В математике, и конкретно в теории потенциала , ядро Пуассона — это интегральное ядро , используемое для решения двумерного уравнения Лапласа при заданных граничных условиях Дирихле на единичном круге . Ядро можно понимать как производную функции Грина уравнения Лапласа. Он назван в честь Симеона Пуассона .
Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и двумерных задачах электростатики . На практике определение ядер Пуассона часто распространяется на n -мерные задачи.
В комплексной плоскости ядро Пуассона для единичного круга [1] имеет вид
Это можно рассматривать двояко: либо как функцию от r и θ , либо как семейство функций от θ , индексированных r .
Если — открытый единичный диск в C , T — граница диска, а f — функция на T , лежащая в L 1 ( T ), то функция u , заданная формулой
То, что граничное значение u равно f, можно доказать, используя тот факт, что при r → 1 функции P r ( θ ) образуют приблизительную единицу в алгебре свертки L 1 ( T ). Как линейные операторы они стремятся к дельта -функции Дирака поточечно на Lp ( T ). По принципу максимума u — единственная такая гармоническая функция на D.
Свертки с этой приближенной единицей дают пример ядра суммируемости для ряда Фурье функции из L 1 ( T ) (Кацнельсон, 1976). Пусть f ∈ L 1 ( T ) имеет ряд Фурье { f k }. После преобразования Фурье свертка с P r ( θ ) превращается в умножение на последовательность { r |k| } ∈ ℓ 1 ( Z ). [ необходимо дальнейшее объяснение ] Принимая обратное преобразование Фурье полученного произведения { r |k| f k } дает средства Абеля A r f f :
Перестановка этого абсолютно сходящегося ряда показывает, что f — граничное значение g + h , где g (соответственно h ) — голоморфная ( соответственно антиголоморфная ) функция на D.
Когда кто-то также требует, чтобы гармоническое расширение было голоморфным, тогда решения являются элементами пространства Харди . Это верно, когда все отрицательные коэффициенты Фурье функции f исчезают. В частности, ядро Пуассона обычно используется для демонстрации эквивалентности пространств Харди на единичном круге и единичном круге.
Пространство функций, которые являются пределами на T функций из Hp ( z ) , можно назвать Hp ( T ). Это замкнутое подпространство в L p ( T ) (по крайней мере, для p ≥ 1). Поскольку L p ( T ) является банаховым пространством (при 1 ⩽ p ⩽ ∞), то же самое и H p ( T ).
Единичный круг можно конформно отобразить в верхнюю полуплоскость с помощью некоторых преобразований Мёбиуса . Поскольку конформное отображение гармонической функции также является гармоническим, ядро Пуассона переносится в верхнюю полуплоскость. В этом случае интегральное уравнение Пуассона принимает вид
Само ядро задается
Учитывая функцию , пространство Lp интегрируемых функций на действительной прямой, u можно понимать как гармоническое расширение f в верхнюю полуплоскость. По аналогии с ситуацией для диска, когда u голоморфна в верхней полуплоскости, то u является элементом пространства Харди и, в частности,
Таким образом, снова пространство Харди H p на верхней полуплоскости является банаховым пространством и, в частности, его ограничение на действительную ось является замкнутым подпространством. Ситуация лишь аналогична случаю для единичного круга; мера Лебега для единичной окружности конечна, а для вещественной прямой — нет.
Для шара радиуса ядро Пуассона принимает вид
Тогда, если u ( x ) — непрерывная функция, определенная на S , соответствующий интеграл Пуассона — это функция P [ u ]( x ), определенная формулой
Можно показать, что P [ u ]( x ) гармонична на шаре и что P [ u ]( x ) продолжается до непрерывной функции на замкнутом шаре радиуса r , а граничная функция совпадает с исходной функцией u .
Также можно получить выражение для ядра Пуассона верхнего полупространства . Обозначим стандартные декартовы координаты через
Ядро Пуассона для верхнего полупространства естественным образом появляется как преобразование Фурье преобразования Абеля , в котором t играет роль вспомогательного параметра. А именно,