Базельская проблема

Сумма обратных квадратов натуральных чисел

Базельская проблема — это проблема математического анализа , имеющая отношение к теории чисел и касающаяся бесконечной суммы обратных квадратов. Впервые она была поставлена ​​Пьетро Менголи в 1650 году, решена Леонардом Эйлером в 1734 году ^[1] и прочитана 5 декабря 1735 года в Санкт-Петербургской Академии наук . ^[2] Поскольку задача выдержала нападки ведущих математиков того времени, решение Эйлера принесло ему немедленную известность, когда ему было двадцать восемь лет. Эйлер значительно обобщил проблему, и более столетия спустя его идеи были подхвачены Бернхардом Риманом в его основополагающей статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины », в которой он определил свою дзета-функцию и доказал ее основные свойства. . Задача названа в честь Базеля , родного города Эйлера, а также семьи Бернулли , которые безуспешно пытались решить эту задачу.

Базельская задача требует точного суммирования обратных квадратов натуральных чисел , то есть точной суммы бесконечного ряда :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$$

Сумма ряда примерно равна 1,644934. ^[3] Базельская задача требует точной суммы этого ряда (в замкнутой форме ), а также доказательства того, что эта сумма правильна. Эйлер нашел точную сумму и объявил об этом открытии в 1735 году. Его аргументы были основаны на манипуляциях, которые в то время не были оправданы, хотя позже его правота оказалась доказана. Он представил принятое доказательство в 1741 году. ${\displaystyle \pi ^{2}/6}$

Решение этой проблемы можно использовать для оценки вероятности того, что два больших случайных числа являются взаимно простыми . Два случайных целых числа в диапазоне от 1 до , в пределе, стремящемся к бесконечности, являются относительно простыми с вероятностью, приближающейся к , обратной величине решения Базельской задачи. ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

подход Эйлера

Первоначальный вывод Эйлера об этом значении существенно расширил наблюдения о конечных многочленах и предположил, что те же самые свойства справедливы для бесконечных рядов. ${\displaystyle \pi ^{2}/6}$

Конечно, оригинальные рассуждения Эйлера требуют обоснования (100 лет спустя Карл Вейерштрасс доказал справедливость представления Эйлера функции синуса как бесконечного произведения, по теореме факторизации Вейерштрасса ), но даже без обоснования, просто получив правильное значение, он смог проверить это численно на частичных суммах ряда. Соглашение, которое он наблюдал, придало ему достаточно уверенности, чтобы объявить о своем результате математическому сообществу.

Чтобы следовать аргументам Эйлера, вспомните разложение синусоидальной функции в ряд Тейлора.

$${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$$

${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}$$

Теорема факторизации Вейерштрасса показывает, что левая часть является произведением линейных множителей, заданных ее корнями, как и для конечных многочленов. Эйлер предполагал это как эвристику для разложения многочлена бесконечной степени по его корням, но на самом деле это не всегда верно для общего случая . ^[5] Эта факторизация расширяет уравнение до: ${\displaystyle P(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}}$$

Если мы формально умножим это произведение и соберем все члены x ² (нам это разрешено из-за тождеств Ньютона ), мы увидим по индукции, что коэффициент x ²грех х/Иксэто ^[6]

$${\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Но из исходного разложения в бесконечный рядгрех х/Икс, коэффициент при x ² равен —1/3!= −1/6. Эти два коэффициента должны быть равны; таким образом,

$${\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Умножение обеих частей этого уравнения на − π ² дает сумму обратных величин целых положительных квадратных чисел.

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Этот метод расчета подробно описан в объяснительной форме, особенно в книге Хэвила « Гамма» , в которой подробно описаны многие дзета-функции и ряды и интегралы, связанные с логарифмами , а также историческая перспектива, связанная с гамма-константой Эйлера . ^[7] ${\displaystyle \zeta (2)}$

Обобщения метода Эйлера с помощью элементарных симметричных многочленов

Используя формулы, полученные из элементарных симметричных многочленов , ^[8] этот же подход можно использовать для перечисления формул для четных дзета- констант с четным индексом , которые имеют следующую известную формулу, расширенную числами Бернулли :

$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{2\cdot (2n)!}}B_{2n}.}$$

Например, пусть частичный продукт для расширенного, как указано выше, определяется как . Затем, используя известные формулы для элементарных симметричных полиномов (также известные как формулы Ньютона, расширенные с помощью тождеств степенной суммы ), мы можем увидеть (например), что ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle {\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x^{4}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&={\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}-H_{n}^{(4)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\zeta (2)^{2}-\zeta (4)\right)\\[4pt]&\qquad \implies \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}=-2\pi ^{4}\cdot [x^{4}]{\frac {\sin(x)}{x}}+{\frac {\pi ^{4}}{36}}\\[8pt]\left[x^{6}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&=-{\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{3}-2H_{n}^{(2)}H_{n}^{(4)}+2H_{n}^{(6)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\zeta (2)^{3}-3\zeta (2)\zeta (4)+2\zeta (6)\right)\\[4pt]&\qquad \implies \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}=-3\cdot \pi ^{6}[x^{6}]{\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\frac {\pi ^{4}}{90}}+{\frac {\pi ^{6}}{216}},\end{aligned}}}$$

и так далее для последующих коэффициентов . Существуют и другие формы тождеств Ньютона, выражающие (конечные) степенные суммы через элементарные симметричные многочлены , но мы можем пойти более прямым путем к выражению нерекурсивных формул для использования метода элементарных симметричных многочленов . А именно, у нас есть рекуррентное соотношение между элементарными симметричными полиномами и полиномами суммы степеней, заданными, как на этой странице, формулой ${\displaystyle [x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}}$ ${\displaystyle H_{n}^{(2k)}}$ ${\displaystyle e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),}$ ${\displaystyle \zeta (2k)}$

$${\displaystyle (-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$$

что в нашей ситуации соответствует предельному рекуррентному соотношению (или свертке производящей функции , или продукту ), расширенному как

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2k}}{2}}\cdot {\frac {(2k)\cdot (-1)^{k}}{(2k+1)!}}=-[x^{2k}]{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\times \sum _{i\geq 1}\zeta (2i)x^{i}.}$$

Тогда путем дифференцирования и перестановки членов в предыдущем уравнении получаем, что

$${\displaystyle \zeta (2k)=[x^{2k}]{\frac {1}{2}}\left(1-\pi x\cot(\pi x)\right).}$$

Следствия доказательства Эйлера

По приведенным выше результатам мы можем заключить, что всегда является рациональным кратным . В частности, поскольку и целые степени его трансцендентны , на этом этапе мы можем заключить, что оно иррационально , а точнее, трансцендентно для всех . Напротив, свойства дзета- констант с нечетным индексом , включая константу Апери , почти полностью неизвестны. ${\displaystyle \zeta (2k)}$ ${\displaystyle \pi ^{2k}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \zeta (2k)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \zeta (3)}$

Дзета-функция Римана

Дзета -функция Римана ζ ( s ) является одной из наиболее важных функций в математике из-за ее связи с распределением простых чисел . Дзета-функция определяется для любого комплексного числа s с действительной частью больше 1 по следующей формуле:

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Взяв s = 2 , мы видим, что ζ (2) равно сумме обратных квадратов всех натуральных чисел:

$${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934.}$$

Сходимость может быть доказана интегральным критерием или следующим неравенством:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}&<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}}$$

Это дает нам верхнюю границу 2, и поскольку бесконечная сумма не содержит отрицательных членов, она должна сходиться к значению строго между 0 и 2. Можно показать, что ζ ( s ) имеет простое выражение через числа Бернулли всякий раз, когда s — положительное четное целое число. При s = 2 n : ^[9]

$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}.}$$

Доказательство с использованием формулы Эйлера и правила Лопиталя.

Нормализованная функция sinc имеет факторизационное представление Вейерштрасса как бесконечное произведение: ${\displaystyle {\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

Бесконечный продукт является аналитическим , поэтому, взяв натуральный логарифм обеих частей и дифференцируя выходы, получим

$${\displaystyle {\frac {\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}}-{\frac {1}{x}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}-x^{2}}}}$$

(при равномерной сходимости допускается перестановка производного и бесконечного ряда). Разделив уравнение на и перегруппировав, получим ${\displaystyle 2x}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2x^{2}}}-{\frac {\pi \cot(\pi x)}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-x^{2}}}.}$$

Производим замену переменных ( ): ${\displaystyle x=-it}$

$${\displaystyle -{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}.}$$

Для этого можно использовать формулу Эйлера.

$${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2it}}{\frac {i\left(e^{2\pi t}+1\right)}{e^{2\pi t}-1}}={\frac {\pi }{2t}}+{\frac {\pi }{t\left(e^{2\pi t}-1\right)}}.}$$

гиперболическую функцию

$${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2t}}{i\cot(\pi it)}={\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Затем

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi \left(te^{2\pi t}+t\right)-e^{2\pi t}+1}{2\left(t^{2}e^{2\pi t}-t^{2}\right)}}=-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Теперь возьмем предел при приближении к нулю и трижды воспользуемся правилом Лопиталя . По теореме Таннери, примененной к , мы можем поменять местами предельный и бесконечный ряд так, что и по правилу Лопиталя ${\displaystyle t}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ ${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\pi te^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi t}+te^{2\pi t}-t}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{3}te^{2\pi t}}{2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi t}-1}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{2}(2\pi t+1)}{4\pi ^{2}t^{2}+12\pi t+6}}\\[6pt]&={\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{aligned}}}$$

Доказательство с использованием ряда Фурье.

Используйте тождество Парсеваля (примененное к функции f ( x ) = x ), чтобы получить

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]&={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}}$$

для n ≠ 0 и c ₀ знак равно 0 . Таким образом,

$${\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{for }}n\neq 0,\\0,&{\text{for }}n=0,\end{cases}}}$$

и

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.}$$

Поэтому,

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

Еще одно доказательство с использованием личности Парсеваля.

При наличии полного ортонормированного базиса в пространстве L2 периодических функций над (т.е. подпространстве интегрируемых с квадратом функций , которые также являются периодическими ), обозначенном , тождество Парсеваля говорит нам, что ${\displaystyle L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }|\langle e_{i},x\rangle |^{2},}$$

где определяется через скалярное произведение в этом гильбертовом пространстве, заданное формулой ${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}}\,dx,\ f,g\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1).}$$

Мы можем рассмотреть ортонормированный базис на этом пространстве, определяемый таким образом, что . Тогда, если мы возьмем , мы сможем вычислить и то, и другое. ${\displaystyle e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )}$ ${\displaystyle \langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}}$ ${\displaystyle f(\vartheta ):=\vartheta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}&=\int _{0}^{1}\vartheta ^{2}\,d\vartheta ={\frac {1}{3}}\\\langle f,e_{k}\rangle &=\int _{0}^{1}\vartheta e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}},&k=0\\-{\frac {1}{2\pi \imath k}}&k\neq 0,\end{array}}\end{aligned}}}$$

элементарным исчислением и интегрированием по частям соответственно. Наконец, по тождеству Парсеваля, сформулированному в приведенной выше форме, получаем, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}={\frac {1}{3}}&=\sum _{\stackrel {k=-\infty }{k\neq 0}}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\\&\implies {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}=\zeta (2).\end{aligned}}}$$

Обобщения и рекуррентные соотношения

Обратите внимание, что, рассматривая степени более высокого порядка, мы можем использовать интегрирование по частям , чтобы расширить этот метод до перечисления формул для когда . В частности, предположим, что мы позволяем ${\displaystyle f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)}$ ${\displaystyle \zeta (2j)}$ ${\displaystyle j>1}$

$${\displaystyle I_{j,k}:=\int _{0}^{1}\vartheta ^{j}e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ,}$$

так что интегрирование по частям дает рекуррентное соотношение , которое

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{j,k}&={\begin{cases}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt]-{\frac {1}{2\pi \imath \cdot k}}+{\frac {j}{2\pi \imath \cdot k}}I_{j-1,k},&k\neq 0\end{cases}}\\[6pt]&={\begin{cases}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt]-\sum \limits _{m=1}^{j}{\frac {j!}{(j+1-m)!}}\cdot {\frac {1}{(2\pi \imath \cdot k)^{m}}},&k\neq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Затем, применив тождество Парсеваля , как мы это делали для первого случая выше, вместе с линейностью внутреннего продукта, получим, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{j}\|^{2}={\frac {1}{2j+1}}&=2\sum _{k\geq 1}I_{j,k}{\bar {I}}_{j,k}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}\\[6pt]&=2\sum _{m=1}^{j}\sum _{r=1}^{j}{\frac {j!^{2}}{(j+1-m)!(j+1-r)!}}{\frac {(-1)^{r}}{\imath ^{m+r}}}{\frac {\zeta (m+r)}{(2\pi )^{m+r}}}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Доказательство с помощью дифференцирования под знаком интеграла.

Этот результат можно доказать с помощью элементарного исчисления, применив дифференцирование с использованием техники знака интеграла к интегралу Фрейтаса: ^[10]

$${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}\right)dx.}$$

Хотя примитивную функцию подынтегрального выражения нельзя выразить через элементарные функции, дифференцируя по мы приходим к ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}}}dx,}$$

подстановкипростейшие дроби ${\displaystyle u=e^{-x}}$ ${\displaystyle -2\leq \alpha \leq 2}$

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}={\frac {2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\left[\arctan \left({\frac {\alpha +2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)-\arctan \left({\frac {\alpha }{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)\right].}$$

Выражение можно упростить, используя формулу сложения арктангенса, и проинтегрировать по нему с помощью тригонометрической подстановки , в результате чего получим ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle I(\alpha )=-{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}+c.}$$

Константу интегрирования можно определить, заметив, что два различных значения связаны соотношением ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle I(\alpha )}$

$${\displaystyle I(2)=4I(0),}$$

факторизоватьстепенного тождествазамены ${\displaystyle I(2)}$ ${\displaystyle 1+2e^{-x}+e^{-2x}=(1+e^{-x})^{2}}$ ${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle u=x/2}$ ${\displaystyle c={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

$${\displaystyle I(-2)=2\int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}.}$$

Этот окончательный интеграл можно вычислить, разложив натуральный логарифм в ряд Тейлора :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-nx}}{n}}dx=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Последние два тождества подразумевают

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Доказательство Коши

Хотя в большинстве доказательств используются результаты продвинутой математики , такие как анализ Фурье , комплексный анализ и исчисление с несколькими переменными , следующие доказательства даже не требуют исчисления с одной переменной (пока в конце не будет взят один предел ).

Доказательство с использованием теоремы о вычетах см. здесь .

История этого доказательства

Доказательство восходит к Огюстену Луи Коши (Кур д'Анализ, 1821, примечание VIII). В 1954 году это доказательство появилось в книге Акивы и Исаака Ягломов «Неэлементарные проблемы в элементарном изложении». Позже, в 1982 году, оно появилось в журнале «Эврика» , ^[11] приписываемое Джону Скоулзу, но Скоулз утверждает, что узнал доказательство от Питера Суиннертона-Дайера , и в любом случае он утверждает, что доказательство было «общеизвестным в Кембридже в конце 1982 года». 1960-е годы». ^[12]

Доказательство

Неравенство показано графически для любого . Эти три члена представляют собой площади треугольника OAC, сечения окружности OAB и треугольника OAB. Взятие обратных величин и возведение в квадрат дает .
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\tan \theta >{\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta >{\tfrac {1}{2}}r^{2}\sin \theta }$
${\displaystyle \theta \in (0,\pi /2)}$
${\displaystyle \cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta }$

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы ограничить частичные (конечные) суммы

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}}$$

π ²/6mкотангенсакосекансаформулы де Муавра

Пусть x — действительное число с 0 < x <π/2, и пусть n — положительное нечетное целое число. Тогда из формулы де Муавра и определения котангенса имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}&={\frac {(\cos x+i\sin x)^{n}}{\sin ^{n}x}}\\[4pt]&=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^{n}\\[4pt]&=(\cot x+i)^{n}.\end{aligned}}}$$

Из биномиальной теоремы имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\cot x+i)^{n}=&{n \choose 0}\cot ^{n}x+{n \choose 1}(\cot ^{n-1}x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}\\[6pt]=&{\Bigg (}{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots {\Bigg )}\;+\;i{\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.\end{aligned}}}$$

Объединение двух уравнений и приравнивание мнимых частей дает тождество

$${\displaystyle {\frac {\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}={\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.}$$

Мы берем это тождество, фиксируем положительное целое число m , полагаем n = 2 m + 1 и считаем x _r =р π/2 м + 1для г = 1, 2, ..., м . Тогда nx _r кратно π и, следовательно, sin( nx _r ) = 0 . Так,

$${\displaystyle 0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}}$$

для каждого r = 1, 2, ..., m . Значения x _r = x ₁ , x ₂ , ..., x _m представляют собой различные числа в интервале 0 < x _r <π/2. Поскольку функция cot ² x на этом интервале взаимно однозначна , числа t _r = cot ² x _r различны для r = 1, 2, ..., m . Согласно приведенному выше уравнению, эти m чисел являются корнями полинома m -й степени.

$${\displaystyle p(t)={{2m+1} \choose 1}t^{m}-{{2m+1} \choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}.}$$

По формулам Виеты мы можем вычислить сумму корней непосредственно, исследуя первые два коэффициента многочлена, и это сравнение показывает, что

$${\displaystyle \cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}={\frac {\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.}$$

Подставив тождество csc ² x = cot ² x + 1 , получим

$${\displaystyle \csc ^{2}x_{1}+\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Теперь рассмотрим неравенство cot ² x <1/х ²< csc ² x (геометрически показано выше). Если сложить все эти неравенства для каждого из чисел x _r =р π/2 м + 1, и если мы воспользуемся двумя приведенными выше тождествами, мы получим

$${\displaystyle {\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Умножив на (π/2 м + 1)²
, это становится

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).}$$

Когда m приближается к бесконечности, каждое из левых и правых выражений приближаетсяπ ²/6, поэтому по теореме о сжатии

$${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

и это завершает доказательство.

Доказательство гипотезы Вейля о числах Тамагавы.

Доказательство также возможно, если принять гипотезу Вейля о числах Тамагавы . ^[13] Для случая алгебраической группы SL ₂ ( R ) гипотеза утверждает, что число Тамагавы группы равно единице. То есть фактор специальной линейной группы по рациональным аделям по специальной линейной группе рациональных чисел ( компактное множество , поскольку является решеткой в ​​аделях) имеет меру Тамагавы 1: ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Q} )}$

$${\displaystyle \tau (SL_{2}(\mathbb {Q} )\setminus SL_{2}(A_{\mathbb {Q} }))=1.}$$

Для определения меры Тамагавы группа состоит из матриц ${\displaystyle SL_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}}}$$

формой объема ${\displaystyle xt-yz=1}$

$${\displaystyle \omega ={\frac {1}{x}}dx\wedge dy\wedge dz.}$$

Мера частного есть произведение мер, соответствующих бесконечному месту, и мер в каждом конечном месте, где – p -адические целые числа . ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Что касается местных факторов,

$${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=|SL_{2}(F_{p})|\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p))}$$

конгруэнциимера Хаара ${\displaystyle F_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \left|{\frac {1}{x}}\right|_{p}=1}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$ ${\displaystyle \mu _{p}(p\mathbb {Z} _{p})^{3}=p^{-3}}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle |SL_{2}(F_{p})|=p(p^{2}-1)}$ ${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=(1-1/p^{2})}$

В бесконечном месте интегральное вычисление по фундаментальной области показывает, что и, следовательно, гипотеза Вейля наконец дает ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )=\pi ^{2}/6}$

$${\displaystyle 1={\frac {\pi ^{2}}{6}}\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right).}$$

произведение Эйлера ${\displaystyle 1/\zeta (2)}$

Этот подход показывает связь между (гиперболической) геометрией и арифметикой и может быть инвертирован, чтобы дать доказательство гипотезы Вейля для специального случая , при условии независимого доказательства того, что . ${\displaystyle SL_{2}}$ ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$

Другие личности

См. особые случаи тождеств для дзета-функции Римана , когда в разделах ниже появляются другие особенно специальные тождества и представления этой константы. ${\displaystyle s=2.}$

Представления серий

Ниже приведены последовательные представления константы: ^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k}}}}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1)!(j-1)!}{(i+j)!}}.\end{aligned}}}$$

Существуют также разложения в ряд типа BBP для ζ (2) . ^[14]

Интегральные представления

Ниже приведены интегральные представления ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle \zeta (2){\text{:}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}}$$

Непрерывные дроби

В классической статье ван дер Портена, описывающей доказательство Апери иррациональности ${\displaystyle \zeta (3)}$ , ^[18] автор отмечает как «отвлекающий маневр» сходство цепной дроби для константы Апери и следующей дроби для константы Базеля:

$${\displaystyle {\frac {\zeta (2)}{5}}={\cfrac {1}{{\widetilde {v}}_{1}-{\cfrac {1^{4}}{{\widetilde {v}}_{2}-{\cfrac {2^{4}}{{\widetilde {v}}_{3}-{\cfrac {3^{4}}{{\widetilde {v}}_{4}-\ddots }}}}}}}},}$$

^[19] ${\displaystyle {\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}}$

$${\displaystyle {\frac {\zeta (2)}{2}}={\cfrac {1}{v_{1}-{\cfrac {1^{4}}{v_{2}-{\cfrac {2^{4}}{v_{3}-{\cfrac {3^{4}}{v_{4}-\ddots }}}}}}}},}$$

${\displaystyle v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}}$

Смотрите также

• Дзета-функция Римана
• постоянная Апери
• Список сумм обратных величин

Рекомендации

• Вейль, Андре (1983), Теория чисел: исторический подход , Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0.
• Данэм, Уильям (1999), Эйлер: Мастер всех нас , Математическая ассоциация Америки , ISBN 0-88385-328-0.
• Дербишир, Джон (2003), Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики , Джозеф Генри Пресс, ISBN 0-309-08549-7.
• Эдвардс, Гарольд М. (2001), Дзета-функция Римана , Дувр, ISBN 0-486-41740-9.

Примечания

1. Аюб, Раймонд (1974), «Эйлер и дзета-функция», Amer. Математика. Ежемесячно , 81 (10): 1067–86, номер номера : 10.2307/2319041, JSTOR  2319041.
2. E41 - De summis serierum reciprocarum
3. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A013661», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
4. Вандервельде, Сэм (2009), «Глава 9: Скрытые сегменты», Круг в коробке , Библиотека математических кругов ИИГС, Научно-исследовательский институт математических наук и Американское математическое общество, стр. 101–106
5. Априори, поскольку левая часть представляет собой полином (бесконечной степени), мы можем записать ее как произведение его корней как
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x(x^{2}-\pi ^{2})(x^{2}-4\pi ^{2})(x^{2}-9\pi ^{2})\cdots \\&=Ax\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots .\end{aligned}}}$$
   Затем, поскольку мы знаем это из элементарного исчисления , мы заключаем, что ведущая константа должна удовлетворять . ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$ ${\displaystyle A=1}$
6. В частности, обозначив обобщенное гармоническое число второго порядка , легко по индукции доказать, что при . ${\displaystyle H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}}$ ${\displaystyle [x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$
7. Хэвил, Дж. (2003), Гамма: изучение константы Эйлера , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 37–42 (Глава 4), ISBN 0-691-09983-9
8. См., формулы для обобщенных чисел Стирлинга доказаны в: Шмидт, доктор медицинских наук (2018), «Комбинаторные тождества для обобщенных чисел Стирлинга, расширяющих f-факториальные функции и f-гармонические числа», J. Integer Seq. , 21 (ст. 18.2.7)
9. Аракава, Цунео; Ибукияма, Томоёси; Канеко, Масанобу (2014), Числа Бернулли и дзета-функции , Springer, с. 61, ISBN 978-4-431-54919-2
10. Фрейтас, Флорида (2023), «Решение Базельской проблемы с использованием интегрального трюка Фейнмана», arXiv : 2312.04608 [math.CA]
11. Рэнсфорд, Т.Дж. (лето 1982 г.), "Элементарное доказательство того, что ∑ 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2} }}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} " (PDF) , Эврика , 42 (1): 3–4
12. Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2001), Доказательства из КНИГИ (2-е изд.), Springer, стр. 32, ISBN 9783662043158; этот анекдот отсутствует в более поздних изданиях этой книги, которые заменяют его более ранней историей того же доказательства.
13. Владимир Платонов ; Андрей Рапинчук (1994), Алгебраические группы и теория чисел , перевод Рэйчел Роуэн, Academic Press|
14. Вайсштейн, Эрик В. , «Дзета-функция Римана \ zeta (2)», MathWorld
15. Коннон, Д.Ф. (2007), «Некоторые ряды и интегралы, включающие дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (том I)», arXiv : 0710.4022 [math.HO]
16. Вайсштейн, Эрик В. , «Двойной интеграл», MathWorld
17. Вайсштейн, Эрик В. , «Формула Хаджикостаса», MathWorld
18. ван дер Поортен, Альфред (1979), «Доказательство, которое Эйлер пропустил ... Доказательство Апери иррациональности ζ (3)» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi : 10.1007 /BF03028234, S2CID  121589323, заархивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г.
19. Берндт, Брюс К. (1989), Записные книжки Рамануджана: Часть II , Springer-Verlag, стр. 150, ISBN 978-0-387-96794-3

Внешние ссылки

• Бесконечная серия сюрпризов от CJ Sangwin
• От ζ(2) к Π. Доказательство. пошаговое доказательство
• Замечания о прекрасном взаимопонимании между сериями сил, направляющих взаимность (PDF), английский перевод с примечаниями к статье Эйлера Лукаса Уиллиса и Томаса Дж. Ослера.
• Эд Сандифер, Как Эйлер это сделал (PDF)
• Джеймс А. Селлерс (5 февраля 2002 г.), Beyond Mere Convergence (PDF) , получено 27 февраля 2004 г.
• Робин Чепмен, Оценка ζ(2) (четырнадцать доказательств)
• Визуализация факторизации Эйлера функции синуса
• Йохан Вэстлунд (8 декабря 2010 г.), Суммирование обратных квадратов по евклидовой геометрии (PDF)
  • Почему здесь число Пи? И почему оно квадратное? Геометрический ответ на Базельскую задачу на YouTube (анимированное доказательство на основе вышеизложенного)