Модель полуплоскости Пуанкаре

Модель верхней полуплоскости гиперболической неевклидовой геометрии

Параллельные лучи в модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии

В неевклидовой геометрии модель полуплоскости Пуанкаре представляет собой верхнюю полуплоскость , обозначенную ниже как H , вместе с метрикой , метрикой Пуанкаре , что делает ее моделью двумерной гиперболической геометрии . ${\displaystyle =\{\langle x,y\rangle \mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$

Аналогичным образом, модель полуплоскости Пуанкаре иногда описывается как комплексная плоскость , в которой мнимая часть ( упомянутая выше координата y ) положительна.

Модель полуплоскости Пуанкаре названа в честь Анри Пуанкаре , но она возникла благодаря Эудженио Бельтрами , который использовал ее вместе с моделью Клейна и моделью диска Пуанкаре , чтобы показать, что гиперболическая геометрия эквисовместима с евклидовой геометрией .

Эта модель является конформной , что означает, что углы, измеренные в точке, в модели такие же, как и в реальной гиперболической плоскости.

Преобразование Кэли обеспечивает изометрию между моделью полуплоскости и моделью диска Пуанкаре.

Эту модель можно обобщить для моделирования размерного гиперболического пространства , заменив действительное число x вектором в n- мерном евклидовом векторном пространстве. ${\displaystyle n+1}$

Метрика

Метрика модели на полуплоскости : ${\displaystyle \{\langle x,y\rangle \mid y>0\},}$

${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}}$

где s измеряет длину вдоль (возможно, изогнутой) линии. Прямые линии в гиперболической плоскости ( геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, минимизирующие расстояние) представлены в этой модели дугами окружностей, перпендикулярными оси x (полукруги, центры которых находятся на оси x ) и прямые вертикальные лучи, перпендикулярные оси x .

Расчет расстояния

Расстояние между двумя точками в модели полуплоскости можно вычислить с точки зрения евклидовых расстояний в равнобедренной трапеции, образованной точками и их отражением через ось x : «длина стороны» s , «диагональ» d и две «высоты» h ₁ и h ₂ . Это логарифм dist( p ₁ , p ₂ ) = log ( ( s + d ) ² / час ₁ час ₂ )

Расстояние между двумя точками можно поочередно вычислить, используя отношения евклидовых расстояний к идеальным точкам на концах гиперболической линии.

Расстояние от вершины полукруга до другой точки на нем есть обратная функция Гудермана центрального угла.

Если и являются двумя точками в полуплоскости и являются отражением оси x в нижнюю полуплоскость, расстояние между двумя точками в метрике гиперболической плоскости равно: ${\textstyle p_{1}=\langle x_{1},y_{1}\rangle }$ ${\textstyle p_{2}=\langle x_{2},y_{2}\rangle }$ ${\textstyle y>0}$ ${\textstyle {\tilde {p}}_{1}=\langle x_{1},-y_{1}\rangle }$ ${\textstyle p_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dist} (p_{1},p_{2})&=2\operatorname {arsinh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}}\\[10mu]&=2\operatorname {artanh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}}\\[10mu]&=2\ln {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|+\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}},\end{aligned}}}$$

где – евклидово расстояние между точками , – обратный гиперболический синус , – обратный гиперболический тангенс . Эту формулу можно рассматривать как полученную из длины хорды в метрике Минковского между точками в модели гиперболоида , аналогично нахождению длины дуги на сфере через длину хорды. Эту формулу можно рассматривать как полученную из евклидова расстояния в модели диска Пуанкаре с одной точкой в ​​начале координат, что аналогично нахождению длины дуги на сфере путем взятия стереографической проекции с центром в одной точке и измерения евклидова расстояния в плоскости от начала координат. в другую точку. ${\textstyle \|p_{2}-p_{1}\|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$ ${\textstyle p_{1}}$ ${\textstyle p_{2},}$ ${\textstyle \operatorname {arsinh} x=\ln {\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}+1}}{\bigr )}}$ ${\textstyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left((1+x)/(1-x)\right)}$ ${\textstyle 2\operatorname {arsinh} }$ ${\textstyle \operatorname {chord} (p_{1},p_{2})=2\sinh {\tfrac {1}{2}}\operatorname {dist} (p_{1},p_{2}),}$ ${\textstyle 2\operatorname {artanh} }$

Если две точки и находятся на гиперболической линии (евклидов полукруг), которая пересекает ось x в идеальных точках , и расстояние от до равно: ${\textstyle p_{1}}$ ${\textstyle p_{2}}$ ${\textstyle p_{0}=\langle x_{0},0\rangle }$ ${\textstyle p_{3}=\langle x_{3},0\rangle ,}$ ${\textstyle p_{1}}$ ${\textstyle p_{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {dist} (p_{1},p_{2})=\left|\ln {\frac {\|p_{2}-p_{0}\|\|p_{1}-p_{3}\|}{\|p_{1}-p_{0}\|\|p_{2}-p_{3}\|}}\right|.}$$

См. Перекрестное соотношение .

Некоторые частные случаи можно упростить. Две точки с одинаковой координатой: ^[1] ${\textstyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left|\ln {\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right|=\left|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})\right|.}$$

Две точки с одинаковыми координатами: ${\textstyle y}$

$${\displaystyle \operatorname {dist} \left(\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle \right)=2\operatorname {arsinh} {\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}}.}$$

Одна точка на вершине полукруга и другая точка под центральным углом ${\textstyle \langle x_{1},r\rangle }$ ${\textstyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}=r^{2},}$ ${\textstyle \phi .}$

$${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},r\rangle ,\langle x_{1}\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{\bigr )}=\operatorname {gd} ^{-1}\phi ,}$$

где – обратная функция Гудермана , – обратный гиперболический тангенс . ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ ${\textstyle \operatorname {artanh} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+x}{1-x}}}$

Особые точки и кривые

• Идеальные точки (точки, находящиеся на бесконечности) в модели полуплоскости Пуанкаре бывают двух видов:

• точки на оси x , и
• одна воображаемая точка, в которой находится идеальная точка , к которой сходятся все линии , ортогональные оси x . ${\displaystyle y=\infty }$

• Прямые линии , геодезические (кратчайший путь между точками, содержащимися внутри него) моделируются либо:

• полукруги, начало координат которых находится на оси X
• прямые вертикальные лучи, ортогональные оси x

• Круг (кривые, равноудаленные от центральной точки) с центром и радиусом моделируется следующим образом: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle r}$

круг с центром и радиусом ${\displaystyle (x,y\cosh(r))}$ ${\displaystyle y\sinh(r)}$

• Гиперцикл (кривая , равноудаленная от прямой линии, ее оси) моделируется либо:

• дуга окружности, пересекающая ось x в тех же двух идеальных точках, что и полукруг, моделирующий ее ось, но под острым или тупым углом
• прямая линия, пересекающая ось X в той же точке, что и вертикальная линия, моделирующая ее ось, но под острым или тупым углом .

• Орицикл (кривая, все нормали которой асимптотически сходятся в одном направлении, ее центре) моделируется либо:

• окружность, касающаяся оси x (но исключая идеальную точку пересечения, которая является ее центром)
• линия, параллельная оси x , в данном случае центром является идеальная точка . ${\displaystyle y=\infty }$

Евклидов синопсис

Евклидов круг с центром и радиусом представляет собой: ${\displaystyle \langle x_{e},y_{e}\rangle }$ ${\displaystyle r_{e}}$

• когда круг полностью находится внутри полуплоскости, получается гиперболический круг с центром

${\displaystyle \left(x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2}}}\right)}$

и радиус

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y_{e}+r_{e}}{y_{e}-r_{e}}}\right).}$

• когда окружность полностью находится внутри полуплоскости и касается границы, орицикл с центром вокруг идеальной точки ${\displaystyle (x_{e},0)}$
• когда круг пересекает границу, ортогональную гиперболической линии ${\displaystyle (y_{e}=0)}$
• когда окружность пересекает границу, неортогональную гиперциклу.

Конструкции циркуля и линейки

Вот как можно использовать в модели конструкции циркуля и линейки, чтобы добиться эффекта основных конструкций в гиперболической плоскости . ^[2] Например, как построить полукруг в евклидовой полуплоскости, который моделирует линию на гиперболической плоскости, проходящую через две заданные точки.

Создание линии через две существующие точки

Нарисуйте отрезок между двумя точками. Постройте биссектрису отрезка прямой. Найдите его пересечение с осью x . Нарисуйте круг вокруг пересечения, проходящего через данные точки. Сотрите часть, которая находится на оси X или ниже .

Или, в особом случае, когда две заданные точки лежат на вертикальной линии, проведите эту вертикальную линию через две точки и сотрите часть, которая находится на оси x или ниже .

Создание круга через одну точку с центром в другой точке

• Если две точки не находятся на вертикальной линии:

Нарисуйте радиальную линию (полукруг) между двумя заданными точками, как и в предыдущем случае. Постройте касательную к этой линии в нецентральной точке. Опустите перпендикуляр из данной центральной точки на ось x . Найдите пересечение этих двух линий, чтобы получить центр модельного круга. Нарисуйте круг модели вокруг этого нового центра и проходящий через заданную нецентральную точку.

• Если две данные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится над другой заданной точкой:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и оси X , проходящей через данную центральную точку. Проведите горизонтальную линию через нецентральную точку. Постройте касательную к окружности в месте ее пересечения с этой горизонтальной линией.

Средняя точка между пересечением касательной с вертикальной линией и данной нецентральной точкой является центром окружности модели. Нарисуйте круг модели вокруг этого нового центра и проходящий через заданную нецентральную точку.

• Если две данные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится ниже другой данной точки:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и оси X , проходящей через данную центральную точку. Нарисуйте линию, касательную к окружности, которая проходит через данную нецентральную точку. Проведите горизонтальную линию через эту точку касания и найдите ее пересечение с вертикальной линией.

Средняя точка между этим пересечением и данной нецентральной точкой является центром модельного круга. Нарисуйте круг модели вокруг этого нового центра и проходящий через заданную нецентральную точку.

Дан круг, найдите его (гиперболический) центр.

Опустите перпендикуляр p из евклидова центра окружности на ось x .

Пусть точка q будет пересечением этой прямой и оси x .

Нарисуйте линию, касательную к окружности, проходящей через точку q .

Нарисуйте полукруг h с центром q , проходящим через точку пересечения касательной и окружности.

(Гиперболический) центр — это точка пересечения h и p . ^[3]

Другие конструкции

• Создание точки, которая является пересечением двух существующих линий, если они пересекаются:

Найдите пересечение двух данных полукругов (или вертикальных линий).

• Создание одной или двух точек на пересечении линии и круга (если они пересекаются):

Найдите пересечение данного полукруга (или вертикальной линии) с данным кругом.

• Создание одной или двух точек пересечения двух окружностей (если они пересекаются):

Найдите пересечение двух данных окружностей.

Группы симметрии

Звездчатая правильная семиугольная мозаика модели

Проективная линейная группа PGL(2, C ) действует на сфере Римана преобразованиями Мёбиуса . Подгруппой, которая отображает верхнюю полуплоскость H на себя, является PSL(2, R ), преобразования с вещественными коэффициентами, которые действуют транзитивно и изометрически на верхнюю полуплоскость, делая ее однородным пространством .

Существуют четыре тесно связанные группы Ли , которые действуют в верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями и сохраняют гиперболическое расстояние.

• Специальная линейная группа SL(2, R ) , состоящая из набора матриц 2×2 с вещественными элементами, определитель которых равен +1. Обратите внимание, что во многих текстах (включая Википедию) часто говорится SL(2, R ), хотя на самом деле они означают PSL(2, R ).
• Группа S*L(2, R ), состоящая из набора матриц 2×2 с вещественными элементами, определитель которых равен +1 или −1. Обратите внимание, что SL(2, R ) является подгруппой этой группы.
• Проективная специальная линейная группа PSL(2, R ) = SL(2, R )/{± I }, состоящая из матриц из SL(2, R ) по модулю плюс или минус единичная матрица.
• Группа PS ^* L(2, R ) = S ^* L(2, R )/{± I }=PGL(2, R ) снова является проективной группой, и снова по модулю плюс или минус единичная матрица. PSL(2, R ) содержится как нормальная подгруппа индекса два, а другой смежный класс представляет собой набор матриц 2 × 2 с действительными элементами, определитель которых равен -1 по модулю плюс или минус единица.

Связь этих групп с моделью Пуанкаре следующая:

• Группа всех изометрий H , иногда обозначаемая как Isom( H ), изоморфна PS ^* L(2, R ) . Сюда входят как изометрии, сохраняющие ориентацию, так и изометрии, меняющие ориентацию. Карта изменения ориентации (зеркальная карта) — это . ${\displaystyle z\rightarrow -{\overline {z}}}$
• Группа сохраняющих ориентацию изометрий H , иногда обозначаемая как Isom ⁺ ( H ), изоморфна PSL(2, R ).

Важными подгруппами группы изометрий являются фуксовы группы .

Также часто можно встретить модулярную группу SL(2, Z ). Эта группа важна в двух отношениях. Во-первых, это группа симметрии квадратной решетки точек 2х2. Таким образом, функции, которые являются периодическими на квадратной сетке, такие как модулярные формы и эллиптические функции , унаследуют симметрию SL (2, Z ) от сетки. Во-вторых, SL(2, Z ), конечно, является подгруппой SL(2, R ) и, таким образом, имеет встроенное в нее гиперболическое поведение. В частности, SL(2, Z ) можно использовать для разбиения гиперболической плоскости на ячейки равной площади (Пуанкаре).

Изометрическая симметрия

Групповое действие проективной специальной линейной группы на определяется формулой ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z)}{|cz+d|^{2}}}.}$

Заметим, что действие транзитивно : для любого существует такое, что . Это также верно в том смысле, что если для всех , то g = e . ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle gz_{1}=z_{2}}$ ${\displaystyle gz=z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} ,}$

Подгруппа стабилизатора или изотропии элемента — это набор, который оставляет z неизменным: gz = z . Стабилизатор i - это группа вращения ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\rm {SO}}(2)=\left.\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}.}$

Поскольку любой элемент отображается в i некоторым элементом из , это означает, что подгруппа изотропии любого z изоморфна SO (2). Таким образом, . Альтернативно, расслоение касательных векторов единичной длины на верхней полуплоскости, называемое единичным касательным расслоением , изоморфно . ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ={\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )/{\rm {SO}}(2)}$ ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$

Верхняя полуплоскость разбивается на свободные регулярные множества модульной группой ${\displaystyle {\rm {SL}}(2,\mathbb {Z} ).}$

Геодезика

Геодезическими для этого метрического тензора являются дуги окружностей, перпендикулярные действительной оси (полукруги, начало которых находится на действительной оси) и прямые вертикальные линии, заканчивающиеся на действительной оси.

Геодезическая с единичной скоростью, идущая вертикально через точку i , определяется выражением

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i=ie^{t}.}$

Поскольку PSL(2, R ) действует транзитивно через изометрии верхней полуплоскости, эта геодезическая отображается в другие геодезические посредством действия PSL(2, R ). Таким образом, общая геодезическая с единичной скоростью определяется выражением

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}.}$

Это дает базовое описание геодезического потока на касательном расслоении единичной длины (комплексном линейном расслоении ) в верхней полуплоскости. Начиная с этой модели, можно получить течение на произвольных римановых поверхностях , как описано в статье о потоке Аносова .

Модель в трех измерениях

Метрика модели в полупространстве имеет вид ${\textstyle \{\langle x,y,z\rangle \mid z>0\}}$

$${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,}$$

где s измеряет длину вдоль возможно изогнутой линии. Прямые линии в гиперболическом пространстве ( геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, минимизирующие расстояние) представлены в этой модели дугами окружностей, нормальными к плоскости z = 0 (полукруги, начало которых находится в точке z = 0 -). плоскости) и прямые вертикальные лучи, нормальные к плоскости z = 0 .

Расстояние между двумя точками , измеренное в этой метрике вдоль такой геодезической, равно : ${\textstyle p_{1}=\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle }$ ${\textstyle p_{2}=\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle }$

$${\displaystyle \operatorname {dist} (p_{1},p_{2})=2\operatorname {arsinh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}}}}.}$$

Модель в n измерениях

Эту модель можно обобщить для моделирования размерного гиперболического пространства , заменив действительное число x вектором в n- мерном евклидовом векторном пространстве. ${\displaystyle n+1}$

Смотрите также

• Угол параллельности
• Аносовский поток
• Фуксова группа
• Фуксова модель
• Гиперболическое движение
• Кляйнианская модель
• Модели гиперболической плоскости
• Псевдосфера
• Теорема Шварца–Альфорса–Пика
• Ультрапараллельная теорема

Рекомендации

Примечания

1. «Формула расстояния для точек в модели полуплоскости Пуанкаре на «вертикальной геодезической»». математический стек обмена. 6 августа 2015 г. Проверено 19 сентября 2015 г.
2. Бочака, Юдит Абардиа. «Инструменты для работы с моделью полуплоскости». Инструменты для работы с режимом Half-Plane . Проверено 25 июня 2015 г.
3. Ароматы геометрии, Публикации MSRI, Том 31, 1997, Гиперболическая геометрия, Дж. В. Кэннон, У. Дж. Флойд, Р. Кеньон и В. Р. Парри, стр. 87, рисунок 19. Построение гиперболического центра круга

Источники

• Эудженио Бельтрами , Teoria Fondamentale Degli Spazi di Curvatura Constante , Annali di Matematica Pura ed Applicata , сер. II (1868), 232–255
• Анри Пуанкаре (1882) «Теория групп Fuchsiens», Acta Mathematica v.1, стр. 1. Первая статья из серии, посвященной модели полуплоскости. Архивная копия находится в свободном доступе. На странице 52 можно увидеть пример характерных для модели полукруговых диаграмм.
• Гершель М. Фаркас и Ирвин Кра , Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-90465-4 . 
• Юрген Йост , Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 3-540-43299-X (см. раздел 2.3) . 
• Сол Шталь, Полуплоскость Пуанкаре , Джонс и Бартлетт, 1993, ISBN 0-86720-298-X . 
• Джон Стиллвелл (1998) Числа и геометрия , стр. 100–104, Springer-Verlag, ISBN штата Нью-Йорк 0-387-98289-2 . Элементарное введение в полуплоскую модель Пуанкаре гиперболической плоскости.