Гомоморфизм Черна–Вейля

В математике гомоморфизм Черна –Вейля является базовой конструкцией в теории Черна–Вейля , которая вычисляет топологические инварианты векторных расслоений и главных расслоений на гладком многообразии M в терминах связностей и кривизны , представляющих классы в кольцах когомологий де Рама M. То есть теория образует мост между областями алгебраической топологии и дифференциальной геометрии . Он был разработан в конце 1940-х годов Шиинг-Шеном Черном и Андре Вейлем после доказательства обобщенной теоремы Гаусса-Бонне . Эта теория явилась важным шагом в теории характеристических классов .

Пусть G — действительная или комплексная группа Ли с алгеброй Ли , и пусть обозначает алгебру -значных многочленов на (точно то же самое рассуждение работает, если мы использовали вместо ). Пусть – подалгебра неподвижных точек в относительно присоединенного действия G ; то есть подалгебра, состоящая из всех полиномов f таких , что для всех g в G и x в , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для главного G-расслоения P на M существует ассоциированный гомоморфизм -алгебр : ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$,

называется гомоморфизмом Черна–Вейля , где на правых когомологиях находятся когомологии де Рама . Этот гомоморфизм получается взятием инвариантных полиномов кривизны любой связности данного расслоения. Если G компактна или полупроста, то кольцо когомологий классифицирующего пространства для G -расслоений изоморфно алгебре инвариантных полиномов: ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$

${\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.}$

(Кольцо когомологий BG все еще может быть задано в смысле де Рама:

${\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}$

когда и являются многообразиями.) ${\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}$ ${\displaystyle B_{j}G}$

Определение гомоморфизма

Выберите любую форму связности ω в P , и пусть Ω — соответствующая форма кривизны ; т. е . внешняя ковариантная производная ω. If — однородная полиномиальная функция степени  k ; т. е. для любых комплексных чисел a и x в , то, рассматривая f как симметричный полилинейный функционал на (см. кольцо полиномиальных функций ), пусть ${\displaystyle \Omega =D\omega }$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ ${\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle f(\Omega )}$

— (скалярная) 2 k -форма на P , заданная формулой

${\displaystyle f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))}$

где vi — касательные векторы к P , — знак перестановки в симметричной группе на 2 k числах (см. формы #Operations со значениями алгебры Ли, _а также Pfaffian ). ${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}$

Если, кроме того, f инвариантно; т. е. , то можно показать, что это замкнутая форма , она сводится к единственной форме на M и что класс когомологий де Рама формы не зависит от . Во-первых, это замкнутая форма следует из следующих двух лемм: ^[1] ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Лемма 1: Форма на P спускается к (уникальной) форме на M ; т. е. существует форма на M , которая возвращается к . ${\displaystyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Лемма 2: Если форма на P спускается к форме на M , то . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi =D\varphi }$

Действительно, второе тождество Бьянки говорит , что, поскольку D является градуированным выводом, Наконец, лемма 1 говорит, что удовлетворяет условию леммы 2. ${\displaystyle D\Omega =0}$ ${\displaystyle Df(\Omega )=0.}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Чтобы понять лемму 2, пусть – проекция, а h – проекция на горизонтальное подпространство. Тогда лемма 2 является следствием того, что (ядро есть в точности вертикальное подпространство.) Что касается леммы 1, сначала заметим ${\displaystyle \pi \colon P\to M}$ ${\displaystyle T_{u}P}$ ${\displaystyle d\pi (hv)=d\pi (v)}$ ${\displaystyle d\pi }$

${\displaystyle f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;}$

это потому, что и f инвариантен. Таким образом, можно определить по формуле: ${\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega }$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$

${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),}$

где находятся подъемники : . ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {v_{i}}}}$ ${\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}$

Далее мы покажем, что класс когомологий де Рама на M не зависит от выбора связности. ^[2] Пусть – произвольные формы связности на P , и пусть – проекция. Помещать ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$ ${\displaystyle p\colon P\times \mathbb {R} \to P}$

${\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}$

где t — гладкая функция, заданная формулой . Пусть – формы кривизны . Пусть это будут включения. Тогда гомотопно . Таким образом, и принадлежат одному и тому же классу когомологий де Рама в силу гомотопической инвариантности когомологий де Рама . Наконец, по естественности и единственности происхождения, ${\displaystyle P\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,s)\mapsto s}$ ${\displaystyle \Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega ',\omega _{0},\omega _{1}}$ ${\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$ ${\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$

${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}$

и то же самое для . Следовательно, принадлежат одному классу когомологий. ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})}$

Таким образом, конструкция дает линейное отображение: (см. лемму 1)

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[{\overline {f}}(\Omega )\right].}$

Фактически, можно проверить, что полученная таким образом карта:

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$

является гомоморфизмом алгебры .

Пример: классы Черна и персонаж Черна.

Пусть и ее алгебра Ли. Для каждого x в мы можем рассмотреть его характеристический полином по t : ^[3] ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}$

где я — квадратный корень из -1. Тогда являются инвариантными полиномами от , поскольку левая часть уравнения равна. k -й класс Чженя гладкого комплексно-векторного расслоения E ранга n на многообразии M : ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}$

задается как образ при гомоморфизме Черна–Вейля, определяемом E (точнее, расслоение реперов E ). Если t = 1, то – инвариантный полином. Полный класс Чженя E является образом этого многочлена ; то есть, ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}$

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}$

Непосредственно из определения можно показать, что и c, приведенные выше, удовлетворяют аксиомам классов Чженя. Например, для формулы суммы Уитни мы рассматриваем ${\displaystyle c_{j}}$

${\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Omega /2\pi i}\right)],}$

где мы написали 2-форму кривизны на M векторного расслоения E (так что она является потомком формы кривизны на расслоении реперов E ). Гомоморфизм Черна – Вейля будет таким же, если использовать это . Теперь предположим, что E является прямой суммой векторных расслоений и формы кривизны, так что в матричном термине это блочная диагональная матрица с Ω _I на диагонали. Тогда, поскольку имеем : ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \Omega _{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}$

${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})}$

где справа умножение — это умножение кольца когомологий: произведение чашки . Для свойства нормализации вычисляется первый класс Чженя комплексной проективной прямой ; см. класс Черна # Пример: комплексное касательное расслоение сферы Римана .

Поскольку , ^[4] также имеем: ${\displaystyle \Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}}$

${\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').}$

Наконец, характер Черна E определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}$

где – форма кривизны некоторой связности на E (поскольку она нильпотентна, она является полиномом от .) Тогда ch – кольцевой гомоморфизм : ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).}$

Теперь предположим, что в некотором кольце R , содержащем кольцо когомологий , существует факторизация многочлена по t : ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}$

где находятся в R (их иногда называют корнями Чженя.) Тогда . ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}}$

Пример: классы Понтрягина

Если E — гладкое вещественное векторное расслоение на многообразии M , то k -й класс Понтрягина E задается как:

${\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}$

где мы писали для комплексификации E . Эквивалентно, это образ при гомоморфизме Черна – Вейля инвариантного полинома на, заданном формулой: ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g_{2k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}$

Гомоморфизм голоморфных векторных расслоений

Пусть E — голоморфное (комплексное) векторное расслоение на комплексном многообразии M . Форма кривизны E относительно некоторой эрмитовой метрики не является просто 2-формой, но фактически является (1, 1)-формой (см. голоморфное векторное расслоение#Эрмитовы метрики на голоморфном векторном расслоении ). Следовательно, гомоморфизм Черна–Вейля принимает вид: при , ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega )].}$

Примечания

1. Кобаяши и Номидзу 1969, гл. XII.
2. Аргументы в пользу независимости выбора соединения здесь взяты из: Ахил Мэтью, Заметки об исчезновении Кодайры, «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 декабря 2014 г. Проверено 11 декабря 2014 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link). Кобаяси-Номидзу, главный источник, приводит более конкретные аргументы.
3. Редакционное примечание: это определение соответствует ссылке, за исключением того, что у нас есть t , который там равен t ^-1 . Наш выбор кажется более стандартным и соответствует нашей статье « Класс Черна ».
4. Доказательство: По определению, . Теперь вычислите квадрат, используя правило Лейбница. ${\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}(s\otimes s')=\nabla ^{E}s\otimes s'+s\otimes \nabla ^{E'}s'}$ ${\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}}$

Рекомендации

• Ботт, Рауль (1973), «О гомоморфизме Черна – Вейля и непрерывных когомологиях групп Ли», Успехи в математике , 11 (3): 289–303, doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1.
• Черн, Шиинг-Шен (1951), Темы дифференциальной геометрии , Институт перспективных исследований, конспекты лекций, отпечатанные на мимеографе..
• Черн, Шиинг-Шен (1995), Комплексные многообразия без теории потенциала , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0 . (Приложение к этой книге «Геометрия характеристических классов» представляет собой очень аккуратное и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.) 
• Черн, Шиинг-Шен ; Саймонс, Джеймс (1974), «Характеристические формы и геометрические инварианты», Annals of Mathematics , Second Series, 99 (1): 48–69, doi : 10.2307/1971013, JSTOR  1971013.
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии , том. 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 2004 г.), MR  0152974..
• Нарасимхан, MS ; Раманан, С. (1961), «Существование универсальных связей» (PDF) , American Journal of Mathematics , 83 (3): 563–572, doi : 10.2307/2372896, hdl : 10338.dmlcz/700905 , JSTOR  2372896, MR  0133772.
• Морита, Сигэюки (2000), «Геометрия дифференциальных форм», Переводы математических монографий , 201 , MR  1851352.

дальнейшее чтение

• Фрид, Дэниел С .; Хопкинс, Майкл Дж. (2013). «Формы Черна-Вейля и абстрактная теория гомотопий». Бюллетень Американского математического общества . (НС). 50 (3): 431–468. arXiv : 1301.5959 . дои : 10.1090/S0273-0979-2013-01415-0. МР  3049871. S2CID  51755613.