Частная производная

Производная функции с несколькими переменными

В математике частная производная функции нескольких переменных — это ее производная по одной из этих переменных, при этом остальные остаются постоянными (в отличие от полной производной , в которой все переменные могут изменяться). Частные производные используются в векторном исчислении и дифференциальной геометрии .

Частная производная функции по переменной обозначается по-разному: ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$, , , , , , или . ${\displaystyle f'_{x}}$ ${\displaystyle \partial _{x}f}$ ${\displaystyle \ D_{x}f}$ ${\displaystyle D_{1}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Ее можно рассматривать как скорость изменения функции в -направлении . ${\displaystyle x}$

Иногда для частная производная по отношению к обозначается как Поскольку частная производная обычно имеет те же аргументы, что и исходная функция, ее функциональная зависимость иногда явно обозначается обозначениями, например: ${\displaystyle z=f(x,y,\ldots )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}$

$${\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}$$

Для обозначения частных производных используется символ ∂ . Одно из первых известных применений этого символа в математике принадлежит маркизу де Кондорсе в 1770 году ^[1] , который использовал его для обозначения частичных разностей . Современное обозначение частной производной было создано Адрианом-Мари Лежандром (1786 г.), хотя позже он отказался от него; Карл Густав Якоб Якоби вновь представил этот символ в 1841 году. ^[2]

Определение

Как и обычные производные, частная производная определяется как предел . Пусть U — открытое подмножество и функция . Частная производная f в точке по i -й переменной x _i определяется как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\,.\end{aligned}}}$$

Где единичный вектор i -й переменной x _i . Даже если все частные производные существуют в данной точке a , функция не обязательно должна быть там непрерывной . Однако если все частные производные существуют в окрестности точки a и непрерывны там, то f полностью дифференцируема в этой окрестности и полная производная непрерывна. В этом случае говорят, что f является ^{функцией} C1 . Это можно использовать для обобщения векторных функций, осторожно используя покомпонентный аргумент. ${\displaystyle \mathbf {e_{i}} }$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$

Частную производную можно рассматривать как еще одну функцию, определенную на U , и ее снова можно частично дифференцировать. Если направление производной не повторяется, ее называют смешанной частной производной . Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны в точке (или на множестве), f называется функцией C ² в этой точке (или на этом множестве); в этом случае частные производные можно поменять местами по теореме Клеро : ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$$

Обозначения

В следующих примерах пусть f будет функцией от x , y и z .

Частные производные первого порядка:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}$$

Частные производные второго порядка:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$$

Смешанные производные второго порядка :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$$

Частные и смешанные производные высшего порядка:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$$

При работе с функциями нескольких переменных некоторые из этих переменных могут быть связаны друг с другом, поэтому может потребоваться явно указать, какие переменные считаются постоянными, чтобы избежать двусмысленности. В таких областях, как статистическая механика , частная производная f по x , при условии, что y и z постоянны, часто выражается как

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$$

Традиционно, для ясности и простоты обозначений, функция частной производной и значение функции в конкретной точке объединяются путем включения аргументов функции, когда используется символ частной производной (нотация Лейбница). Таким образом, выражение типа

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$$

используется для функции, в то время как

$${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$$

может использоваться для значения функции в точке . Однако это соглашение нарушается, когда мы хотим вычислить частную производную в такой точке, как . В таком случае вычисление функции должно быть выражено громоздким образом как ${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$$

или

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$$

чтобы использовать обозначения Лейбница. Таким образом, в этих случаях может быть предпочтительнее использовать обозначение дифференциального оператора Эйлера с в качестве символа частной производной по i -й переменной. Например, можно было бы написать для примера, описанного выше, тогда как выражение представляет собой функцию частной производной по первой переменной. ^[3] ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$ ${\displaystyle D_{1}f}$

Для частных производных более высокого порядка обозначают частную производную (функцию) по j -й переменной . То есть , так что переменные перечислены в том порядке, в котором взяты производные, и, следовательно, в порядке, обратном тому, как обычно обозначается композиция операторов. Конечно, из теоремы Клеро следует, что до тех пор, пока выполняются сравнительно мягкие условия регулярности f . ${\displaystyle D_{i}f}$ ${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$ ${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$ ${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$

Градиент

Важным примером функции нескольких переменных является случай скалярной функции на области евклидова пространства (например, на или ). В этом случае f имеет частную производную по каждой переменной x _j . В точке a эти частные производные определяют вектор ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{j}}$

$${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$$

Этот вектор называется градиентом f в точке a . Если f дифференцируема в каждой точке некоторой области, то градиент представляет собой вектор-функцию ∇ f , которая переводит точку a в вектор ∇ f ( a ) . Следовательно, градиент создает векторное поле .

Распространенным злоупотреблением обозначениями является определение оператора del ( ∇ ) следующим образом в трехмерном евклидовом пространстве с единичными векторами : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

$${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}$$

Или, в более общем смысле, для n -мерного евклидова пространства с координатами и единичными векторами : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$

$${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$$

Производная по направлению

Контурный график , показывающий вектор градиента черным цветом и единичный вектор, масштабированный производной по направлению в направлении оранжевым цветом. Вектор градиента длиннее, потому что градиент указывает в направлении наибольшей скорости возрастания функции. ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Производная по направлению скалярной функции

$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$

вдоль вектора

$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$

– функция , определяемая пределом [ ^4] ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Это определение действительно в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичный вектор) не определена. ^[5]

Пример

Предположим, что f — функция более чем одной переменной. Например,

$${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

График этой функции определяет поверхность в евклидовом пространстве . К каждой точке этой поверхности имеется бесконечное количество касательных линий . Частичная дифференциация — это выбор одной из этих линий и нахождение ее наклона . Обычно наибольший интерес представляют линии, параллельные плоскости xz , и линии, параллельные плоскости yz (которые возникают в результате сохранения константы y или x соответственно).

Чтобы найти наклон линии, касательной к функции в точке P (1, 1) и параллельной плоскости xz , мы рассматриваем y как константу. График и эта плоскость показаны справа. Ниже мы видим, как функция выглядит на плоскости y = 1 . Находя производную уравнения, предполагая, что y является константой, мы обнаруживаем, что наклон f в точке ( x , y ) равен:

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

Таким образом, в (1, 1) путем замены наклон равен 3 . Поэтому,

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$$

в точке (1, 1) . То есть частная производная z по x в (1, 1) равна 3 , как показано на графике.

Функцию f можно интерпретировать как семейство функций одной переменной, индексированных другими переменными:

$${\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

Другими словами, каждое значение y определяет функцию, обозначаемую f _y , которая является функцией одной переменной x . ^[6] То есть

$${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

В этом разделе индекс f _y обозначает функцию, зависящую от фиксированного значения y , а не частную производную.

Как только значение y выбрано, скажем, a , тогда f ( x , y ) определяет функцию f _a , которая трассирует кривую x ² + ax + a ² на плоскости xz :

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$$

В этом выражении a — константа , а не переменная , поэтому f _a — функция только одной реальной переменной, то есть x . Следовательно, применимо определение производной функции одной переменной:

$${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$$

Вышеописанную процедуру можно выполнить для любого выбора файла . Объединение производных в функцию дает функцию, которая описывает изменение f в направлении x :

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}$$

Это частная производная f по x . Здесь « ∂ » — это округленная буква «d», называемая символом частной производной ; Чтобы отличить ее от буквы «d», « ∂ » иногда произносится как «частичный».

Частные производные высшего порядка

Частные производные второго и более высокого порядка определяются аналогично производным более высокого порядка одномерных функций. Для функции «собственная» вторая частная производная по x — это просто частная производная частной производной (обе по x ): ^{[7] : 316–318} ${\displaystyle f(x,y,...)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$$

Перекрестная частная производная по x и y получается путем взятия частной производной f по x , а затем взятия частной производной результата по y , чтобы получить

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$$

Теорема Шварца утверждает, что если вторые производные непрерывны, на выражение для перекрестной частной производной не влияет то, какая переменная берется частной производной относительно первой, а какая — второй. То есть,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$$

или эквивалентно ${\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.}$

Собственные и перекрестные частные производные появляются в матрице Гессе , которая используется в условиях второго порядка в задачах оптимизации . Частные производные более высокого порядка можно получить последовательным дифференцированием

Первопроизводный аналог

Существует понятие частных производных, аналогичное первообразным для обычных производных. Учитывая частную производную, она позволяет частично восстановить исходную функцию.

Рассмотрим пример

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

Так называемый частичный интеграл можно взять по x (считая y константой, аналогично частному дифференцированию):

$${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).}$$

Здесь константа интегрирования больше не является константой, а является функцией всех переменных исходной функции, кроме x . Причина этого в том, что все остальные переменные считаются постоянными при выборе частной производной, поэтому любая функция, которая не включает x , исчезнет при выборе частной производной, и мы должны учитывать это, когда берем первообразную. Самый общий способ представить это — представить константу неизвестной функцией всех остальных переменных.

Таким образом, набор функций , где g — любая функция с одним аргументом, представляет собой весь набор функций от переменных x , y , которые могли бы создать частную производную x . ${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$ ${\displaystyle 2x+y}$

Если известны все частные производные функции (например, с градиентом ), то первообразные можно сопоставить с помощью описанного выше процесса, чтобы восстановить исходную функцию с точностью до константы. Однако, в отличие от случая с одной переменной, не каждый набор функций может быть набором всех (первых) частных производных одной функции. Другими словами, не каждое векторное поле консервативно .

Приложения

Геометрия

Объем конуса зависит от высоты и радиуса.

Объем V конуса зависит от высоты конуса h и его радиуса r по формуле

$${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}$$

Частная производная V по r равна

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}$$

который представляет собой скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус изменяется, а высота остается постоянной. Частная производная по h равна , что представляет собой скорость изменения объема, если его высота изменяется, а радиус остается постоянным. ${\textstyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$

Напротив, полная производная V по r и h равна соответственно

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dr}}&=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}\,,\\{\frac {dV}{dh}}&=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}\,.\end{aligned}}}$$

Отличие полной и частной производной заключается в устранении косвенных зависимостей между переменными в частных производных.

Если (по какой-то произвольной причине) пропорции конуса должны оставаться прежними, а высота и радиус находятся в фиксированном соотношении k ,

$${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.}$$

Это дает полную производную по r ,

$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k\,,}$$

что упрощается до

$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2},}$$

Аналогично, полная производная по h равна

$${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}.}$$

Полная производная по r и h объема, рассматриваемого как скалярная функция этих двух переменных, определяется вектором градиента .

$${\displaystyle \nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right).}$$

Оптимизация

Частные производные появляются в любой задаче оптимизации , основанной на исчислении, с более чем одной переменной выбора. Например, в экономике фирма может пожелать максимизировать прибыль π( x , y ) относительно выбора количеств x и y двух разных типов выпуска. Условия первого порядка для этой оптимизации: π _x = 0 = π _y . Поскольку обе частные производные πx и πy обычно сами _{являются} функциями обоих аргументов x и y , эти два условия первого порядка образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными _.

Термодинамика, квантовая механика и математическая физика

Частные производные появляются в термодинамических уравнениях, таких как уравнение Гиббса-Дюэма , в квантовой механике, как волновое уравнение Шрёдингера, а также в других уравнениях математической физики . Здесь переменные, сохраняемые постоянными в частных производных, могут быть отношениями простых переменных, таких как мольные доли x _i в следующем примере, включающем энергии Гиббса в тройной системе смесей:

$${\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$$

Выразите мольные доли компонента как функции мольных долей других компонентов и бинарных мольных отношений:

${\textstyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}\\x_{3}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}\end{aligned}}}$

Дифференциальные коэффициенты могут быть образованы при постоянных соотношениях, подобных приведенным выше:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}\\\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}\end{aligned}}}$$

Соотношения X, Y, Z мольных долей можно записать для тройных и многокомпонентных систем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}\\Y&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}\\Z&={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\end{aligned}}}$$

который можно использовать для решения уравнений в частных производных , таких как:

$${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}$$

Это равенство можно переставить так, чтобы на одной стороне было дифференциальное частное мольных долей.

Изменение размера изображения

Частные производные являются ключом к алгоритмам изменения размера изображения с учетом цели. Эти алгоритмы, широко известные как « резьба по швам» , требуют, чтобы каждому пикселю изображения была присвоена числовая «энергия», чтобы описать их отличие от ортогональных соседних пикселей. Затем алгоритм постепенно удаляет строки или столбцы с наименьшей энергией. Формула, установленная для определения энергии пикселя (величины градиента пикселя), сильно зависит от конструкции частных производных.

Экономика

Частные производные играют важную роль в экономике , в которой большинство функций, описывающих экономическое поведение, предполагают, что поведение зависит от более чем одной переменной. Например, функция общественного потребления может описывать сумму, потраченную на потребительские товары, как зависящую как от дохода, так и от богатства; предельная склонность к потреблению тогда является частной производной функции потребления по доходу.

Смотрите также

• оператор Даламбера
• Правило цепи
• Керл (математика)
• Дивергенция
• Внешняя производная
• Повторный интеграл
• Матрица Якобиана и определитель
• Оператор Лапласа
• Многомерное исчисление
• Симметрия вторых производных
• Правило тройного произведения , также известное как правило циклической цепочки.

Примечания

1. Каджори, Флориан (1952), История математических обозначений, том. 2 (3-е изд.), 596
2. Миллер, Джефф (nd). «Самое раннее использование символов исчисления». В О'Конноре, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (ред.). MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс . Проверено 15 июня 2023 г.
3. Спивак, М. (1965). Исчисление на многообразиях. Нью-Йорк: WA Бенджамин. п. 44. ИСБН 9780805390216.
4. Р. Вреде; М. Р. Шпигель (2010). Продвинутое исчисление (3-е изд.). Серия набросков Шаума. ISBN 978-0-07-162366-7.
5. Применимость распространяется на функции над пространствами без метрики и на дифференцируемые многообразия , например, в общей теории относительности .
6. Это также можно выразить как сопряженность между конструкциями пространства продукта и функционального пространства .
7. Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). МакГроу-Хилл.

Внешние ссылки

• «Частная производная», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Частные производные в MathWorld