Теорема униформизации

В математике теорема униформизации утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одной из трех римановых поверхностей: открытому единичному диску , комплексной плоскости или сфере Римана . Теорема является обобщением теоремы Римана об отображении односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности.

Поскольку каждая риманова поверхность имеет универсальное накрытие , которое представляет собой односвязную риманову поверхность, теорема униформизации приводит к классификации римановых поверхностей на три типа: те, которые имеют сферу Римана в качестве универсального покрытия («эллиптические»), те, у которых плоскость является универсальным покрытием. универсальная крышка («параболическая») и с универсальным кожухом в виде диска («гиперболическая»). Далее следует, что каждая риманова поверхность допускает риманову метрику постоянной кривизны , где кривизну можно принять равной 1 в эллиптическом случае, 0 в параболическом и -1 в гиперболическом случае.

Теорема униформизации также дает аналогичную классификацию замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий на эллиптические/параболические/гиперболические случаи. Каждое такое многообразие имеет конформно эквивалентную риманову метрику с постоянной кривизной, где кривизну можно принять равной 1 в эллиптическом случае, 0 в параболическом и -1 в гиперболическом случае.

История

Феликс Кляйн (1883 г.) и Анри Пуанкаре (1882 г.) выдвинули гипотезу о теореме униформизации для (римановых поверхностей) алгебраических кривых. Анри Пуанкаре (1883) распространил это на произвольные многозначные аналитические функции и привел неформальные аргументы в его пользу. Первые строгие доказательства общей теоремы об униформизации были даны Пуанкаре (1907) и Паулем Кебе (1907a, 1907b, 1907c). Позже Пол Кебе дал еще несколько доказательств и обобщений. История описана у Грея (1994); Полный отчет об униформизации вплоть до статей Кебе и Пуанкаре 1907 года дан с подробными доказательствами в де Сен-Жерве (2016) (псевдоним типа Бурбаки группы из пятнадцати математиков, которые совместно подготовили эту публикацию).

Классификация связанных римановых поверхностей

Каждая риманова поверхность является фактором свободного, собственного и голоморфного действия дискретной группы на ее универсальное накрытие, и это универсальное накрытие, будучи односвязной римановой поверхностью, голоморфно изоморфно (также говорят: «конформно эквивалентно» или «биголоморфно»). к одному из следующих:

сфера Римана
сложный самолет
единичный диск в комплексной плоскости.

Для компактных римановых поверхностей поверхности с универсальным покрытием единичного круга представляют собой в точности гиперболические поверхности рода больше 1, все с неабелевой фундаментальной группой; универсальными накрывающими комплексную плоскость являются римановы поверхности рода 1, а именно комплексные торы или эллиптические кривые с фундаментальной группой $Z 2$ ; а те, что имеют универсальное накрытие - сферу Римана, - это те, которые имеют род нуль, а именно сама сфера Римана, с тривиальной фундаментальной группой.

Классификация замкнутых ориентированных римановых 2-многообразий

На ориентированном 2-многообразии риманова метрика индуцирует сложную структуру, используя переход к изотермическим координатам . Если риманова метрика локально задана как

ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},

то в комплексной координате z = x + i y он принимает вид

ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},

где

\lambda = {\frac {1}{4}}\left(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}\right),\ \ \mu = {\frac { 1}{4\лямбда }}(E-G+2iF),

так что λ и µ гладкие с λ > 0 и | | | < 1. В изотермических координатах ( u , v ) метрика должна иметь вид

ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})

с ρ > 0 гладкая. Комплексная координата w = u + i v удовлетворяет условию

\rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d {\overline {z}}\right|^{2},

так что координаты ( u , v ) будут локально изотермическими при условии, что уравнение Бельтрами

{\partial w \over \partial {\overline {z}}} = \mu {\partial w \over \partial z}

имеет локально диффеоморфное решение, т. е. решение с ненулевым якобианом.

Эти условия можно эквивалентно сформулировать в терминах внешней производной и оператора звезды Ходжа $*$ . ^[1] $u$ и $v$ будут изотермическими координатами, если $* du = dv$ , где $*$ определяется на дифференциалах формулой $*(p dx + q dy) = - q dx + p dy$ . Пусть $∆ = * d * d$ — оператор Лапласа–Бельтрами . Согласно стандартной эллиптической теории, $u$ можно выбрать гармоническим вблизи данной точки, т. е. $Δ u = 0$ , при этом $du$ не обращается в нуль. По лемме Пуанкаре $dv = * du$ имеет локальное решение $v$ точно тогда, когда $d (* du) = 0$ . Это условие эквивалентно $∆ u = 0$ , поэтому всегда может быть решено локально. Поскольку $du$ не равно нулю, а квадрат звездного оператора Ходжа равен -1 в 1-формах, $du$ и $dv$ должны быть линейно независимыми, так что $u$ и $v$ задают локальные изотермические координаты.

Существование изотермических координат можно доказать другими методами, например, с использованием общей теории уравнения Бельтрами , как у Альфорса (2006), или прямыми элементарными методами, как у Черна (1955) и Йоста (2006).

Из этого соответствия с компактными римановыми поверхностями следует классификация замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий. Каждое такое конформно эквивалентно уникальному замкнутому 2-многообразию постоянной кривизны , поэтому частное одного из следующих значений по свободному действию дискретной подгруппы группы изометрий :

сфера (кривизна +1 )
евклидова плоскость (кривизна 0)
гиперболическая плоскость (кривизна −1).

род 0
род 1
род 2
род 3

Первый случай дает 2-сферу, единственное 2-многообразие с постоянной положительной кривизной и, следовательно, положительной эйлеровой характеристикой (равной 2). Второй дает все плоские 2-многообразия, т.е. торы , которые имеют эйлерову характеристику 0. Третий случай охватывает все 2-многообразия постоянной отрицательной кривизны, т.е. гиперболические 2 -многообразия, все из которых имеют отрицательную эйлерову характеристику. Классификация согласуется с теоремой Гаусса-Бонне , которая подразумевает, что для замкнутой поверхности с постоянной кривизной знак этой кривизны должен совпадать со знаком эйлеровой характеристики. Эйлерова характеристика равна 2 – 2 g , где g — род 2-многообразия, т. е. количество «дырок».

Методы доказательства

Многие классические доказательства теоремы униформизации основаны на построении вещественной гармонической функции на односвязной римановой поверхности, возможно, с особенностью в одной или двух точках и часто соответствующей форме функции Грина . Широко применяются четыре метода построения гармонической функции: метод Перрона ; попеременный метод Шварца ; принцип Дирихле ; и метод ортогонального проектирования Вейля . В контексте замкнутых римановых 2-многообразий некоторые современные доказательства используют нелинейные дифференциальные уравнения в пространстве конформно эквивалентных метрик. К ним относятся уравнение Бельтрами из теории Тейхмюллера и эквивалентная формулировка в терминах гармонических отображений ; Уравнение Лиувилля , уже изученное Пуанкаре; и Риччи текут вместе с другими нелинейными потоками.

Теорема Радо показывает, что каждая риманова поверхность автоматически счетна по секундам . Хотя теорема Радо часто используется в доказательствах теоремы об униформизации, некоторые доказательства были сформулированы так, что теорема Радо становится следствием. Вторая счетность автоматическая для компактных римановых поверхностей.

Методы гильбертового пространства

В 1913 году Герман Вейль опубликовал свой классический учебник «Die Idee der Riemannschen Fläche», основанный на его лекциях в Геттингене с 1911 по 1912 год. Это была первая книга, в которой была представлена теория римановых поверхностей в современной обстановке, и на протяжении трех ее изданий она оставалась влиятельной. Посвященное Феликсу Кляйну , первое издание включало рассмотрение Гильбертом проблемы Дирихле с использованием методов гильбертова пространства ; Вклад Брауэра в топологию; и доказательство Кебе теоремы об униформизации и ее последующих усовершенствований. Намного позже Вейль (1940) разработал свой метод ортогонального проектирования, который дал упрощенный подход к задаче Дирихле, также основанный на гильбертовом пространстве; эта теория, включавшая лемму Вейля об эллиптической регулярности , была связана с теорией гармонических интегралов Ходжа ; и обе теории были включены в современную теорию эллиптических операторов и $L$ $2$ пространств Соболева . В третьем издании своей книги 1955 года, переведенном на английский язык Вейлем (1964), Вейль принял современное определение дифференциального многообразия, отдав предпочтение триангуляции , но решил не использовать свой метод ортогональной проекции. Спрингер (1957) следовал изложению Вейля теоремы об униформизации, но использовал метод ортогонального проектирования для решения проблемы Дирихле. Кодайра (2007) описывает подход в книге Вейля, а также то, как его сократить с помощью метода ортогональной проекции. Соответствующую информацию можно найти у Дональдсона (2011).

Нелинейные потоки

Ричард С. Гамильтон показал, что нормализованный поток Риччи на замкнутой поверхности униформизирует метрику (т. е. поток сходится к метрике постоянной кривизны). Однако его доказательство опиралось на теорему об униформизации. Недостающий шаг связан с потоком Риччи в 2-сфере: метод, позволяющий избежать обращения к теореме униформизации (для рода 0), был предложен Ченом, Лу и Тианом (2006); ^[2] краткое самостоятельное описание потока Риччи на 2-сфере было дано в работе Эндрюса и Брайана (2010).

Обобщения

Кебе доказал общую теорему униформизации , согласно которой, если риманова поверхность гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что то же самое, если каждая жорданова кривая разделяет ее), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы.

В трёх измерениях существует восемь геометрий, называемых восемью геометриями Тёрстона . Не каждое трехмерное многообразие допускает геометрию, но гипотеза геометризации Терстона, доказанная Григорием Перельманом, утверждает, что каждое трехмерное многообразие можно разрезать на геометризуемые части.

Теорема Липмана Берса об одновременной униформизации показывает, что можно одновременно униформизировать две компактные римановы поверхности одного и того же рода >1 с одной и той же квазифуксовой группой .

Теорема об измеримом отображении Римана в более общем плане показывает, что отображение открытого подмножества комплексной сферы в теореме униформизации может быть выбрано как квазиконформное отображение с любым заданным ограниченным измеримым коэффициентом Бельтрами.

Смотрите также

теорема о p-адической униформизации

Примечания

^ ДеТурк и Каздан 1981; Тейлор 1996a, стр. 377–378.
^ Брендл 2010

Внешние ссылки

Конформное преобразование: от круга к квадрату.

Теорема униформизации

История

Классификация связанных римановых поверхностей

Классификация замкнутых ориентированных римановых 2-многообразий

Методы доказательства

Методы гильбертового пространства

Нелинейные потоки

Обобщения

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Исторические ссылки

Исторические обзоры

Гармонические функции

Нелинейные дифференциальные уравнения

Общие ссылки

Внешние ссылки