Единичный круг

Анимация процесса развертывания единичной окружности, круга радиусом 1. Поскольку $C = 2 πr$ , длина единичной окружности равна $2π$ .

В математике единичный круг — это круг единичного радиуса , то есть радиуса 1. ^[1] Часто, особенно в тригонометрии , единичный круг — это круг радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0) в Декартова система координат в евклидовой плоскости . В топологии ее часто обозначают как $S1,$ поскольку она представляет собой одномерную единицу $n$ -сферы . ^[2]^{[примечание 1]}

Если $(x, y)$ — точка на окружности единичного круга , то $| х |$ и $| й |$ — длины катетов прямоугольного треугольника , гипотенуза которого имеет длину 1. Таким образом , по теореме Пифагора $x$ и $y$ удовлетворяют уравнению

x^{2}+y^{2}=1.

Поскольку $x 2 = (- x) 2$ для всех $x$ и поскольку отражение любой точки единичного круга относительно оси $x$ или $y$ также находится на единичном круге, приведенное выше уравнение справедливо для всех точек $(x, y)$ на единичном круге, а не только в первом квадранте.

Внутренняя часть единичного круга называется открытым единичным диском , а внутренняя часть единичного круга, объединенная с самим единичным кругом, называется замкнутым единичным диском.

Можно также использовать другие понятия «расстояния» для определения других «единичных кругов», таких как риманов круг ; Дополнительные примеры см. в статье о математических нормах .

В сложной плоскости

В комплексной плоскости числа единичной величины называются единичными комплексными числами . Это набор комплексных чисел $z$ такой, что при разбиении на действительную и мнимую составляющие это условие имеет вид $|z|=1.$ $z=x+iy,$ $|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1.$

Комплексная единичная окружность может быть параметризована величиной угла от положительной вещественной оси с использованием комплексной экспоненциальной функции (см. формулу Эйлера ). ${\ displaystyle \ theta }$ $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta.$

При операции комплексного умножения единичные комплексные числа представляют собой группу , называемую группой круга , обычно обозначаемую . В квантовой механике единичное комплексное число называется фазовым коэффициентом . $\mathbb {T}.$

Тригонометрические функции на единичной окружности

Тригонометрические функции косинус и синус угла $θ$ могут быть определены на единичном круге следующим образом: если $(x, y)$ является точкой на единичном круге, и если луч от начала координат $(0, 0)$ до $(x, y))$ образует угол $θ$ с положительной осью $x$ (где поворот против часовой стрелки является положительным), тогда

\cos \theta =x\quad {\text{and}}\quad \sin \theta =y.

Уравнение $x 2 + y 2 = 1$ дает соотношение

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.

Единичный круг также демонстрирует, что синус и косинус являются периодическими функциями с тождествами

\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta)

\sin \theta =\sin (2\pi k+\theta)

целого числа

k

Треугольники, построенные на единичной окружности, также можно использовать для иллюстрации периодичности тригонометрических функций. Сначала постройте радиус $OP$ от начала координат $O$ до точки $P(x 1, y 1)$ на единичной окружности такой, что угол $t$ с $0 < t <.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2$ формируется положительным плечом оси $x$ . Теперь рассмотрим точку $Q(x 1,0)$ и отрезки $PQ ⊥ OQ$ . В результате получается прямоугольный треугольник $△OPQ$ с $∠QOP = t$ . Поскольку $PQ$ имеет длину $y 1$ , $OQ$ длину $x 1$ , а $OP$ имеет длину 1 как радиус единичной окружности, $sin(t) = y 1$ и $cos(t) = x 1$ . Установив эти эквивалентности, возьмем еще один радиус $OR$ от начала координат до точки $R(- x 1, y 1)$ на окружности так, чтобы тот же угол $t$ образовывался с отрицательным плечом оси $x$ . Теперь рассмотрим точку $S(- x 1,0)$ и отрезки $RS ⊥ OS$ . В результате получается прямоугольный треугольник $△ORS$ с $∠SOR = t$ . Следовательно, можно видеть, что, поскольку $∠ROQ = π - t$ , $R$ находится в точке $(cos(π - t), sin(π - t))$ точно так же, как P находится в точке $(cos(t), sin(t))$ . Вывод таков: поскольку $(- x 1, y 1)$ то же самое, что $(cos(π - t), sin(π - t))$ и $(x 1, y 1)$ то же самое, что $(cos(t) ,sin(t))$ верно, что $sin(t) = sin(π - t)$ и $-cos(t) = cos(π - t)$ . Аналогичным образом можно сделать вывод, что $tan(π - t) = -tan(t)$ , поскольку $tan(t) = у 1 / х 1$ и $tan(π - t) = у 1 / - х 1$ . Простую демонстрацию вышесказанного можно увидеть в равенстве $sin(π / 4) = грех(3π / 4 "=" 1 / \sqrt 2$ .

При работе с прямоугольными треугольниками синус, косинус и другие тригонометрические функции имеют смысл только для угловых величин больше нуля и меньше $π$ /2. Однако, если они определены с помощью единичного круга, эти функции дают значимые значения для любой действительной угловой меры – даже для тех, которые больше 2 $π$ . Фактически, все шесть стандартных тригонометрических функций — синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, а также архаичные функции, такие как версус и экссеканс , — могут быть определены геометрически в терминах единичного круга, как показано справа.

Используя единичный круг, значения любой тригонометрической функции для многих углов, отличных от отмеченных, можно легко вычислить вручную, используя формулы суммы и разности углов .

Сложная динамика

Множество Жюлиа дискретной нелинейной динамической системы с функцией эволюции :

f_{0}(x)=x^{2}

Смотрите также

Примечания