Конструктивный номер

Число, которое можно построить с помощью циркуля и линейки

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с длиной катета 1 и, следовательно, является конструктивным числом.

В геометрии и алгебре действительное число можно построить тогда и только тогда, когда по отрезку единичной длины можно построить отрезок длины с помощью циркуля и линейки за конечное число шагов. Эквивалентно, является конструктивным тогда и только тогда, когда существует выражение замкнутой формы , позволяющее использовать только целые числа и операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Геометрическое определение конструктивных чисел мотивирует соответствующее определение конструктивных точек , которые снова могут быть описаны либо геометрически, либо алгебраически. Точка является конструктивной, если ее можно создать как одну из точек построения циркуля и линейки (конечная точка отрезка или точка пересечения двух линий или окружностей), начиная с заданного отрезка единичной длины. Альтернативно и эквивалентно, приняв две конечные точки данного сегмента за точки (0, 0) и (1, 0) декартовой системы координат , точка является конструктивной тогда и только тогда, когда ее декартовы координаты являются конструктивными числами. ^[1] Конструируемые числа и точки также называются числами линейки и циркуля , а также точками линейки и циркуля , чтобы отличить их от чисел и точек, которые могут быть построены с использованием других процессов. ^[2]

Набор конструктивных чисел образует поле : применение любой из четырех основных арифметических операций к членам этого набора дает другое конструктивное число. Это поле является полем расширения рациональных чисел и, в свою очередь, содержится в поле алгебраических чисел . ^[3] Это евклидово замыкание рациональных чисел , наименьшее расширение поля рациональных чисел, которое включает квадратные корни всех своих положительных чисел. ^[4]

Доказательство эквивалентности между алгебраическими и геометрическими определениями конструктивных чисел приводит к преобразованию геометрических вопросов о конструкциях циркуля и линейки в алгебру , включая несколько известных задач древнегреческой математики. Алгебраическая формулировка этих вопросов привела к доказательствам того, что их решения невозможно построить, после того как геометрическая формулировка тех же проблем ранее выдержала столетия атак.

Геометрические определения

Геометрически конструируемые точки

Пусть и - две заданные различные точки на евклидовой плоскости , и определите как набор точек, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, начиная с и . Тогда точки называются конструктивными точками . и по определению являются элементами . Для более точного описания остальных элементов дадим следующие два определения: ^[5] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• отрезок прямой, конечные точки которого находятся внутри, называется построенным отрезком , а ${\displaystyle S}$
• окружность, центр которой находится в и которая проходит через точку (альтернативно, радиус которого равен расстоянию между некоторой парой различных точек ) называется построенной окружностью . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Тогда точками , кроме и являются: ^{[5] [6]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$

• пересечение двух непараллельных построенных отрезков или линий, проходящих через построенные отрезки ,
• точки пересечения построенной окружности и построенного сегмента или линия, проходящая через построенный сегмент, или
• точки пересечения двух различных построенных окружностей.

Например, середина построенного отрезка является конструктивной точкой. Одна из его конструкций состоит в том, чтобы построить две окружности одинакового радиуса и линию, проходящую через две точки пересечения этих двух окружностей. Тогда серединой отрезка будет точка, в которой этот отрезок пересекает построенная прямая. ^[7] ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OA}$

Геометрически конструируемые числа

Исходная информация для геометрической формулировки может использоваться для определения декартовой системы координат , в которой точка связана с началом координат, имеющим координаты , и в которой точка связана с координатами . Точки теперь можно использовать для связи геометрии и алгебры, определяя конструктивное число как координату конструктивной точки. ^[8] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle S}$

Эквивалентные определения заключаются в том, что конструктивное число — это координата конструктивной точки ^[6] или длина конструктивного отрезка. ^[9] В одном направлении этой эквивалентности, если конструктивная точка имеет координаты , то точка может быть построена как ее перпендикулярная проекция на -ось, а отрезок от начала координат до этой точки имеет длину . В обратном направлении, если длина конструктивного отрезка, то пересечение оси - с окружностью с центром в радиусе дает точку . Из этой эквивалентности следует, что каждая точка, декартовы координаты которой являются геометрически конструируемыми числами, сама является геометрически конструируемой точкой. Ибо, когда и являются геометрически конструируемыми числами, точку можно построить как пересечение линий, проходящих через и , перпендикулярных осям координат. ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle (0,y)}$

Алгебраические определения

Алгебраически конструируемые числа

Алгебраически конструируемые действительные числа — это подмножество действительных чисел , которые можно описать формулами, объединяющими целые числа с использованием операций сложения, вычитания, умножения, мультипликативного обратного преобразования и квадратных корней из положительных чисел. Еще проще, за счет увеличения длины этих формул, целые числа в них можно ограничить только 0 и 1. ^[11] Например, квадратный корень из 2 можно построить, поскольку его можно описать формулами или . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+1}}}$

Аналогично, алгебраически конструируемые комплексные числа представляют собой подмножество комплексных чисел, которые имеют формулы одного и того же типа, использующие более общую версию квадратного корня, которая не ограничивается положительными числами, но вместо этого может принимать произвольные комплексные числа в качестве аргумента и дает главный квадратный корень его аргумента. Альтернативно, одна и та же система комплексных чисел может быть определена как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются конструктивными действительными числами. ^[12] Например, комплексное число имеет формулы или , а его действительная и мнимая части представляют собой конструктивные числа 0 и 1 соответственно. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0-1}}}$

Эти два определения конструктивных комплексных чисел эквивалентны. ^[13] В одном направлении, если это комплексное число, чья действительная и мнимая части являются конструктивными действительными числами, то замена и по их формулам в более крупной формуле дает формулу для комплексного числа. В другом направлении любую формулу для алгебраически конструируемого комплексного числа можно преобразовать в формулы для его действительной и мнимой частей, рекурсивно разлагая каждую операцию в формуле на операции над действительной и мнимой частями ее аргументов, используя разложения [ ^{14]. ]} ${\displaystyle q=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x+y{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle (a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)}$
• ${\displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}}$, где и . ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}}$ ${\displaystyle s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}}$

Алгебраически конструируемые точки

Алгебраически конструируемые точки могут быть определены как точки, две действительные декартовы координаты которых являются алгебраически конструируемыми действительными числами. Альтернативно, они могут быть определены как точки на комплексной плоскости , заданные алгебраически конструируемыми комплексными числами. Ввиду эквивалентности двух определений алгебраически конструируемых комплексных чисел эти два определения алгебраически конструируемых точек также эквивалентны. ^[13]

Эквивалентность алгебраических и геометрических определений

Если и ненулевые длины геометрически построенных отрезков, то элементарные конструкции циркуля и линейки можно использовать для получения построенных отрезков длин , , и . Последние два можно реализовать с помощью конструкции, основанной на теореме о пересечении . Немного менее элементарная конструкция с использованием этих инструментов основана на теореме о среднем геометрическом и строит отрезок длины из построенного отрезка длины . Отсюда следует, что каждое алгебраически конструируемое число является геометрически конструируемым, если использовать эти методы для перевода формулы для числа в конструкцию для числа. ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle |a-b|}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle a}$

Конструкции циркуля и линейки для конструктивных чисел

В другом направлении набор геометрических объектов может быть задан алгебраически конструируемыми действительными числами: координатами точек, наклоном и пересечением линий, а также центром и радиусом кругов. Можно (но утомительно) разработать формулы на основе этих значений, используя только арифметику и квадратные корни, для каждого дополнительного объекта, который может быть добавлен за один шаг конструкции циркуля и линейки. Из этих формул следует, что всякое геометрически конструируемое число алгебраически конструируемо. ^[16] ${\displaystyle y}$

Алгебраические свойства

Определение алгебраически конструируемых чисел включает сумму, разность, произведение и мультипликативную обратную величину любого из этих чисел — те же операции, которые определяют поле в абстрактной алгебре . Таким образом, конструктивные числа (определенные любым из вышеперечисленных способов) образуют поле. Более конкретно, конструктивные действительные числа образуют евклидово поле , упорядоченное поле, содержащее квадратный корень из каждого из своих положительных элементов. ^[17] Исследование свойств этого поля и его подполей приводит к необходимым условиям на конструктивность числа, которые можно использовать, чтобы показать, что конкретные числа, возникающие в классических геометрических задачах построения, не являются конструктивными.

Удобно вместо всего поля конструктивных чисел рассматривать подполе, порожденное любым данным конструктивным числом , и использовать алгебраическую конструкцию для разложения этого поля. Если - конструктивное действительное число, то значения, встречающиеся в формуле, его конструирующей, можно использовать для создания конечной последовательности действительных чисел, такой, что для каждого является расширением степени 2. [ ^18] Используя немного другую терминологию, действительное число конструктивно тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни действительных квадратичных расширений , ${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,a_{n}=\gamma }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i-1})}$

$${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},}$$

^[19]степень расширения поля^[20] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle 0<j\leq n}$ ${\displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle 2^{r}}$ ${\displaystyle r}$

Аналогично реальному случаю, комплексное число является конструктивным тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни комплексных квадратичных расширений. ^[21] Точнее, конструктивно тогда и только тогда, когда существует башня полей ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},}$$

^[22] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle 0<j\leq n}$ ${\displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$

Поля, которые могут быть сгенерированы таким образом из башен квадратичных расширений, называются итерированными квадратичными расширениями . Поля действительных и комплексных конструктивных чисел представляют собой объединения всех действительных или комплексных итерированных квадратичных расширений . ^[23] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Тригонометрические числа

Тригонометрические числа — это косинусы или синусы углов, которые являются рациональными кратными . Эти числа всегда алгебраические, но их нельзя построить. Косинус или синус угла можно построить только для некоторых специальных чисел : ^[24] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle n}$

• Силы двух
• Простые числа Ферма — простые числа, равные единице плюс степень двойки.
• Произведения степеней двойки и любого количества различных простых чисел Ферма.

Так, например, является конструктивным, потому что 15 является произведением простых чисел Ферма 3 и 5; но не является конструктивным (не является произведением различных простых чисел Ферма) и не является таковым (будучи неферма-простым числом). ${\displaystyle \cos(\pi /15)}$ ${\displaystyle \cos(\pi /9)}$ ${\displaystyle \cos(\pi /7)}$

Невозможные конструкции

Древние греки считали, что некоторые проблемы, связанные с построением линеек и циркуля, которые они не могли решить, были просто упрямыми, а не неразрешимыми. ^[25] Однако неконструируемость некоторых чисел доказывает, что эти конструкции логически невозможно выполнить. ^[26] (Однако сами проблемы можно решить, используя методы, выходящие за рамки ограничений работы только с линейкой и циркулем, и греки знали, как решить их таким способом. Одним из таких примеров является решение Архимедом конструкции Нейсиса для задача о трисекции угла .) ^[27]

В частности, алгебраическая формулировка конструктивных чисел приводит к доказательству невозможности следующих задач построения:

Удвоение куба

Задача удвоения единичного квадрата решается построением на диагонали первого квадрата со стороной и площадью . Аналогично задача об удвоении куба требует построения длины стороны куба с объемом . Это невозможно построить, потому что минимальный полином этой длины имеет степень 3 над . ^[28] Как кубический многочлен, единственный действительный корень которого иррационален, этот многочлен должен быть неприводимым, потому что, если бы он имел квадратичный действительный корень, то квадратичное сопряжение дало бы второй действительный корень. ^[29] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Угловая трисекция

В этой задаче по заданному углу следует построить угол . Алгебраически углы могут быть представлены их тригонометрическими функциями , такими как их синусы или косинусы , которые дают декартовы координаты конечной точки отрезка, образующего данный угол с начальным сегментом. Таким образом, угол является конструктивным, если является конструктивным числом, и задачу разделения угла на три части можно сформулировать как задачу построения . Например, угол равностороннего треугольника можно построить с помощью циркуля и линейки с помощью . Однако его трисекция не может быть построена, т.к. имеет минимальный многочлен степени 3 над . Поскольку этот конкретный случай задачи трисекции не может быть решен с помощью циркуля и линейки, общая проблема также не может быть решена. ^[30] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /3}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x=\cos \theta }$ ${\displaystyle \cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /3=60^{\circ }}$ ${\displaystyle x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \theta /3=\pi /9=20^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos \pi /9}$ ${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Квадратура круга

Квадрат с площадью , равной площади единичного круга , будет иметь длину стороны , трансцендентное число . Следовательно, этот квадрат и длина его стороны не являются конструктивными, поскольку он не алгебраичен над . ^[31] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Правильные многоугольники

Если построить правильный -угольник с центром в начале координат, углы между отрезками от центра к последовательным вершинам равны . Многоугольник можно построить только тогда, когда косинус этого угла является тригонометрическим числом. Так, например, 15-угольник можно построить, но правильный семиугольник построить невозможно, поскольку 7 — простое число, а не простое число Ферма. ^[32] Для более прямого доказательства его неконструируемости представим вершины правильного семиугольника как комплексные корни многочлена . Удаление множителя , деление на и замена дают более простой многочлен — неприводимую кубическую величину с тремя вещественными корнями, каждый из которых в два раза превышает действительную часть вершины комплексного числа. Его корни неконструируемы, поэтому семиугольник тоже неконструируем. ^[33] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle x^{7}-1}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle y=x+1/x}$ ${\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1}$

Проблема Альхазена

Если даны две точки и круглое зеркало, то где на окружности одна из данных точек видит отраженное изображение другой? Геометрически линии, идущие от каждой данной точки до точки отражения, пересекают окружность под равными углами и по хордам одинаковой длины. Однако построить точку отражения с помощью циркуля и линейки невозможно. В частности, для единичного круга с двумя точками и внутри него решение имеет координаты, образующие корни неприводимого многочлена четвертой степени . Хотя его степень равна степени двойки, поле расщепления этого многочлена имеет степень, кратную трем, поэтому оно не является результатом повторного квадратичного расширения, и проблема Альхазена не имеет решения для циркуля и линейки. ^[34] ${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$ ${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$

История

Рождение понятия конструктивных чисел неразрывно связано с историей трех невозможных конструкций циркуля и линейки: удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Ограничение использования только циркуля и линейки в геометрических построениях часто приписывают Платону из-за отрывка из Плутарха . По мнению Плутарха, Платон дал дублирование задачи о кубе (делианском) Евдоксу , Архиту и Менехму , которые решили проблему механическими средствами, заслужив упрек со стороны Платона за то, что она не решила проблему с помощью чистой геометрии . ^[35] Однако эта атрибуция оспаривается, ^[36] отчасти из-за существования другой версии истории (приписываемой Эратосфену Евтоцием из Аскалона ), в которой говорится, что все три нашли решения, но они были слишком абстрактными, чтобы быть практическую ценность. ^[37] Прокл , цитируя Евдема Родосского , приписал Энопиду (около 450 г. до н. э.) две конструкции линейки и циркуля, что привело некоторых авторов к выдвижению гипотезы, что именно Энопид создал это ограничение. ^[38] Ограничение на использование циркуля и линейки существенно для невозможности решения классических задач строительства. Например, трисекцию угла можно выполнить разными способами, некоторые из которых были известны древним грекам. Квадратриса Гиппия Элисского , коники Менехма или конструкция с отмеченной прямой линией ( neusis ) Архимеда — все они использовались, а также более современный подход посредством складывания бумаги . ^[39]

Хотя это не одна из трех классических задач построения, рядом с ними часто рассматривается задача построения правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля. Греки знали, как построить правильные -угольники с (для любого целого числа ) 3, 5 или произведением любых двух или трех этих чисел, но другие правильные -угольники ускользнули от них. В 1796 году восемнадцатилетний студент Карл Фридрих Гаусс объявил в газете, что с помощью линейки и циркуля построил правильный 17-угольник . ^[40] Лечение Гаусса было скорее алгебраическим, чем геометрическим; на самом деле он на самом деле не построил многоугольник, а скорее показал, что косинус центрального угла является конструктивным числом. Этот аргумент был обобщен в его книге Disquisitiones Arithmeticae 1801 года , в которой даны достаточные условия для построения правильного -угольника. Гаусс утверждал, но не доказал, что это условие также необходимо, и некоторые авторы, в частности Феликс Кляйн ^[41] , приписывали ему и эту часть доказательства. ^[42] Проблема Альхазена также не входит в число трех классических задач, но, несмотря на то, что она названа в честь Ибн аль-Хайсама (Альхазена), средневекового исламского математика , она уже появляется в работах Птолемея по оптике второго века. ^[20] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2^{h}}$ ${\displaystyle h\geq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Пьер Ванцель  (1837) алгебраически доказал, что задачи удвоения куба и трисекции угла невозможно решить, если пользоваться только циркулем и линейкой. В той же статье он также решил проблему определения того, какие правильные многоугольники можно построить: правильный многоугольник можно построить тогда и только тогда, когда число его сторон является произведением степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (т. е. также необходимы достаточные условия, данные Гауссом). ^{[24] [43]} Попытка доказать невозможность квадратуры круга была дана Джеймсом Грегори в книге Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura («Истинное квадратура круга и гиперболы») в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, оно было первая статья, в которой была предпринята попытка решить проблему, используя алгебраические свойства π . Лишь в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал ее невозможность, расширив работу Чарльза Эрмита и доказав, что π — трансцендентное число . ^{[44] [45]} До работы Элкина (1965) не было доказано, что проблему Альхазена невозможно решить с помощью циркуля и линейки. ^[46]

Изучение конструктивных чисел, по сути, было инициировано Рене Декартом в «Геометрии» , приложении к его книге «Рассуждение о методе», опубликованной в 1637 году. Декарт связал числа с геометрическими отрезками прямых, чтобы продемонстрировать силу своего философского метода путем решения древняя задача по построению линейки и циркуля, выдвинутая Паппом . ^[47]

Смотрите также

• Вычислимое число
• Определяемое действительное число

Примечания

1. Казаринов (2003, стр. 10 и 15); Мартин (1998), следствие 2.16, с. 41.
2. Мартин (1998), стр. 31–32.
3. Курант и Роббинс (1996), Раздел III.2.2, «Все конструктивные числа алгебраические», стр. 133–134.
4. Казаринов (2003), с. 46.
5. Казаринов (2003), с. 10.
6. Мартин (1998), Определение 2.1, стр. 30–31.
7. Эта конструкция средней точки приведена в книге I, предложении 10 « Элементов » Евклида .
8. Казаринов (2003), с. 18.
9. Херштейн (1986, стр. 237). Чтобы использовать определение на основе длины, необходимо включить число ноль как конструктивное число, как особый случай.
10. Мойз (1974), с. 227; Мартин (1998), теорема 2.4, с. 33.
11. Мартин (1998), стр. 36–37.
12. Роман (1995), с. 207.
13. Lawrence & Zorzitto (2021), стр. 2021. 440.
14. Формулу сложения и умножения см. Кей (2021), теорема 8.1.10, с. 187. Формулу деления см. в Kay (2021), уравнения 8.8, с. 188 и 9.2, с. 224. Разложение квадратного корня можно получить из тригонометрической формулы половинного угла ; см. эквивалентную формулу в Lawrence & Zorzitto (2021), стр. 440.
15. Херштейн (1986, стр. 236–237); Мойзе (1974, стр. 224); Фрели (1994, стр. 426–427); Курант и Роббинс (1996, раздел III.1.1, «Построение полей и извлечение квадратного корня», стр. 120–122).
16. Мартин (1998, стр. 38–39); Курант и Роббинс (1996, стр. 131–132).
17. Мартин (1998), Теорема 2.7, с. 35.
18. Фрэли (1994), с. 429.
19. Роман (1995), с. 59.
20. Нейман (1998).
21. Ротман (2006), с. 361.
22. Ротман (2006), с. 362.
23. Мартин (1998), Теорема 2.10, с. 37.
24. Мартин (1998), с. 46.
25. Стюарт (1989), с. 51.
26. Кляйн (1897), с. 3.
27. Описание этих альтернативных решений составляет большую часть содержания Кнорра (1986).
28. Кляйн (1897, стр. 13); Фрели (1994, стр. 429–430)
29. Courant & Robbins (1996), Раздел III.3.1, «Удвоение куба», стр. 134–135.
30. Фрэли (1994, стр. 429–430); Курант и Роббинс (1996, раздел III.3.3, «Трисектирование угла», стр. 137–138)
31. Фрели (1994), стр. 429–430.
32. Фрэли (1994), с. 504.
33. Курант и Роббинс (1996), Раздел III.3.4 «Правильный семиугольник», стр. 138–139.
34. Нейман (1998). Элкин (1965) приходит к такому же выводу, используя другие точки и другой полином.
35. Плутарх, Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef.
36. Казаринов (2003), с. 28.
37. Кнорр (1986), с. 4.
38. Кнорр (1986), стр. 15–17.
39. Фридман (2018), стр. 1–3.
40. Казаринов (2003), с. 29.
41. Кляйн (1897), с. 16.
42. Казаринов (2003), с. 30.
43. Ванцель (1837).
44. Мартин (1998), с. 44.
45. Кляйн (1897), Глава IV: Трансцендентность числа π , стр. 68–77..
46. Элкин (1965); см. также Neumann (1998) для независимого решения с более подробной историей проблемы.
47. Бойер (2004), стр. 83–88.

Рекомендации

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN 978-0-486-43832-0, МР  2108489
• Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), «Глава III: Геометрические конструкции, алгебра числовых полей», Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 117–164, ISBN. 0-19-510519-2
• Элкин, Джек М. (март 1965 г.), «Обманчиво простая задача», Учитель математики , 58 (3): 194–199, doi : 10.5951/MT.58.3.0194, JSTOR  27968003
• Фрэли, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-201-53467-2, МР  0225619
• Фридман, Майкл (2018), История складывания в математике: математизация полей , Science Networks. Исторические исследования, том. 59, Биркхойзер, номер домена : 10.1007/978-3-319-72487-4, ISBN 978-3-319-72486-7, МР  3793627
• Херштейн, Индиана (1986), Абстрактная алгебра , Macmillan, ISBN 0-02-353820-1, МР  1011035
• Кей, Энтони (2021), Числовые системы: путь к строгой математике , Тейлор и Фрэнсис, ISBN 978-0-367-18065-2
• Казаринов, Николас Д. (2003) [1970], Линейка и круг: классические проблемы геометрических построений , Дувр, ISBN 0-486-42515-0, МР  1963960
• Кляйн, Феликс (1897), «Знаменитые проблемы элементарной геометрии», перевод Бемана, Вустера Вудраффа; Смит, Дэвид Юджин, Джинн и Ко
• Норр, Уилбур Ричард (1986), Древняя традиция решения геометрических задач , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-67532-9, МР  0884893
• Лоуренс, Джон В.; Зорзитто, Фрэнк А. (2021), Абстрактная алгебра: всестороннее введение , Кембриджские математические учебники, Cambridge University Press, ISBN 978-1-108-86551-7
• Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические конструкции , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, номер документа : 10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN 0-387-98276-0, МР  1483895
• Мойс, Эдвин Э. (1974), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 0-201-04793-4, МР  0344984
• Нойманн, Питер М. (1998), «Размышления об отражении в сферическом зеркале», American Mathematical Monthly , 105 (6): 523–528, doi : 10.2307/2589403, JSTOR  2589403, MR  1626185
• Роман, Стивен (1995), Теория поля , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94408-1, МР  1329733
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл, ISBN 978-0-13-186267-8
• Стюарт, Ян (1989), Теория Галуа (2-е изд.), Чепмен и Холл, ISBN 978-0-412-34550-0, МР  1036521
• Ванцель, PL (1837), «Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se resoudre avec la règle et le compas», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 (2): 366–372

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Конструируемое число», MathWorld.
• Конструируемые числа в разделе «Разруби узел»