Technique in integral evaluation
В исчислении интеграция путем замены , также известная как u -замена , правило обратной цепи или замена переменных , [1] представляет собой метод вычисления интегралов и первообразных . Это аналог цепного правила дифференциации , и его можно условно рассматривать как использование цепного правила «обратно».
Замена одной переменной
Введение (неопределенные интегралы)
Прежде чем строго сформулировать результат , рассмотрим простой случай с использованием неопределенных интегралов .
Вычислить [2]
Установить Это означает или в дифференциальной форме , Теперь:
где – произвольная константа интегрирования .
Эта процедура часто используется, но не все интегралы имеют форму, позволяющую ее использовать. В любом случае результат следует проверить путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением.
Для определенных интегралов пределы интегрирования также необходимо скорректировать, но процедура в основном та же.
Утверждение для определенных интегралов
Пусть – дифференцируемая функция с непрерывной производной, где – интервал . Предположим, что это непрерывная функция . Тогда: [3]
В обозначениях Лейбница замена дает:
бесконечно малыми числами дифференциальных формахобозначений ЛейбницаФормула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл. При использовании первым способом его иногда называют u -заменой или w -заменой , при которой новая переменная определяется как функция исходной переменной, найденной внутри составной функции, умноженной на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется при тригонометрической замене , заменяя исходную переменную тригонометрической функцией новой переменной, а исходный дифференциал - дифференциалом тригонометрической функции.
Доказательство
Интегрирование путем замены можно вывести из фундаментальной теоремы исчисления следующим образом. Пусть и – две функции, удовлетворяющие указанной выше гипотезе, непрерывные и интегрируемые на отрезке . Тогда функция также интегрируема на . Следовательно, интегралы
и
на самом деле существуют, и осталось показать, что они равны.
Поскольку непрерывно, то оно имеет первообразную . Затем определяется составная функция . Поскольку оно дифференцируемо, объединение цепного правила и определения первообразной дает:
Двойное применение фундаментальной теоремы исчисления дает:
что является правилом замены.
Примеры: Определенные интегралы
Пример 1
Рассмотрим интеграл:
Сделайте замену , чтобы получить смысл. Следовательно:
Поскольку нижний предел был заменен на верхний предел, преобразование обратно в условия было ненужным.
В качестве альтернативы можно сначала полностью вычислить неопределенный интеграл (см. ниже), а затем применить граничные условия. Это становится особенно удобным, когда используется несколько замен.
Пример 2
Для интеграла
Полученный интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или формулы двойного угла с последующей еще одной заменой. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом, равным единице, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или
Примеры: первообразные
Замену можно использовать для определения первообразных . Выбирают отношение между и определяют соответствующее отношение между и путем дифференцирования и выполняют замены. Надеемся, что удастся определить первообразную для замененной функции; первоначальная замена между и затем отменяется.
Подобно примеру 1 выше, с помощью этого метода можно получить следующую первообразную:
где – произвольная константа интегрирования .
Целочисленных границ для преобразования не было, но на последнем этапе было необходимо вернуть исходную замену. При вычислении определенных интегралов путем замены можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены.
Тригонометрические функции
Тангенсальную функцию можно проинтегрировать с помощью замены, выразив ее через синус и косинус: .
Использование замены дает и
Котангенс можно проинтегрировать аналогичным образом , выразив его как и используя замену :
Замена нескольких переменных
Замену можно использовать и при интегрировании функций нескольких переменных .
Здесь функция замены ( v 1 , ..., v n ) = φ ( u 1 , ..., un ) должна быть инъективной и непрерывно дифференцируемой, а дифференциалы преобразуются как:
где det( Dφ ) ( u 1 , ..., un ) обозначает определитель матрицы Якоби частных производных φ в точке ( u 1 , ..., un ) . Эта формула выражает тот факт, что абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелоэдра, натянутого на его столбцы или строки.
Более точно формула замены переменных формулируется в следующей теореме:
Теорема . Пусть U — открытое множество в Rn и φ : U → Rn — инъективная дифференцируемая функция с непрерывными частными производными , якобиан которой отличен от нуля для каждого x в U. Тогда для любой вещественной непрерывной функции f с компактным носителем , носитель которой содержится в φ ( U ) :
Условия теоремы можно ослабить различными способами. Во-первых, требование непрерывной дифференцируемости φ можно заменить более слабым предположением, что φ просто дифференцируема и имеет непрерывную обратную величину. [4] Это гарантированно выполняется, если φ непрерывно дифференцируема по теореме об обратной функции . Альтернативно, требование det( Dφ ) ≠ 0 можно устранить, применив теорему Сарда . [5]
Для измеримых по Лебегу функций теорему можно сформулировать в следующем виде: [6]
Теорема . Пусть U — измеримое подмножество Rn и φ : U → Rn — инъективная функция , и предположим, что для каждого x в U существует φ ′ ( x ) в Rn , n такая, что φ ( y ) = φ ( x ) + φ′ ( x )( y − x ) + o (|| y − x ||) при y → x (здесь o — обозначение мало- о ). Тогда φ ( U ) измерима, и для любой вещественнозначной функции f , определенной на φ ( U ) :
Другая очень общая версия теории меры следующая: [7]
Теорема . Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство , снабженное конечной мерой Радона µ , и пусть Y — σ-компактное хаусдорфово пространство с σ-конечной мерой Радона ρ . Пусть φ : X → Y — абсолютно непрерывная функция (последнее означает, что ρ ( φ ( E )) = 0 всякий раз, когда µ ( E ) = 0 ). Тогда существует вещественнозначная измеримая по Борелю функция w на X такая, что для любой интегрируемой по Лебегу функции f : Y → R функция ( f ∘ φ ) ⋅ w интегрируема по Лебегу на X и
gYВ геометрической теории меры интегрирование заменой используется с липшицевыми функциями . Билипшицева функция — это липшицева функция φ : U → Rn , которая является инъективной и чья обратная функция φ − 1 : φ ( U ) → U также является липшицевой. По теореме Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду . В частности, якобиан определитель билипшицева отображения det Dφ корректно определен почти всюду. Тогда справедлив следующий результат:
Теорема. Пусть U — открытое подмножество в Rn и φ : U → Rn — билипшицево отображение. Пусть f : φ ( U ) → R измеримо. Затем
Вышеуказанная теорема была впервые предложена Эйлером , когда он разработал понятие двойных интегралов в 1769 году. Хотя она была обобщена на тройные интегралы Лагранжем в 1773 году, использовалась Лежандром , Лапласом и Гауссом и впервые была обобщена на n переменных Михаилом Остроградским в 1836 году. , она сопротивлялась полностью строгому формальному доказательству в течение удивительно долгого времени и была впервые удовлетворительно решена 125 лет спустя Эли Картаном в серии статей, начавшихся в середине 1890-х годов. [8] [9]
Применение в теории вероятности
Замену можно использовать для ответа на следующий важный вопрос о вероятности: дана случайная величина X с плотностью вероятности p X и другая случайная величина Y такая, что Y = φ ( X ) для инъективного (взаимно-однозначного) φ , какова плотность вероятности для Y ?
Проще всего ответить на этот вопрос, сначала ответив на несколько другой вопрос: какова вероятность того, что Y примет значение в каком-то конкретном подмножестве S ? Обозначим эту вероятность P ( Y ∈ S ). Конечно, если Y имеет плотность вероятности p Y , то ответ будет:
но это бесполезно, потому что мы не знаем p Y ; это то, что мы пытаемся найти. Мы можем добиться прогресса , рассматривая проблему в переменной X. Y принимает значение в S всякий раз, когда X принимает значение в, поэтому:
Изменение переменной x на y дает:
Объединение этого с нашим первым уравнением дает:
так:
В случае, когда X и Y зависят от нескольких некоррелированных переменных (т.е. и ), их можно найти путем подстановки нескольких переменных, рассмотренных выше. Результат:
Смотрите также
Примечания
- ^ Своковски 1983, с. 257
- ^ Своковски 1983, с. 258
- ^ Бриггс и Кокран, 2011, стр.361.
- ^ Рудин 1987, Теорема 7.26.
- ^ Спивак 1965, с. 72
- ^ Фремлин 2010, Теорема 263D
- ^ Хьюитт и Стромберг 1965, Теорема 20.3
- ^ Кац 1982
- ^ Ферзола 1994
Рекомендации
- Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011), Исчисление / Ранние трансценденталии (изд. с одной переменной), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-321-66414-3
- Ферзола, Энтони П. (1994), «Эйлер и дифференциалы», The College Mathematics Journal , 25 (2): 102–111, doi : 10.2307/2687130, JSTOR 2687130
- Фремлин, Д.Х. (2010), Теория меры, Том 2 , Торрес Фремлин, ISBN 978-0-9538129-7-4.
- Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
- Кац, В. (1982), «Замена переменных в кратных интегралах: от Эйлера к Картану», Mathematics Magazine , 55 (1): 3–11, doi : 10.2307/2689856, JSTOR 2689856
- Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
- Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 0-87150-341-7
- Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.
Внешние ссылки
В Wikibook Calculus есть страница на тему: Правило замены.
В Викиверситете есть учебные ресурсы по интеграции путем замены.