Граница Фюрстенберга

В теории потенциала , дисциплине прикладной математики , граница Фюрстенберга — это понятие границы , связанное с группой . Она названа в честь Гарри Фюрстенберга , который представил ее в серии статей, начиная с 1963 года (в случае полупростых групп Ли ). Граница Фюрстенберга, грубо говоря, представляет собой универсальное пространство модулей для интеграла Пуассона , выражающее гармоническую функцию на группе через ее граничные значения.

Мотивация

Моделью границы Фюрстенберга является гиперболический диск . Классическая формула Пуассона для ограниченной гармонической функции на диске имеет вид ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\hat {f}}(e^{i\theta })P(z,e^{i\theta })\,d\theta }$

где P — ядро ​​Пуассона. Любая функция f на диске определяет функцию на группе преобразований Мёбиуса диска, полагая F ( g ) = f ( g (0)) . Тогда формула Пуассона имеет вид

${\displaystyle F(g)=\int _{|z|=1}{\hat {f}}(gz)\,dm(z)}$

где m — мера Хаара на границе. Тогда эта функция является гармонической в ​​том смысле, что она удовлетворяет свойству среднего значения по отношению к мере на группе Мёбиуса, индуцированной из обычной меры Лебега диска, нормированной соответствующим образом. Связь ограниченной гармонической функции с (по существу) ограниченной функцией на границе является взаимно однозначной.

Построение для полупростых групп

В общем, пусть G — полупростая группа Ли, а µ — вероятностная мера на G , которая абсолютно непрерывна . Функция f на G называется µ-гармонической, если она удовлетворяет свойству среднего значения по мере µ:

${\displaystyle f(g)=\int _{G}f(gg')\,d\mu (g')}$

Тогда существует компакт Π с действием G и мерой ν такой, что любая ограниченная гармоническая функция на G задается формулой

${\displaystyle f(g)=\int _{\Pi }{\hat {f}}(gp)\,d\nu (p)}$

для некоторой ограниченной функции на Π. ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Пространство Π и мера ν зависят от меры µ (и, следовательно, от того, что именно представляет собой гармоническая функция). Однако оказывается, что хотя существует много возможностей для меры ν (которая всегда действительно зависит от µ), существует лишь конечное число пространств Π (с точностью до изоморфизма): это однородные пространства группы G , которые являются факторами G некоторой параболической подгруппой, которую можно полностью описать с помощью корневых данных и заданного разложения Ивасавы . Более того, существует максимальное такое пространство, фактор-отображения которого спускаются во все остальные пространства, которое называется границей Фюрстенберга.

Рекомендации

• Борель, Арманд; Цзи, Личжэнь, Компактификации симметричных и локально симметричных пространств (PDF)
• Фюрстенберг, Гарри (1963), «Формула Пуассона для полупростых групп Ли», Annals of Mathematics , 77 (2): 335–386, doi : 10.2307/1970220, JSTOR  1970220
• Фюрстенберг, Гарри (1973), Кэлвин Мур (редактор), «Граничная теория и случайные процессы в однородных пространствах», Proceedings of Symposium in Pure Mathematics , 26 , AMS: 193–232, doi : 10.1090/pspum/026/0352328, ISBN 9780821814260