Разложение Гельмгольца

Некоторые векторные поля представляют собой сумму безвихревого и соленоидального векторных полей.

В физике и математике , в области векторного исчисления , теорема Гельмгольца , ^{[1] [2]} также известна как основная теорема векторного исчисления , ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9]} утверждает, что любое достаточно гладкое , быстро затухающее векторное поле в трех измерениях можно разложить в сумму безвихревого ( без вихревого ) векторного поля и соленоидального ( без дивергенций ) векторного поля; это известно как разложение Гельмгольца или представление Гельмгольца . Он назван в честь Германа фон Гельмгольца .

Определение

Для векторного поля , определенного в области , разложение Гельмгольца представляет собой пару векторных полей и такое, что: ${\displaystyle \mathbf {F} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {r} ),\\\mathbf {G} (\mathbf {r} )&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),\\\nabla \cdot \mathbf {R} (\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

скалярный потенциал–градиентградиентным полемсоленоидальным полемполем вращенияединственным^[10] ${\displaystyle \Phi \in C^{2}(V,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \nabla \Phi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

История

Разложение Гельмгольца в трех измерениях было впервые описано в 1849 году ^[11] Джорджем Габриэлем Стоксом для теории дифракции . Герман фон Гельмгольц опубликовал свою статью о некоторых основных гидродинамических уравнениях в 1858 году ^{[12] [13],} которая была частью его исследования теорем Гельмгольца, описывающих движение жидкости вблизи вихревых линий. ^[13] Для их вывода требовалось, чтобы векторные поля затухали достаточно быстро на бесконечности. Позже это условие можно было смягчить и разложение Гельмгольца распространить на более высокие измерения. ^{[10] [14] [15]} Для римановых многообразий было получено разложение Гельмгольца-Ходжа с использованием дифференциальной геометрии и тензорного исчисления . ^{[10] [13] [16] [17]}

Декомпозиция стала важным инструментом для решения многих задач теоретической физики , ^{[13] [16]} , но также нашла применение в анимации , компьютерном зрении и робототехнике . ^[17]

Трехмерное пространство

Многие учебники по физике ограничивают разложение Гельмгольца трехмерным пространством и ограничивают его применение векторными полями, которые достаточно быстро затухают на бесконечности, или функциями рельефа , которые определены в ограниченной области . Затем можно определить векторный потенциал , такой, что поле вращения задается формулой , используя ротор векторного поля. ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Пусть – векторное поле в ограниченной области , дважды непрерывно дифференцируемое внутри , и пусть – поверхность, ограничивающая эту область . Тогда его можно разложить на компонент без ротора и компонент без дивергенций следующим образом: ^[19] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}$$

и является оператором наблы по отношению к , а не . ${\displaystyle \nabla '}$ ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Если и поэтому неограничен и исчезает по крайней мере так же быстро , как , то ^[20] ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Вывод

Доказательство

Предположим, у нас есть вектор-функция , для которой мы знаем ротор , и дивергенцию , в области определения и поля на границе. Запись функции с использованием дельта-функции в виде ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,,}$$

где оператор Лапласа, имеем ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}$$

где мы использовали определение векторного лапласиана :

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,}$$

дифференцирование/интегрирование по и в последней строке линейность аргументов функции: ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} V',}$

$${\displaystyle \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .}$$

Тогда, используя векторные тождества

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}$$

мы получаем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}$$

Благодаря теореме о дивергенции уравнение можно переписать в виде

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}$$

с внешней поверхностью нормальный . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}$

Определение

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$$

мы наконец получаем

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Пространство решений

Если является разложением Гельмгольца , то является другим разложением тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})}$

${\displaystyle \Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad }$и ${\displaystyle \quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,}$

где

• ${\displaystyle \lambda }$– гармоническое скалярное поле ,
• ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$является векторным полем, которое удовлетворяет ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,}$
• ${\displaystyle \varphi }$является скалярным полем.

Доказательство: Set и . Согласно определению разложения Гельмгольца это условие эквивалентно ${\displaystyle \lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}}$

${\displaystyle -\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0}$.

Дивергенция каждого члена этого уравнения дает , следовательно, является гармоническим. ${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle \lambda }$

И наоборот, любая гармоническая функция является соленоидальной , поскольку ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \lambda }$

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.}$

Таким образом, согласно предыдущему разделу существует векторное поле такое, что . ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }}$

Если есть другое такое векторное поле, то выполняется , следовательно, для некоторого скалярного поля . ${\displaystyle {\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {C} }=0}$ ${\displaystyle C=\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Поля с заданной дивергенцией и завитком

Термин «теорема Гельмгольца» может также относиться к следующему. Пусть C — соленоидальное векторное поле , а d — скалярное поле на R3 ^, которые достаточно гладкие и исчезают на бесконечности быстрее, чем ¹ / r2 . Тогда существует векторное поле F такое, что

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}$$

если дополнительно векторное поле F обращается в нуль при r → ∞ , то F единственно. ^[20]

Другими словами, векторное поле можно построить как с заданной дивергенцией, так и с заданным ротором, а если оно также обращается в нуль на бесконечности, то оно однозначно задается своей дивергенцией и ротором. Эта теорема имеет большое значение в электростатике , поскольку уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей в статическом случае относятся именно к такому типу. ^[20] Доказательство проводится с помощью конструкции, обобщающей приведенную выше: положим

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla ({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$$

где представляет собой ньютоновский потенциальный оператор. (При воздействии на векторное поле, такое как ∇ × F , определяется действие на каждый компонент.) ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Слабая формулировка

Разложение Гельмгольца можно обобщить, уменьшив предположения о регулярности (необходимость существования сильных производных). Предположим, что Ω — ограниченная односвязная липшицева область . Каждое интегрируемое с квадратом векторное поле u ∈ ( L ² (Ω)) ³ имеет ортогональное разложение: ^{[21] [22] [23]}

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$$

где φ находится в пространстве Соболева H ¹ (Ω) функций, интегрируемых с квадратом на Ω , частные производные которых, определенные в смысле распределения , суммируются с квадратом, и A ∈ H (curl, Ω) , пространство Соболева векторных полей, состоящее из квадратов интегрируемые векторные поля с квадратным интегрируемым ротором.

Для немного более гладкого векторного поля u ∈ H (curl, Ω) справедливо аналогичное разложение:

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$$

где φ ∈ ЧАС ¹ (Ом), v Е ( ЧАС ¹ (О)) ^d .

Вывод из преобразования Фурье

Обратите внимание, что в сформулированной здесь теореме мы наложили условие, что если не определено в ограниченной области, то оно будет затухать быстрее, чем . Таким образом, преобразование Фурье функции , обозначаемое как , гарантированно существует. Мы применяем соглашение ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$$

Преобразование Фурье скалярного поля является скалярным полем, а преобразование Фурье векторного поля — векторным полем той же размерности.

Теперь рассмотрим следующие скалярные и векторные поля:

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$$

Следовательно

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

Продольные и поперечные поля

В терминологии, часто используемой в физике, компонент векторного поля без ротора называется продольным компонентом , а компонент без дивергенций - поперечным компонентом . ^[24] Эта терминология исходит из следующей конструкции: Вычислить трехмерное преобразование Фурье векторного поля . Затем разложите это поле в каждой точке k на две компоненты, одна из которых направлена ​​продольно, т. е. параллельно k , другая — в поперечном направлении, т. е. перпендикулярно k . До сих пор у нас есть ${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$$

$${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$$

$${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$$

Теперь применим обратное преобразование Фурье к каждому из этих компонентов. Используя свойства преобразований Фурье, получаем:

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$$

Поскольку и , ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

мы можем получить

$${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$

так что это действительно разложение Гельмгольца. ^[25]

Обобщение на более высокие измерения

Матричный подход

Обобщение на измерения не может быть выполнено с помощью векторного потенциала, поскольку оператор вращения и векторное произведение определяются (как векторы) только в трех измерениях. ${\displaystyle d}$

Пусть – векторное поле в ограниченной области , которое затухает быстрее, чем при и . ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }$ ${\displaystyle \delta >2}$

Скалярный потенциал определяется аналогично трехмерному случаю как:

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',}$$

фундаментальное решениеЛапласа ${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$

$${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$

единичных шаров-функцией ${\displaystyle V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )}$

Для , просто равно , что дает тот же префактор, что и выше. Вращательный потенциал представляет собой антисимметричную матрицу с элементами: ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$

$${\displaystyle A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.}$$

${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}=d}$ ${\displaystyle d=3}$

Как и в трехмерном случае, поле градиента определяется как

$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$$

$${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].}$$

^{[10] [26]}

Тензорный подход

В -мерном векторном пространстве с можно заменить соответствующей функцией Грина для лапласиана , определяемой формулой ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d\neq 3}$ ${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$$

соглашение Эйнштейна о суммировании ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$

Следуя тем же шагам, что и выше, мы можем написать

$${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$

дельта Кронекерасимвола Леви-Чивита ${\displaystyle \delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })}$$

мультииндекс ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (d-2)}$

$${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$

Поэтому мы можем написать

$${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$

${\displaystyle (d-2)}$ ${\displaystyle d}$

Дальнейшее обобщение на многообразия см. в обсуждении разложения Ходжа ниже.

Дифференциальные формы

Разложение Ходжа тесно связано с разложением Гельмгольца, ^[27] обобщающим векторные поля на R ³ на дифференциальные формы на римановом многообразии M . Большинство формулировок разложения Ходжа требуют, чтобы M было компактным . ^[28] Поскольку это не верно для R ³ , теорема о разложении Ходжа не является строго обобщением теоремы Гельмгольца. Однако ограничение компактности в обычной формулировке разложения Ходжа можно заменить подходящими предположениями о распаде на бесконечности участвующих дифференциальных форм, что дает правильное обобщение теоремы Гельмгольца.

Расширения полей, не затухающих на бесконечности.

В большинстве учебников рассматриваются только векторные поля, затухающие быстрее, чем на бесконечности. ^{[18] [15] [29]} Однако Отто Блюменталь показал в 1905 году, что адаптированное ядро ​​интегрирования может использоваться для интегрирования полей, затухающих быстрее, чем с , что существенно менее строго. Для этого ядро ​​в интегралах свертки необходимо заменить на . ^[30] С помощью еще более сложных ядер интегрирования можно найти решения даже для расходящихся функций, которые не обязательно растут быстрее полиномиального. ^{[14] [15] [26] [31]} ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >1}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle K'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')-K(0,\mathbf {r} ')}$

Для всех аналитических векторных полей, которым не обязательно обращаться к нулю даже на бесконечности, методы, основанные на частичном интегрировании и формуле Коши для повторного интегрирования ^[32] , могут быть использованы для вычисления решений в замкнутой форме вращательного и скалярного потенциалов, как в случае многомерного полинома , синуса , косинуса и экспоненциальных функций . ^[10]

Уникальность решения

В общем, разложение Гельмгольца не определено однозначно. Гармоническая функция — это функция, удовлетворяющая условию . Добавляя к скалярному потенциалу , можно получить другое разложение Гельмгольца: ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Delta H(\mathbf {r} )=0}$ ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} '(\mathbf {r} )&=\nabla (\Phi (\mathbf {r} )+H(\mathbf {r} ))=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\nabla H(\mathbf {r} ),\\\mathbf {R} '(\mathbf {r} )&=\mathbf {R} (\mathbf {r} )-\nabla H(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Для векторных полей , затухающих на бесконечности, вполне вероятно, что скалярный потенциал и потенциал вращения также затухают на бесконечности. Поскольку это единственная гармоническая функция, обладающая этим свойством, что следует из теоремы Лиувилля , это гарантирует уникальность полей градиента и вращения. ^[33] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle H(\mathbf {r} )=0}$

Эта единственность не распространяется на потенциалы: в трехмерном случае скалярный и векторный потенциал вместе имеют четыре компонента, тогда как векторное поле имеет только три. Векторное поле инвариантно к калибровочным преобразованиям, и выбор соответствующих потенциалов, известный как калибровочная фиксация , является предметом калибровочной теории . Важными примерами из физики являются калибровочное условие Лоренца и кулоновская калибровка . Альтернативой является использование полоидально-тороидального разложения .

Приложения

Электродинамика

Теорема Гельмгольца представляет особый интерес в электродинамике , поскольку с ее помощью можно записать уравнения Максвелла в потенциальном образе и облегчить их решение. Разложение Гельмгольца можно использовать, чтобы доказать, что по заданной плотности электрического тока и плотности заряда можно определить электрическое поле и плотность магнитного потока . Они единственны, если плотности обращаются в нуль на бесконечности и то же самое предполагается для потенциалов. ^[18]

Динамика жидкостей

В гидродинамике проекция Гельмгольца играет важную роль, особенно для теории разрешимости уравнений Навье-Стокса . Если проекцию Гельмгольца применить к линеаризованным уравнениям Навье-Стокса несжимаемой жидкости, получится уравнение Стокса . Это зависит только от скорости частиц в потоке, но уже не от статического давления, что позволяет свести уравнение к одному неизвестному. Однако оба уравнения, Стокса и линеаризованные уравнения, эквивалентны. Оператор называется оператором Стокса . ^[34] ${\displaystyle P\Delta }$

Теория динамических систем

В теории динамических систем разложение Гельмгольца можно использовать для определения «квазипотенциалов», а также в некоторых случаях для вычисления функций Ляпунова . ^{[35] [36] [37]}

Для некоторых динамических систем, таких как система Лоренца ( Эдвард Н. Лоренц , 1963 ^[38] ), упрощенная модель атмосферной конвекции , может быть получено выражение разложения Гельмгольца в замкнутой форме :

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.}$$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},}$$

$${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.}$$

Квадратичный скалярный потенциал обеспечивает движение в направлении начала координат, отвечающего за устойчивую неподвижную точку в некотором диапазоне параметров. Для других параметров поле вращения гарантирует создание странного аттрактора , заставляющего модель проявлять эффект бабочки . ^{[10] [39]}

Компьютерная анимация и робототехника

Разложение Гельмгольца также используется в области вычислительной техники. Сюда входит робототехника, реконструкция изображений, а также компьютерная анимация, где разложение используется для реалистичной визуализации жидкостей или векторных полей. ^{[17] [40]}

Смотрите также

• Представление Клебша для связанного разложения векторных полей
• Дарвин Лагранжиан для приложения
• Полоидально-тороидальное разложение для дальнейшего разложения бездивергентной компоненты . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$
• Скалярно-векторно-тензорное разложение
• Теория Ходжа , обобщающая разложение Гельмгольца
• Теорема полярной факторизации
• Разложение Гельмгольца – Лере, используемое для определения проекции Лере.

Примечания

1. Жан Бладель: О теореме Гельмгольца в конечных областях . Исследовательская ассоциация университетов Среднего Запада, 1958.
2. Лео Кенигсбергер : Герман фон Гельмгольц . Кларендон Пресс, 1906, с. 357.
3. Дэниел Александр Мюррей : Элементарный курс интегрального исчисления . Американская книжная компания, 1898. с. 8.
4. Дж. В. Гиббс , Эдвин Бидвелл Уилсон : Векторный анализ . 1901, с. 237, ссылка из Интернет-архива .
5. Оливер Хевисайд : Электромагнитная теория . Том 1, типография и издательство «Электрик», с ограниченной ответственностью, 1893 г.
6. Уэсли Стокер Баркер Вулхаус : Элементы дифференциального исчисления . Уил, 1854 год.
7. Уильям Вулси Джонсон : Элементарный трактат по интегральному исчислению: основанный на методе скоростей или флюксий . John Wiley & Sons, 1881.
   См. также: Метод флюксий .
8. Джеймс Бирни Шоу: Векторное исчисление: с приложениями к физике . Д. Ван Ностранд, 1922, с. 205.
   См. также: Теорема Грина .
9. Джозеф Эдвардс: Трактат об интегральном исчислении . Том 2. Издательство Челси, 1922 год.
10. Эрхард Глёцль, Оливер Рихтерс: Разложение Гельмгольца и потенциальные функции для n-мерных аналитических векторных полей . В: Журнал математического анализа и приложений 525 (2), 127138, 2023, doi : 10.1016/j.jmaa.2023.127138, arXiv : 2102.09556v3. Рабочий лист Mathematica по адресу doi : 10.5281/zenodo.7512798.
11. Джордж Габриэль Стоукс : О динамической теории дифракции . В: Труды Кембриджского философского общества , 9, 1849 г., стр. 1–62. doi :10.1017/cbo9780511702259.015, см. стр. 9–10.
12. Герман фон Гельмгольц : Über Integrale der Hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen . В: Journal für die reine und angewandte Mathematik 55, 1858, стр. 25–55, номер документа : 10.1515/crll.1858.55.25 (sub.uni-goettingen.de, digizeitschriften.de). На странице 38 компоненты скорости жидкости ( u ,  v ,  w ) выражены через градиент скалярного потенциала P и ротор векторного потенциала ( L ,  M ,  N ).
13. Альп Кустепели: О теореме Гельмгольца и ее обобщении для многослойных слоев . В: Электромагнетизм 36.3, 2016, стр. 135–148, номер документа : 10.1080/02726343.2016.1149755.
14. Тон Тран-Конг: О теореме разложения Гельмгольца и уравнении Пуассона с бесконечной областью значений . В: Ежеквартальный журнал прикладной математики 51.1, 1993, стр. 23–35, JSTOR  43637902.
15. Д. Петрашек, Р. Фолк: Теорема о разложении Гельмгольца и расширение Блюменталя путем регуляризации . В: Физика конденсированного состояния 20(1), 13002, 2017, номер документа : 10.5488/CMP.20.13002.
16. Вольфганг Спрёссиг: О разложениях Гельмгольца и их обобщениях – Обзор . В: Математические методы в прикладных науках 33.4, 2009, стр. 374–383, doi : 10.1002/mma.1212.
17. Харш Бхатия, Грегори Норгард, Валерио Паскуччи, Пер-Тимо Бремер: Разложение Гельмгольца-Ходжа - обзор . В: IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 19.8, 2013, стр. 1386–1404, doi : 10.1109/tvcg.2012.316.
18. Дитмар Петрачек: Еще раз о разложении Гельмгольца . В: Европейский журнал физики 37.1, 2015, статья 015201, номер документа : 10.1088/0143-0807/37/1/015201.
19. «Теорема Гельмгольца» (PDF) . Университет Вермонта. Архивировано из оригинала (PDF) 13 августа 2012 г. Проверено 11 марта 2011 г.
20. Дэвид Дж. Гриффитс : Введение в электродинамику . Прентис-Холл, 1999, с. 556.
21. Шериф Амруш, Кристин Бернарди , Моник Дож , Виветт Жиро : Векторные потенциалы в трехмерных негладких областях . В: Mathematical Methods in the Applied Sciences 21(9), 1998, стр. 823–864, doi :10.1002/(sici)1099-1476(199806)21:9<823::aid-mma976>3.0.co;2 -b, Bibcode :/abstract 1998MMAS...21..823A .
22. Р. Дотрей и Ж.-Л. Львы. Спектральная теория и приложения, том 3 «Математического анализа и численных методов для науки и техники». Спрингер-Верлаг, 1990.
23. В. Жиро , П. А. Равиар: Методы конечных элементов для уравнений Навье – Стокса: теория и алгоритмы. Ряд Спрингера по вычислительной математике. Спрингер-Верлаг, 1986.
24. AM Стюарт: Продольные и поперечные компоненты векторного поля . В: Шри-Ланкийский журнал физики 12, стр. 33–42, 2011 г., doi : 10.4038/sljp.v12i0.3504 arXiv : 0801.0335.
25. Роберт Литтлджон: Классический гамильтониан электромагнитного поля. Конспекты онлайн-лекций, berkeley.edu.
26. Эрхард Глёцль, Оливер Рихтерс: Разложение Гельмгольца и потенциалы вращения в n-мерных декартовых координатах . 2020, arXiv : 2012.13157.
27. Фрэнк В. Уорнер: Теорема Ходжа . В: Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . (= Тексты для аспирантов по математике 94). Спрингер, Нью-Йорк, 1983 г., номер документа : 10.1007/978-1-4757-1799-0_6.
28. Кантарелла, Джейсон; ДеТурк, Деннис; Глюк, Герман (2002). «Векторное исчисление и топология областей в трехмерном пространстве». Американский математический ежемесячник . 109 (5): 409–442. дои : 10.2307/2695643. JSTOR  2695643.
29. Р. Дуглас Грегори: Теорема Гельмгольца, когда область бесконечна и когда поле имеет особые точки . В: Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики 49.3, 1996, стр. 439–450, doi : 10.1093/qjmam/49.3.439.
30. Отто Блюменталь : Über die Zerlegung unendlicher Vektorfelder . В: Mathematische Annalen 61.2, 1905, стр. 235–250, doi : 10.1007/BF01457564.
31. Мортон Э. Гуртин: О теореме Гельмгольца и полноте функций напряжения Папковича-Нойбера для бесконечных областей . В: Архив рациональной механики и анализа 9.1, 1962, стр. 225–233, номер документа : 10.1007/BF00253346.
32. Коши, Огюстен-Луи (1823). «Тренте-Чинквием Лесон». Резюме уроков, проводимых в Королевской политехнической школе по исчислению бесконечно малых величин (на французском языке). Париж: Королевская империя. стр. 133–140.
33. Шелдон Экслер, Пол Бурдон, Уэйд Рэми: Ограниченные гармонические функции . В: Теория гармонических функций (= Тексты для аспирантов по математике 137). Спрингер, Нью-Йорк, 1992, стр. 31–44, номер документа : 10.1007/0-387-21527-1_2.
34. Александр Дж. Хорин, Джеррольд Э. Марсден: Математическое введение в механику жидкости (= Тексты по прикладной математике 4). Springer США, Нью-Йорк, 1990 г., номер документа : 10.1007/978-1-4684-0364-0.
35. Томохару Суда: Построение функций Ляпунова с использованием разложения Гельмгольца – Ходжа . В: Дискретные и непрерывные динамические системы – A 39.5, 2019, стр. 2437–2454, doi : 10.3934/dcds.2019103.
36. Томохару Суда: Применение разложения Гельмгольца – Ходжа для изучения некоторых векторных полей . В: Журнал физики A: Mathematical and Theoretical 53.37, 2020, стр. 375703. doi : 10.1088/1751-8121/aba657.
37. Джозеф Сюй Чжоу, MDS Алию, Эрик Аурелл, Суй Хуан: Квазипотенциальный ландшафт в сложных мультистабильных системах . В: Журнал интерфейса Королевского общества, 9.77, 2012 г., стр. 3539–3553, номер документа : 10.1098/rsif.2012.0434.
38. Эдвард Н. Лоренц : Детерминированный непериодический поток . В: Журнал атмосферных наук 20.2, 1963, стр. 130–141, doi :10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
39. Хайнц-Отто Пейтген, Хартмут Юргенс, Дитмар Саупе: Странные аттракторы: Локус хаоса . В: Хаос и фракталы . Спрингер, Нью-Йорк, стр. 655–768. дои : 10.1007/978-1-4757-4740-9_13.
40. Херш Бхатия, Валерио Паскуччи, Пер-Тимо Бремер: Естественное разложение Гельмгольца-Ходжа для анализа потоков с открытой границей . В: IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 20.11, ноябрь 2014 г., стр. 1566–1578, ноябрь 2014 г., doi :10.1109/TVCG.2014.2312012.

Рекомендации

• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 4-е издание, Academic Press: Сан-Диего (1995), стр. 92–93.
• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков - международное издание , 6-е издание, Academic Press: Сан-Диего (2005), стр. 95–101.
• Резерфорд Арис , Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Прентис-Холл (1962), OCLC  299650765, стр. 70–72.