Окружность

Периметр круга или эллипса

  окружность С

  диаметр D

  радиус R

  центр или начало O

Окружность = π × диаметр = 2 π × радиус.

В геометрии окружность (от латинского circumferens , что означает «обносить») — это периметр круга или эллипса . ^[1] Окружность — это длина дуги круга, как если бы он был раскрыт и выпрямлен в отрезок прямой . [ ^{2] В более общем} смысле периметр — это длина кривой вокруг любой замкнутой фигуры. Окружность может также относиться к самому кругу, то есть к месту , соответствующему краю диска .Окружность сферы — это окружность или длина любой из еебольших окружностей.

Круг

Длина окружности — это расстояние вокруг нее, но если, как во многих элементарных трактовках, расстояние определяется в терминах прямых линий, это не может быть использовано в качестве определения. При таких обстоятельствах длина окружности может быть определена как предел периметров вписанных правильных многоугольников по мере неограниченного увеличения числа сторон. ^[3] Термин «окружность» используется при измерении физических объектов, а также при рассмотрении абстрактных геометрических форм.

Если диаметр круга равен 1, то его окружность равна ${\displaystyle \pi .}$

Когда радиус круга равен 1 (он называется единичным кругом) , его окружность равна ${\displaystyle 2\pi .}$

Отношения сπ

Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант . Эта константа , пи , представлена ​​греческой буквой Первые несколько десятичных цифр числового значения - 3,141592653589793 ... ^[4] Пи определяется как отношение длины окружности к ее диаметру ${\displaystyle \pi .}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d:}$ $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$$

Или, что то же самое, как отношение длины окружности к удвоенному радиусу . Вышеприведенную формулу можно переформулировать для решения для окружности: $${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$$

Отношение длины окружности к ее радиусу называется постоянной окружности и эквивалентно . Значение также является количеством радиан за один оборот . Использование математической константы π повсеместно в математике, технике и науке. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

В труде «Измерение окружности», написанном около 250 г. до н. э., Архимед показал, что это отношение ( поскольку он не использовал название π ) больше 3 ⁠ ${\displaystyle C/d,}$10/71⁠ но менее 3 ⁠1/7⁠ путем вычисления периметров вписанного и описанного правильного многоугольника с 96 сторонами. ^[5] Этот метод приближения числа π использовался на протяжении столетий, достигая большей точности при использовании многоугольников с большим и большим числом сторон. Последнее такое вычисление было выполнено в 1630 году Кристофом Гринбергером, который использовал многоугольники с 10 ⁴⁰ сторонами.

Эллипс

Круг и эллипсы с одинаковой окружностью

Окружность используется некоторыми авторами для обозначения периметра эллипса. Не существует общей формулы для окружности эллипса в терминах большой и малой полуосей эллипса, которая использует только элементарные функции. Однако существуют приближенные формулы в терминах этих параметров. Одно из таких приближений, полученное Эйлером (1773), для канонического эллипса, имеет вид Некоторые нижние и верхние границы окружности канонического эллипса с : ^[6] $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ $${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$ ${\displaystyle a\geq b}$ $${\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,}$$ $${\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}$$ $${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

Здесь верхняя граница — это длина описанной концентрической окружности, проходящей через концы большой оси эллипса, а нижняя граница — периметр вписанного ромба с вершинами в концах большой и малой осей. ${\displaystyle 2\pi a}$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Длина окружности эллипса может быть точно выражена через полный эллиптический интеграл второго рода . ^[7] Точнее, где — длина большой полуоси, а — эксцентриситет. $${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

Смотрите также

• Длина дуги  – расстояние вдоль кривой
• Площадь  – размер двумерной поверхности.
• Циркумгон  – геометрическая фигура, описывающая окружность.
• Изопериметрическое неравенство  – геометрическое неравенство, которое устанавливает нижнюю границу площади поверхности множества по его объему.
• Радиус, эквивалентный периметру  – радиус круга или сферы, эквивалентный некруглому или несферическому объекту.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Изопериметрическое неравенство  – геометрическое неравенство, которое устанавливает нижнюю границу площади поверхности множества по его объему.

Ссылки

1. Университет штата Сан-Диего (2004). «Периметр, площадь и окружность» (PDF) . Эддисон-Уэсли . Архивировано из оригинала (PDF) 6 октября 2014 года.
2. Беннетт, Джеффри; Бриггс, Уильям (2005), Использование и понимание математики / Количественный подход к рассуждениям (3-е изд.), Addison-Wesley, стр. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
3. Якобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., стр. 565, ISBN 0-7167-0456-0
4. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A000796". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
5. Кац, Виктор Дж. (1998), История математики / Введение (2-е изд.), Addison-Wesley Longman, стр. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
6. Jameson, GJO (2014). «Неравенства для периметра эллипса». Mathematical Gazette . 98 (499): 227–234. doi :10.2307/3621497. JSTOR  3621497. S2CID  126427943.
7. Альмквист, Герт; Берндт, Брюс (1988), «Гаусс, Ланден, Рамануджан, арифметико-геометрическое среднее, эллипсы, π и женский дневник», American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608, doi :10.2307/2323302, JSTOR  2323302, MR  0966232, S2CID  119810884

Внешние ссылки

• Numericana - Окружность эллипса