Идеальная точка

Точка на бесконечности в гиперболической геометрии

Три идеальных треугольника в модели диска Пуанкаре ; вершины — идеальные точки

В гиперболической геометрии идеальная точка , омега-точка ^[1] или точка на бесконечности — это четко определенная точка вне гиперболической плоскости или пространства. Для данной прямой l и точки P, не лежащей на l , правые и левые ограничивающие параллели к l, проходящие через P, сходятся к l в идеальных точках .

В отличие от проективного случая, идеальные точки образуют границу , а не подмногообразие. Таким образом, эти линии не пересекаются в идеальной точке, и такие точки, хотя и хорошо определены, не принадлежат самому гиперболическому пространству.

Идеальные точки вместе образуют абсолют Кэли или границу гиперболической геометрии . Например, единичная окружность образует абсолют Кэли модели диска Пуанкаре и модели диска Клейна . Действительная прямая образует абсолют Кэли модели полуплоскости Пуанкаре . ^[2]

Аксиома Паша и теорема о внешнем угле по-прежнему справедливы для омега-треугольника, определяемого двумя точками в гиперболическом пространстве и омега-точкой. ^[3]

Характеристики

• Гиперболическое расстояние между идеальной точкой и любой другой точкой или идеальной точкой бесконечно.
• Центры орициклов и оришаров являются идеальными точками; два орицикла концентричны , если они имеют один и тот же центр.

Многоугольники с идеальными вершинами

Идеальные треугольники

если все вершины треугольника являются идеальными точками, то треугольник является идеальным треугольником .

Некоторые свойства идеальных треугольников включают в себя:

• Все идеальные треугольники равны.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой идеальный треугольник имеет площадь , где K — это (всегда отрицательная) кривизна плоскости. ^[4] ${\displaystyle -\pi /K}$

Идеальные четырехугольники

если все вершины четырехугольника являются идеальными точками, то четырехугольник является идеальным четырехугольником.

Хотя все идеальные треугольники конгруэнтны, не все выпуклые идеальные четырехугольники конгруэнтны. Они могут отличаться друг от друга, например, углом, под которым их две диагонали пересекаются. Тем не менее, все выпуклые идеальные четырехугольники имеют некоторые общие свойства:

• Все внутренние углы выпуклого идеального четырехугольника равны нулю.
• Любой выпуклый идеальный четырехугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой выпуклый идеальный четырехугольник имеет площадь , где K — (всегда отрицательная) кривизна плоскости. ${\displaystyle -2\pi /K}$

Идеальный квадрат

Идеальный четырехугольник, в котором две диагонали перпендикулярны друг другу, образует идеальный квадрат.

Его использовал Фердинанд Карл Швейкарт в своем меморандуме о том, что он называл «астральной геометрией», одной из первых публикаций, признающих возможность гиперболической геометрии . ^[5]

Идеалн-гоны

Идеальный n -угольник можно разбить на ( n − 2) идеальных треугольников, площадь которых в ( n − 2) раз больше площади идеального треугольника.

Представления в моделях гиперболической геометрии

В модели диска Клейна и модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости идеальные точки находятся на единичной окружности (гиперболическая плоскость) или единичной сфере (более высокие размерности), которая является недостижимой границей гиперболической плоскости.

При проецировании одной и той же гиперболической прямой на модель диска Клейна и модель диска Пуанкаре обе прямые проходят через одни и те же две идеальные точки (идеальные точки в обеих моделях находятся в одном и том же месте).

Модель диска Клейна

Если заданы две различные точки p и q в открытом единичном круге, то единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках a и b , помеченных так, что точки имеют следующий порядок: a , p , q , b, так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается как

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Модель диска Пуанкаре

Если даны две различные точки p и q в открытом единичном круге, то единственная дуга окружности , ортогональная границе, соединяющей их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках a и b , помеченных так, что точки имеют следующий порядок: a , p , q , b, так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается как

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Где расстояния измеряются вдоль отрезков (прямой линии) aq, ap, pb и qb.

Модель полуплоскости Пуанкаре

В модели полуплоскости Пуанкаре идеальными точками являются точки на граничной оси. Существует также еще одна идеальная точка, которая не представлена ​​в модели полуплоскости (но лучи, параллельные положительной оси y, приближаются к ней).

Модель гиперболоида

В модели гиперболоида идеальных точек нет.

Смотрите также

• Идеальный треугольник
• Идеальный многогранник
• Точки, удалённые на бесконечность, для использования в других геометриях.

Ссылки

1. Сибли, Томас К. (1998). Геометрическая точка зрения: обзор геометрий. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. стр. 109. ISBN 0-201-87450-4.
2. Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), «Неевклидовы геометрии: подход Кэли-Клейна», Журнал геометрии , 89 (1): 151–170, doi :10.1007/s00022-010-0053-z, ISSN  0047-2468, MR  2739193
3. Хвидстен, Майкл (2005). Геометрия с Geometry Explorer . Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 276–283. ISBN 0-07-312990-9.
4. Терстон, Дилан (осень 2012 г.). "274 Curves on Surfaces, Lecture 5" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 января 2022 г. . Получено 23 июля 2013 г. .
5. Бонола, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Несокращенное и неизмененное переиздание 1-го английского перевода 1912 г. ред.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер. стр. 75–77. ISBN 0486600270.