифференциальной геометрии . Касательный вектор можно рассматривать как точечный вывод на алгебре ростков в этой точке. ^[1]

Алгебраические свойства

Как было отмечено ранее, множества ростков могут иметь алгебраические структуры, например, быть кольцами. Во многих ситуациях кольца ростков не являются произвольными кольцами, а вместо этого имеют вполне конкретные свойства.

Предположим, что X — некоторое пространство. Часто бывает так, что в каждой точке x ∈ X кольцо ростков функций в точке x является локальным кольцом . Это имеет место, например, для непрерывных функций на топологическом пространстве; для k -кратно дифференцируемых, гладких или аналитических функций на вещественном многообразии (когда такие функции определены); для голоморфных функций на комплексном многообразии ; и для регулярных функций на алгебраическом многообразии. Свойство, что кольца ростков являются локальными кольцами, аксиоматизируется теорией локально окольцованных пространств .

Однако типы возникающих локальных колец тесно зависят от рассматриваемой теории. Подготовительная теорема Вейерштрасса подразумевает, что кольца ростков голоморфных функций являются нётеровыми кольцами . Можно также показать, что это регулярные кольца . С другой стороны, пусть будет кольцом ростков в начале координат гладких функций на R. Это кольцо локально, но не нётерово. Чтобы понять почему, заметим, что максимальный идеал m этого кольца состоит из всех ростков, которые обращаются в нуль в начале координат, а степень m ^k состоит из тех ростков, у которых обращаются в нуль первые k − 1 производных. Если бы это кольцо было нётеровым, то теорема Крулля о пересечении подразумевала бы, что гладкая функция, ряд Тейлора которой обращается в нуль, была бы нулевой функцией. Но это неверно, как можно увидеть, рассмотрев ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}}$

Это кольцо также не является уникальной факторизационной областью . Это потому, что все UFD удовлетворяют условию возрастающей цепи на главных идеалах , но существует бесконечная возрастающая цепь главных идеалов

${\displaystyle \cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .}$

Включения строгие, поскольку x принадлежит максимальному идеалу m .

Кольцо ростков в начале непрерывных функций на R даже обладает тем свойством, что его максимальный идеал m удовлетворяет условию m ² = m . Любой росток f ∈ m можно записать в виде ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},}$

где sgn — знаковая функция. Поскольку | f | обращается в нуль в начале координат, это выражает f как произведение двух функций от m , откуда и следует вывод. Это связано с установкой теории почти колец .

Смотрите также

• Аналитическое разнообразие
• Теория катастроф
• Аксиома склеивания
• Риманова поверхность
• Пучок
• Стебель

Ссылки

1. Ту, Л. В. (2007). Введение в многообразия. Нью-Йорк: Springer. С. 11.

• Николя Бурбаки (1989). Общая топология. Главы 1–4 (изд. в мягкой обложке). Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-64241-2., глава I, пункт 6, подпункт 10 « Микробы в точке ».
• Рагхаван Нарасимхан (1973). Анализ вещественных и комплексных многообразий (2-е изд.). North-Holland Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8., глава 2, параграф 2.1, « Основные определения ».
• Роберт К. Ганнинг и Хьюго Росси (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Prentice-Hall ., глава 2 « Локальные кольца голоморфных функций », особенно параграф A « Элементарные свойства локальных колец » и параграф E « Ростки многообразий ».
• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическое дифференцирование , стр. 71, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8 . 
• Джузеппе Таллини (1973). Varietà Differentiziabili e coomologia di De Rham (Дифференцируемые многообразия и когомологии Де Рама) . Эдизиони Кремонезе. ISBN 88-7083-413-1., параграф 31, « Germi di funzioni Differentziabili in un punto di (Зародыши дифференцируемых функций в точке ) » ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{n}}$ (на итальянском языке).

Внешние ссылки

• Чирка, Евгений Михайлович (2001) [1994], «Germ», Энциклопедия математики , EMS Press
• Росток гладких функций на PlanetMath .
• Мозырская, Дорота; Бартосевич, Збигнев (2006). «Системы ростков и теоремы о нулях в бесконечномерных пространствах». arXiv : math/0612355 .Исследовательский препринт, посвященный росткам аналитических многообразий в бесконечномерной среде.