Простой пример (квадратной) функции рельефа в переменных получается путем произведения копий указанной выше функции рельефа в одной переменной, поэтому
имеет строго положительный знаменатель всюду на вещественной прямой, следовательно, g также гладкая. Кроме того, g ( x ) = 0 для x ≤ 0 и g ( x ) = 1 для x ≥ 1, следовательно, он обеспечивает плавный переход с уровня 0 на уровень 1 в единичном интервале [0, 1]. Чтобы иметь плавный переход в вещественном интервале [ a , b ] с a < b , рассмотрим функцию
Для действительных чисел a < b < c < d гладкая функция
равен 1 на замкнутом интервале [ b , c ] и исчезает за пределами открытого интервала ( a , d ), следовательно, он может служить функцией рельефа.
Необходимо соблюдать осторожность, поскольку, например, взятие приводит к:
которая не является бесконечно дифференцируемой функцией (то есть не является «гладкой»), поэтому ограничения a < b < c < d должны строго выполняться.
Несколько интересных фактов о функции:
Являются ли они плавными переходными кривыми с «почти» постоянными краями наклона (ведут себя как наклонные прямые на ненулевом интервале измерения).
Правильным примером функции Bump будет:
Правильным примером функции плавного перехода будет:
Можно построить функции рельефа «по спецификациям». Формально, если — это произвольный компактный набор в измерениях и открытое множество, содержащее , то существует функция рельефа , которая находится внутри и вне предела. включается и быстро падает наружу, оставаясь при этом гладким.
Функции Bump, определенные в терминах свертки
Строительство происходит следующим образом. Рассматривается компактная окрестность , содержащаяся в so. Характеристическая функция будет равна on и вне so, в частности, она будет находиться внутри и вне so . Однако эта функция не является гладкой. Основная идея — немного сгладить, взяв свертку с помощью сглаживателя . Последняя представляет собой просто функцию рельефа с очень маленькой опорой и интеграл которой равен. Такое смягчение можно получить, например, взяв функцию рельефа из предыдущего раздела и выполнив соответствующие масштабирования.
Функции Bump, определенные через функцию с поддержкой
Теперь подробно описана альтернативная конструкция, не использующая свертку. Он начинается с построения гладкой функции , которая положительна на данном открытом подмножестве и обращается в нуль за пределами [1]. Носитель этой функции равен замыканию in , поэтому, если она компактна, то является выпуклой функцией.
Начните с любой гладкой функции , которая исчезает в отрицательных действительных числах и положительна в положительных действительных числах (т. е. там, где требуется непрерывность слева ); пример такой функции — для и иначе. [1]
Зафиксируем открытое подмножество и обозначим обычную евклидову норму через (поэтому она наделена обычной евклидовой метрикой ). Следующая конструкция определяет гладкую функцию , которая положительна и равна нулю вне [1]. Так, в частности, если она относительно компактна, то эта функция будет функцией выпуклости.
Если тогда пусть while if then let ; так что предположим, что нет ни того, ни другого. Пусть - открытое покрытие открытыми шарами, где открытый шар имеет радиус и центр. Тогда отображение , определенное как, является гладкой функцией, которая положительна на и равна нулю вне [1]
Для каждого пусть
Как следствие, при наличии двух непересекающихся замкнутых подмножеств приведенной выше конструкции гарантируется существование гладких неотрицательных функций таких, что для любого тогда и только тогда и аналогично тогда и только тогда, когда функция
[1]
Свойства и использование
Хотя функции рельефа являются гладкими, теорема тождества запрещает им быть аналитическими , если они не исчезают тождественно. Функции Bump часто используются в качестве смягчающих функций , функций плавного отсечения и для формирования плавных разбиений единицы . Это наиболее распространенный класс тестовых функций , используемых в анализе. Пространство рельефных функций замкнуто относительно многих операций. Например, сумма, произведение или свертка двух рельефных функций снова является ударной функцией, и любой дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, примененный к ударной функции, создаст другую ударную функцию.
Если границы области области функции Bump должны соответствовать требованию «гладкости», она должна сохранять непрерывность всех своих производных, что приводит к следующему требованию на границах ее области:
Преобразование Фурье рельефной функции является (действительной) аналитической функцией, и ее можно расширить на всю комплексную плоскость: следовательно, она не может иметь компактный носитель, если она не равна нулю, поскольку единственной полной аналитической рельефной функцией является нулевая функция (см. Теорема Пэли–Винера и теорема Лиувилля ). Поскольку функция удара бесконечно дифференцируема, ее преобразование Фурье должно затухать быстрее, чем любая конечная степень для большой угловой частоты [2] Преобразование Фурье конкретной функции удара
Пространство Шварца - функциональное пространство всех функций, производные которых быстро убывают.
Цитаты
^ Частные производные являются непрерывными функциями, поэтому образ компактного подмножества является компактным подмножеством Супремум относится ко всем неотрицательным целым числам , где, поскольку и фиксированы, эта верхняя грань принимается только к конечному числу частных производных, поэтому
^ abcdefg Неструев 2020, стр. 13–16.
^ К. О. Мид и Л. М. Дельвс, «О скорости сходимости обобщенных разложений Фурье», IMA J. Appl. Математика. , том. 12, стр. 247–259 (1973) doi :10.1093/imamat/12.3.247.
^ Стивен Г. Джонсон , Интегрирование в седловой точке «выпуклых» функций C∞, arXiv:1508.04376 (2015).