Единицы Хевисайда – Лоренца

Единицы Хевисайда-Лоренца (или единицы Лоренца-Хевисайда ) представляют собой систему единиц и величин, которая расширяет СГС с помощью определенного набора уравнений, определяющих электромагнитные величины, названного в честь Оливера Хевисайда и Хендрика Антона Лоренца . Они схожи с системой СГС-Гаусса тем, что электрическая постоянная $ε 0$ и магнитная постоянная $µ 0$ не фигурируют в определяющих уравнениях электромагнетизма, поскольку они неявно включены в электромагнитные величины. Единицы Хевисайда-Лоренца можно рассматривать как нормализующие $ε 0 = 1$ и $µ 0 = 1$ , и в то же время пересматривая уравнения Максвелла , чтобы вместо них использовать скорость света $c$ . ^[1]

Система единиц Хевисайда-Лоренца, как и Международная система величин , на которой основана система СИ , но в отличие от системы СГС-Гаусса , рационализируется , в результате чего в уравнениях Максвелла не появляются факторы $4 π$ . ^[2] То, что эта система рационализирована, отчасти объясняет ее привлекательность в квантовой теории поля : лагранжиан, лежащий в основе теории, не имеет коэффициентов $4$ $π$ , когда эта система используется. ^[3] Следовательно, электромагнитные величины в системе Хевисайда–Лоренца различаются в $\sqrt$ $4$ $π$ раз в определениях электрического и магнитного полей и электрического заряда . Он часто используется в релятивистских расчетах ^{[примечание 1]} и применяется в физике элементарных частиц . Они особенно удобны при выполнении вычислений в пространственных измерениях, превышающих три, например, в теории струн .

Мотивация

В середине-конце XIX века электромагнитные измерения часто проводились либо в так называемых электростатических (ESU), либо в электромагнитных (EMU) системах единиц. Они были основаны соответственно на законах Кулона и Ампера. Использование этих систем, как и впоследствии разработанных гауссовских единиц СГС, привело к появлению многих коэффициентов $4 π$ в формулах для электромагнитных результатов, в том числе без какой-либо круговой или сферической симметрии.

Например, в системе CGS-Гаусса емкость сферы радиуса $r$ равна $r$ , а емкость конденсатора с параллельными пластинами равна r. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}А/ 4 π д$ , где $A$ — площадь меньшей пластины, а $d$ — их расстояние.

Хевисайд , который был важным, хотя и несколько изолированным, ^{[ нужна цитация ]} ранним теоретиком электромагнетизма, предположил в 1882 году, что иррациональное появление $4 π$ в такого рода отношениях можно устранить, переопределив единицы измерения зарядов и полей. ^[4]^[5] В своей книге «Электромагнитная теория» 1893 года ^[6] Хевисайд написал во введении :

Не так давно считалось само собой разумеющимся, что общепринятые электрические единицы являются правильными. Эту любопытную и навязчивую константу $4 π$ некоторые считали своего рода благословенным даром, без которого вся электрическая теория развалилась бы на куски. Я считаю, что эта точка зрения сейчас почти вымерла, и что общепризнано, что $4 π$ было неудачной и пагубной ошибкой, источником многих зол.
Проще говоря, обычная система электрических единиц включает в себя иррациональность того же рода, которая была бы привнесена в метрическую систему мер и весов, если бы мы определяли единицу площади как площадь, а не как квадрат с единичной стороной. а круга единичного диаметра. Постоянная $π$ тогда вторгалась бы в область прямоугольника, причем везде, где ее быть не должно, и была бы источником большой путаницы и неудобств. То же самое и с обычными электрическими единицами, которые поистине иррациональны.
Ошибиться для человека легко и естественно. Но этого недостаточно. Следующее, что нужно сделать, — это исправить ее: если ошибка уже однажды была допущена, нет необходимости повторять ее вечно, вызывая накопившиеся неудобства. - Оливер Хевисайд (1893) ^[6]

Структура длина-масса-время

Как и в гауссовой системе ( G ), система Хевисайда-Лоренца ( HL ) использует измерения длина-масса-время . Это означает, что все единицы электрических и магнитных величин выражаются через единицы основных величин длины, времени и массы.

Уравнение Кулона, используемое для определения заряда в этих системах, имеет вид $F = q. Г 1 д Г 2 / r 2$ в гауссовской системе и $F = q ХЛ 1 д ХЛ 2 / (4 πr 2)$ в системе HL. Затем единица заряда соединяется с $1 дин\cdotсм 2 = 1 statC 2 = 4 π HLC 2$ , где «HLC» — единица заряда HL. Величина HL $q HL$ , описывающая заряд, тогда $в \sqrt 4 π$ раз больше, чем соответствующая гауссова величина. Аналогичные соотношения имеются и для других электромагнитных величин (см. ниже).

Обычно используемый набор единиц называется СИ , который определяет две константы: диэлектрическую проницаемость вакуума ( $ε 0$ ) и проницаемость вакуума ( $µ 0$ ). Их можно использовать для преобразования единиц СИ в соответствующие значения Хевисайда – Лоренца, как подробно описано ниже. Например, заряд SI равен $\sqrt ε 0 L 3 M / T 2$ . Если положить $ε 0 = 8,854 пФ/м$ , $L = 1 см$ , $M = 1 г$ и $T = 1 с$ , это будет равно9,409 669 × 10 ^-11 Кл , эквивалент единицы заряда Хевисайда-Лоренца в системе СИ.

Сравнение Хевисайда – Лоренца с другими системами единиц.

В этом разделе приведен список основных формул электромагнетизма, данных в системах СИ, Хевисайда – Лоренца и Гаусса. Здесь $E$ и $D$ — электрическое поле и поле смещения соответственно, $B$ и $H$ — магнитные поля , $P$ — плотность поляризации , $M$ — намагниченность , $ρ$ — плотность заряда , $J$ — плотность тока , $c$ — скорость света в вакуум, $φ$ — электрический потенциал , $A$ — векторный магнитный потенциал , $F$ — сила Лоренца, действующая на тело с зарядом $q$ и скоростью $v$ , $ε$ — диэлектрическая проницаемость , $χ e$ — электрическая восприимчивость , $μ$ — магнитная проницаемость , и $χ m$ — магнитная восприимчивость .

Уравнения Максвелла

Электрические и магнитные поля можно записать через потенциалы $A$ и $φ$ . Определение магнитного поля через $A$ , $B = \nabla \times A$ , одинаково во всех системах единиц, но электрическое поле находится не в системе СИ, а в системе HL или гауссовой системе. ${\textstyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ ${\textstyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

Другие основные законы

Диэлектрические и магнитные материалы

Ниже приведены выражения для макроскопических полей , и в материальной среде. Здесь для простоты предполагается, что среда однородна, линейна, изотропна и недисперсна, так что восприимчивости постоянны. $\mathbf {D}$ $\mathbf {P}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {M}$

Обратите внимание , что величины и безразмерны и имеют одинаковое числовое значение. Напротив, электрическая восприимчивость во всех системах безразмерна, но имеет разные числовые значения для одного и того же материала: $\varepsilon ^{\textsf {SI}}/\varepsilon _{0}$ $\varepsilon ^{\textsf {HL}}$ $\varepsilon ^{\textsf {G}}$ $\chi _{\text{e}}$

\chi _{\text{e}}^{\textsf {SI}}=\chi _{\text{e}}^{\textsf {HL}}=4\pi \chi _{\text{e}}^{\textsf {G}}

Преимущества и недостатки установок Хевисайда – Лоренца

Преимущества

Приведенные выше формулы явно проще в единицах HL по сравнению с единицами СИ или Гаусса. Как предложил Хевисайд, удаление $4 π$ из закона Гаусса и помещение его в закон Силы значительно уменьшает количество мест, где появляется $π$ по сравнению с гауссовыми единицами СГС.
Удаление явного $4 π$ из закона Гаусса проясняет, что закон силы обратных квадратов возникает из-за распространения поля $E$ по поверхности сферы. Это позволяет прямое расширение на другие измерения. Например, случай длинных параллельных проводов, идущих прямо в направлении $z$ , можно рассматривать как двумерную систему. Другой пример — теория струн, где часто необходимо учитывать более трех пространственных измерений.
Уравнения свободны от констант $ε 0$ и $µ 0$ , присутствующих в системе СИ. (Кроме того, $ε 0$ и $µ 0$ переопределены, поскольку $ε 0 µ 0 = 1 / c 2$ .)

Приведенные ниже пункты верны как для систем Хевисайда – Лоренца, так и для гауссовских систем, но не для SI.

Электрическое и магнитное поля $E$ и $B$ имеют одинаковые размерности в системе Хевисайда – Лоренца, а это означает, что легко вспомнить, куда идут коэффициенты $c$ в уравнении Максвелла. Каждая производная по времени имеет $1 / c$ , что делает ее такой же размерной, как производная по пространству. Напротив, в единицах СИ $[E]/[B]$ равно $[c]$ .
Придание полям $E$ и $B$ одинаковой размерности делает сборку электромагнитного тензора более прозрачной. Нет никаких коэффициентов $c$ , которые нужно было бы вставлять при сборке тензора из трехмерных полей. Аналогично, $φ$ и $A$ имеют одинаковые размерности и являются четырьмя компонентами 4-потенциала.
Поля $D$ , $H$ , $P$ и $M$ также имеют те же размерности, что и $E$ и $B.$ Для вакуума любое выражение, включающее $D,$ можно просто преобразовать в то же выражение с $E.$ В единицах СИ $D$ и $P$ имеют те же единицы, что и $H$ и $M$ , но имеют разные единицы друг от друга, а также от $E$ и $B.$

Недостатки

Несмотря на призывы Хевисайда, оказалось трудно убедить людей отказаться от существующих подразделений. Он считал, что если единицы измерения будут изменены, «инструменты [старого] стиля очень скоро окажутся в меньшинстве, а затем исчезнут…». ^[6] Убедить людей переключиться уже в 1893 году было сложно, а за это время было напечатано более ста дополнительных учебников и построено вольтметров.
Единицы Хевисайда-Лоренца, как и гауссовы единицы СГС, по которым они обычно различаются примерно в 3,5 раза, часто имеют довольно неудобные размеры. Ампер (кулон/секунда) является разумной единицей измерения часто встречающихся токов, но ESU/s, как показано выше, слишком мал. Гауссова единица электрического потенциала СГС называется статвольтом. Это о300 В — значение, превышающее наиболее часто встречающиеся потенциалы. Генри, единица измерения индуктивности в системе СИ , уже большая по сравнению с большинством индукторов; единица Гаусса на 12 порядков больше.
У некоторых единиц гауссовой СГС есть названия; ни одно из подразделений Хевисайда-Лоренца этого не делает.

В учебниках по теоретической физике почти исключительно используются единицы Хевисайда-Лоренца, часто в их естественном виде (см. ниже), концептуальная простота и компактность системы HL существенно проясняют дискуссии, а при необходимости можно постфактум преобразовать полученные ответы в соответствующие единицы. путем добавления соответствующих коэффициентов $c$ и $ε 0$ . Некоторые учебники по классическому электричеству и магнетизму были написаны с использованием гауссовских единиц СГС, но недавно некоторые из них были переписаны для использования единиц СИ. ^{[примечание 2]} Вне этих контекстов, включая, например, журнальные статьи об электрических цепях, единицы Хевисайда-Лоренца и Гаусса СГС встречаются редко.

Перевод выражений и формул между системами

Чтобы преобразовать любое выражение или формулу между системами СИ, Хевисайда-Лоренца или Гаусса, соответствующие величины, показанные в таблице ниже, можно напрямую приравнять и, следовательно, заменить. Это позволит воспроизвести любую из конкретных формул, приведенных в списке выше.

Например, начнем с уравнения

\nabla \cdot \mathbf {E} ^{\textsf {SI}}=\rho ^{\textsf {SI}}/\varepsilon _{0},

и уравнения из таблицы

{\begin{aligned}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}\ \mathbf {E} ^{\textsf {SI}}&=\mathbf {E} ^{\textsf {HL}}\\{\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}\rho ^{\textsf {SI}}&=\rho ^{\textsf {HL}}\,.\end{aligned}}

Переместив множитель в последних тождествах и заменив, результат будет следующим:

\nabla \cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}\mathbf {E} ^{\textsf {HL}}\right)=\left({\sqrt {\varepsilon _{0}}}\rho ^{\textsf {HL}}\right)/\varepsilon _{0},

что затем упрощается до

\nabla \cdot \mathbf {E} ^{\textsf {HL}}=\rho ^{\textsf {HL}}.

Примечания

^ Как использовалось Эйнштейном, например, в его книге: Эйнштейн, Альберт (2005). Значение теории относительности (1956, 5-е изд.). Издательство Принстонского университета (2005). стр. 21 и далее.
^ Например, в первом и втором изданиях « Классической электродинамики» Дж. Д. Джексона ^[7] использовались исключительно гауссовы единицы, но в третьем издании Джексон переписал многие главы в единицах СИ. Точно так же «Электричество и магнетизм» Э.М. Перселла ^[8] — широко используемый учебник для вводных исследований — первоначально был написан в гауссовых единицах; третье издание было переписано в единицах СИ.