Полная кривизна

Эта кривая имеет общую кривизну 6 π и индекс/число поворота 3, хотя число витков вокруг p у нее только 2 .

При математическом изучении дифференциальной геометрии кривых полная кривизна погруженной плоской кривой представляет собой интеграл кривизны вдоль кривой , взятый по длине дуги :

${\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds=2\pi N.}$

Общая кривизна замкнутой кривой всегда является целым числом, кратным 2 π , где N называется индексом кривой или числом поворота - это число витков единичного касательного вектора вокруг начала координат или, что то же самое, степень отображения. единичному кругу , присваивающему каждой точке кривой единичный вектор скорости в этой точке. Эта карта аналогична карте Гаусса для поверхностей.

Сравнение с поверхностями

Эта связь между локальным геометрическим инвариантом, кривизной, и глобальным топологическим инвариантом , индексом, характерна для результатов в многомерной римановой геометрии , таких как теорема Гаусса-Бонне .

Инвариантность

Согласно теореме Уитни-Граустейна , полная кривизна инвариантна относительно регулярной гомотопии кривой: это степень отображения Гаусса . Однако он не инвариантен относительно гомотопии: прохождение через излом (касп) меняет число поворотов на 1.

Напротив, число витков вокруг точки инвариантно относительно гомотопий, которые не проходят через точку, и изменяется на 1, если гомотопия проходит через точку.

Обобщения

Замкнутая ломаная цепь с полной кривизной 2 π .

Конечным обобщением является то, что внешние углы треугольника или, в более общем смысле, любого простого многоугольника , в сумме составляют 360 ° = 2 π радиан, что соответствует числу поворотов, равному 1. В более общем смысле, многоугольные цепи , которые не возвращаются к себе ( нет углов 180°) имеют четко выраженную общую кривизну, что интерпретирует кривизну как точечные массы под углами.

Полная абсолютная кривизна кривой определяется почти так же, как и полная кривизна, но с использованием абсолютного значения кривизны вместо знаковой кривизны. Оно составляет 2 π для выпуклых кривых на плоскости и больше для невыпуклых кривых. ^[1] Его также можно обобщить на кривые в пространствах более высоких размерностей, выровняв касательную, которую можно развернуть к γ , в плоскость и вычислив полную кривизну полученной кривой. То есть полная кривизна кривой в n -мерном пространстве равна

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left|\gamma ''(s)\right|\operatorname {sgn} \kappa _{n-1}(s)\,ds}$

где κ _{n −1} — последняя кривизна Френе ( кручение кривой), а Signum — сигнум-функция .

Минимальная общая абсолютная кривизна любой трехмерной кривой, представляющей данный узел , является инвариантом узла. Этот инвариант имеет значение 2 π для узла, но по теореме Фари–Милнора оно составляет не менее 4 π для любого другого узла. ^[2]

Рекомендации

1. Чен, Банг-Йен (2000), «Римановы подмногообразия», Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. I , Северная Голландия, Амстердам, стр. 187–418, номер документа : 10.1016/S1874-5741(00)80006-0, MR  1736854.. См., в частности, раздел 21.1 «Индекс вращения и общая кривизна кривой», стр. 359–360.
2. Милнор, Джон В. (1950), «О полной кривизне узлов», Анналы математики , вторая серия, 52 (2): 248–257, doi : 10.2307/1969467, JSTOR  1969467

дальнейшее чтение

• Кунель, Вольфганг (2005), Дифференциальная геометрия: кривые - поверхности - многообразия (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3988-1(перевод Брюса Ханта)
• Салливан, Джон М. (2008), «Кривые конечной полной кривизны», Дискретная дифференциальная геометрия , Oberwolfach Semin., vol. 38, Биркхойзер, Базель, стр. 137–161, arXiv : math/0606007 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_7, MR  2405664, S2CID  117955587