В гиперболической геометрии орисфера (или парасфера ) — это специфическая гиперповерхность в гиперболическом n -пространстве . Это граница орисфера , предела последовательности увеличивающихся шаров, разделяющих (с одной стороны) касательную гиперплоскость и ее точку касания. Для n = 2 орисфера называется орисциклом .
Орисферу также можно описать как предел гиперсфер, которые разделяют касательную гиперплоскость в данной точке, поскольку их радиусы стремятся к бесконечности. В евклидовой геометрии такая «гиперсфера бесконечного радиуса» была бы гиперплоскостью, но в гиперболической геометрии это орисфера (искривленная поверхность).
Концепция берет свое начало в понятии, высказанном Ф. Л. Вахтером в 1816 году в письме к своему учителю Гауссу . Отметив, что в евклидовой геометрии пределом сферы при стремлении ее радиуса к бесконечности является плоскость, Вахтер утверждал, что даже если бы пятый постулат был ложным, на поверхности все равно существовала бы геометрия, идентичная геометрии обычной плоскости. [1] Термины орисфера и орисцикл принадлежат Лобачевскому , который установил различные результаты, показывающие, что геометрия орисциклов и орисферы в гиперболическом пространстве эквивалентна геометрии прямых и плоскости в евклидовом пространстве. [2] Термин «орисфера» принадлежит Уильяму Терстону , который использовал его в своей работе о гиперболических 3-многообразиях . Термины орисфера и орисфера часто используются в трехмерной гиперболической геометрии.
В модели конформного шара орисфера представлена сферой, касательной к сфере горизонта. В модели верхнего полупространства орисфера может выглядеть либо как сфера, касательная к плоскости горизонта, либо как плоскость, параллельная плоскости горизонта. В модели гиперболоида орисфера представлена плоскостью, нормаль которой лежит в асимптотическом конусе.
Орисфера имеет критическую величину (изотропной) кривизны: если бы кривизна была больше, поверхность замкнулась бы, образуя сферу, а если бы кривизна была меньше, поверхность представляла бы собой ( N − 1)-мерный гиперцикл .