Ричард Стрейт Гамильтон (родился 10 января 1943 года) — американский математик, профессор математики Дэвиса в Колумбийском университете . Он известен своим вкладом в геометрический анализ и уравнения в частных производных . Гамильтон наиболее известен фундаментальным вкладом в теорию потока Риччи и разработкой соответствующей программы методов и идей для решения гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации в области геометрической топологии . Григорий Перельман использовал результаты Гамильтона для доказательства своих гипотез и был удостоен Премии тысячелетия за свою работу. Однако Перельман отказался от награды, посчитав вклад Гамильтона равным его собственному.
Гамильтон получил степень бакалавра в 1963 году в Йельском университете и степень доктора философии. в 1966 году из Принстонского университета . Роберт Ганнинг руководил работой над диссертацией. Он преподавал в Калифорнийском университете в Ирвине , Калифорнийском университете в Сан-Диего , Корнельском университете и Колумбийском университете .
Математический вклад Гамильтона в основном относится к области дифференциальной геометрии и, более конкретно, геометрического анализа . Он наиболее известен тем, что открыл поток Риччи и начал исследовательскую программу, которая в конечном итоге привела к доказательству Григорием Перельманом гипотезы геометризации Уильяма Терстона и гипотезы Пуанкаре .
За свою работу над потоком Риччи Гамильтон был награжден премией Освальда Веблена по геометрии в 1996 году и премией Клэя за исследования в 2003 году. Он был избран членом Национальной академии наук в 1999 году и Американской академии искусств и наук в 2003 году. также получил премию AMS Лероя П. Стила за выдающийся вклад в исследования в 2009 году за свою статью 1982 года « Три многообразия с положительной кривизной Риччи» , в которой он представил и проанализировал поток Риччи. [H82b]
В марте 2010 года Математический институт Клэя , включив гипотезу Пуанкаре в список задач «Премии тысячелетия» , наградил Перельмана одним миллионом долларов за доказательство гипотезы в 2003 году. [1] В июле 2010 года Перельман отказался от премии и денежной премии, заявив, что, по его мнению, его вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре не больше, чем вклад Гамильтона, разработавшего программу решения. [2]
В июне 2011 года было объявлено, что премия Шоу в миллион долларов будет разделена поровну между Гамильтоном и Деметриосом Христодулу «за их весьма новаторские работы по нелинейным уравнениям в частных производных в лоренцевой и римановой геометрии и их приложениям к общей теории относительности и топологии». [3] [4]
В 2022 году Гамильтон поступил на работу в Гавайский университет в Маноа в качестве адъюнкт-профессора. [5]
По состоянию на 2022 год Гамильтон был автором сорока шести исследовательских статей, около сорока из которых относятся к области геометрических потоков .
В 1986 году Питер Ли и Шинг-Тунг Яу открыли новый метод применения принципа максимума для управления решениями уравнения теплопроводности . [6] Среди других результатов они показали, что если кто-то имеет положительное решение u уравнения теплопроводности на замкнутом римановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи , то он имеет
для любого касательного вектора v . Такие неравенства, известные как «дифференциальные неравенства Харнака » или «неравенства Ли – Яу», полезны, поскольку их можно интегрировать по путям для сравнения значений u в любых двух точках пространства-времени. Они также напрямую дают поточечную информацию о u , принимая v равным нулю.
В 1993 году Гамильтон показал, что вычисления Ли и Яу можно расширить, чтобы показать, что их дифференциальное неравенство Харнака является следствием более сильного матричного неравенства. [H93a] Его результат требовал, чтобы замкнутое риманово многообразие имело неотрицательную секционную кривизну и параллельный тензор Риччи (такой как плоский тор или метрика Фубини-Студи на комплексном проективном пространстве ), в отсутствие которых он получил немного более слабый результат. Такие матричные неравенства иногда называют неравенствами Ли–Яу–Гамильтона .
Гамильтон также обнаружил, что методологию Ли-Яу можно адаптировать к потоку Риччи . В случае двумерных многообразий он обнаружил, что вычисления Ли и Яу можно напрямую адаптировать к скалярной кривизне вдоль потока Риччи. [H88] В общих измерениях он показал, что тензор кривизны Римана удовлетворяет сложному неравенству, формально аналогичному его матричному расширению неравенства Ли-Яу, в случае, когда оператор кривизны неотрицательен. [H93b] Как непосредственное алгебраическое следствие, скалярная кривизна удовлетворяет неравенству, которое почти идентично неравенству Ли и Яу. Этот факт широко используется в дальнейшем исследовании потока Риччи Гамильтоном и Перельманом.
Позже Гамильтон адаптировал свою оценку Ли-Яу для потока Риччи к настройке потока средней кривизны , который немного проще, поскольку геометрия определяется второй фундаментальной формой , которая имеет более простую структуру, чем тензор кривизны Римана. [H95c] Теорема Гамильтона, которая требует строгой выпуклости, естественно применима к некоторым особенностям потока средней кривизны благодаря оценкам выпуклости Герхарда Хейскена и Карло Синестрари. [7] [8]
В 1956 году Джон Нэш решил проблему гладкого изометрического вложения римановых многообразий в евклидово пространство. [9] Ядром его доказательства был новый результат «малого возмущения», показывающий, что если риманову метрику можно изометрически вложить определенным образом, то любая близлежащая риманова метрика также может быть изометрически вложена. Такой результат очень напоминает теорему о неявной функции , и многие авторы пытались поместить логику доказательства в рамки общей теоремы. Такие теоремы теперь известны как теоремы Нэша – Мозера .
В 1982 году Гамильтон опубликовал свою формулировку рассуждений Нэша, применив теорему к ручным пространствам Фреше ; Фундаментальное использование Нэшем ограничения преобразования Фурье для регуляризации функций было абстрагировано Гамильтоном до ситуации экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах . [H82a] Его формулировка широко цитировалась и использовалась в последующее время. Он сам использовал его, чтобы доказать общую теорему существования и единственности геометрических эволюционных уравнений; стандартная теорема о неявной функции не часто применяется в таких условиях из-за вырождений, вносимых инвариантностью под действием группы диффеоморфизмов . [H82b] В частности, корректность потока Риччи следует из общего результата Гамильтона. Хотя Деннис ДеТурк дал более простое доказательство в частном случае потока Риччи, результат Гамильтона использовался для некоторых других геометрических потоков , для которых метод ДеТурка недоступен.
В 1964 году Джеймс Иллс и Джозеф Сэмпсон инициировали исследование теплового потока гармонической карты , используя теорему о сходимости потока, чтобы показать, что любое гладкое отображение замкнутого многообразия в замкнутое многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение . В 1975 году Гамильтон рассмотрел соответствующую краевую задачу для этого потока, доказав аналогичный результат Иллса и Сэмпсона для условий Дирихле и Неймана . [H75] Аналитический характер проблемы в этой постановке более деликатный, поскольку ключевое применение Иллсом и Сэмпсоном принципа максимума к параболической формуле Бохнера не может быть тривиально выполнено из-за того, что размер градиента на границе равен не контролируется автоматически граничными условиями.
Взяв пределы решений Гамильтона краевой задачи для все более больших границ, Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу заметили, что отображение конечной энергии полного риманова многообразия в замкнутое риманово многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение. конечной энергии. [10] Доказав расширение теоремы об исчезновении Илса и Сэмпсона в различных геометрических условиях, они смогли сделать поразительные геометрические выводы, например, что если ( M , g ) — полное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи , то для любого предкомпактного открытого множестве D с гладким и односвязным краем, не может существовать нетривиальный гомоморфизм фундаментальной группы D в любую группу, являющуюся фундаментальной группой замкнутого риманова многообразия неположительной кривизны.
В 1986 году Гамильтон и Майкл Гейдж применили теорему Нэша – Мозера Гамильтона и результат корректности для параболических уравнений, чтобы доказать корректность потока средней кривизны ; они рассмотрели общий случай однопараметрического семейства погружений замкнутого многообразия в гладкое риманово многообразие. [GH86] Затем они специализировались на случае погружения окружности S 1 в двумерное евклидово пространство ℝ 2 , что является простейшим контекстом для потока, сокращающего кривую . Используя принцип максимума применительно к расстоянию между двумя точками на кривой, они доказали, что если начальное погружение является вложением, то все последующие погружения в поток средней кривизны также являются вложениями. При этом выпуклость кривых сохраняется и в дальнейшем.
Основной результат Гейджа и Гамильтона состоит в том, что для любого гладкого вложения S 1 → ℝ 2 , которое является выпуклым, соответствующий поток средней кривизны существует в течение конечного промежутка времени, и по мере приближения времени к максимальному значению кривые асимптотически становятся все более малыми и круговой. [GH86] Они использовали предыдущие результаты Гейджа, а также несколько специальных результатов для кривых, таких как неравенство Боннесена .
В 1987 году Мэтью Грейсон доказал дополнительный результат, показав, что для любого гладкого вложения S 1 → ℝ 2 соответствующий поток средней кривизны в конечном итоге становится выпуклым. [11] В сочетании с результатом Гейджа и Гамильтона можно получить по существу полное описание асимптотического поведения потока средней кривизны вложенных кругов в ℝ 2 . Этот результат иногда называют теоремой Гейджа-Гамильтона-Грейсона . Несколько удивительно, что существует такой систематический и геометрически определенный способ деформации произвольной петли в ℝ 2 в круглый круг.
Современное понимание результатов Гейджа-Гамильтона и Грейсона обычно рассматривает обе ситуации сразу, без необходимости показывать, что произвольные кривые становятся выпуклыми, и отдельно изучать поведение выпуклых кривых. Их результаты также можно распространить на настройки, отличные от потока средней кривизны. [12]
Гамильтон распространил принцип максимума для параболических уравнений в частных производных на случай симметричных 2-тензоров, которые удовлетворяют параболическому уравнению в частных производных. [H82b] Он также включил это в общую постановку зависящего от параметра сечения векторного расслоения над замкнутым многообразием , которое удовлетворяет уравнению теплопроводности, дав как сильные, так и слабые формулировки. [Н86]
Частично благодаря этим фундаментальным техническим разработкам Гамильтон смог дать практически полное понимание того, как ведет себя поток Риччи на трехмерных замкнутых римановых многообразиях положительной кривизны Риччи [H82b] и неотрицательной кривизны Риччи [H86] , четырехмерных замкнутых римановых многообразиях. оператора положительной или неотрицательной кривизны [H86] и двумерных замкнутых римановых многообразий неположительной эйлеровой характеристики или положительной кривизны [H88] . В каждом случае после соответствующих нормировок поток Риччи деформирует заданную риманову метрику к метрике постоянной кривизны. Это имеет поразительно простые непосредственные следствия, такие как тот факт, что любое замкнутое гладкое 3-многообразие, допускающее риманову метрику положительной кривизны, также допускает риманову метрику постоянной положительной секционной кривизны. Такие результаты примечательны тем, что сильно ограничивают топологию таких многообразий; пространственные формы положительной кривизны в значительной степени понятны. Есть и другие следствия, например тот факт, что топологическое пространство римановых метрик положительной кривизны Риччи на замкнутом гладком 3-многообразии линейно связно. Эти «теоремы о сходимости» Гамильтона были расширены более поздними авторами в 2000-х годах, чтобы дать доказательство теоремы о дифференцируемой сфере , которая была основной гипотезой в римановой геометрии с 1960-х годов.
В 1995 году Гамильтон расширил теорию компактности Джеффа Чигера для римановых многообразий, чтобы дать теорему компактности для последовательностей потоков Риччи. [H95a] Учитывая поток Риччи на замкнутом многообразии с особенностью конечного времени, Гамильтон разработал методы масштабирования вокруг особенности для создания последовательности потоков Риччи; теория компактности обеспечивает существование предельного потока Риччи, который моделирует мелкомасштабную геометрию потока Риччи вокруг особой точки. [H95b] Гамильтон использовал свои принципы максимума, чтобы доказать, что для любого потока Риччи на замкнутом трехмерном многообразии наименьшее значение секционной кривизны мало по сравнению с его наибольшим значением. Это известно как оценка Гамильтона – Айви; оно чрезвычайно важно как неравенство кривизны, которое выполняется без каких-либо условных предположений, кроме трехмерности. Важным следствием является то, что в трех измерениях предельный поток Риччи, создаваемый теорией компактности, автоматически имеет неотрицательную кривизну. [H95b] Таким образом, неравенство Гарнака Гамильтона применимо к предельному потоку Риччи. Эти методы были расширены Григорием Перельманом , который благодаря своей «теореме о неколлапсе» смог применить теорию компактности Гамильтона в ряде расширенных контекстов.
В 1997 году Гамильтон смог объединить разработанные им методы для определения «потока Риччи с хирургией» для четырехмерных римановых многообразий положительной изотропной кривизны. [H97] Для потоков Риччи с начальными данными этого класса он смог классифицировать возможности мелкомасштабной геометрии вокруг точек с большой кривизной и, следовательно, систематически изменять геометрию, чтобы продолжить поток Риччи. Как следствие, он получил результат, который классифицирует гладкие четырехмерные многообразия, поддерживающие римановы метрики положительной изотропной кривизны. Шинг-Тунг Яу назвал эту статью «самым важным событием» в геометрическом анализе в период после 1993 года, отметив ее как момент, когда стало ясно, что можно доказать гипотезу геометризации Терстона методами потока Риччи. Основным нерешенным вопросом было проведение аналогичной классификации для мелкомасштабной геометрии вокруг точек высокой кривизны потоков Риччи на трехмерных многообразиях без каких-либо ограничений кривизны; оценка кривизны Гамильтона–Айви является аналогом условия положительной изотропной кривизны. Эту проблему решил Григорий Перельман в своей знаменитой «теореме о канонических окрестностях». Опираясь на этот результат, Перельман изменил форму процедуры хирургии Гамильтона, чтобы определить «поток Риччи с хирургией» для произвольной гладкой римановой метрики на замкнутом трехмерном многообразии. Это привело к разрешению гипотезы геометризации в 2003 году.
В одной из своих ранних работ Гамильтон доказал теорему Эрла-Гамильтона о неподвижной точке в сотрудничестве с Клиффордом Эрлом . [EH70] В неопубликованных конспектах лекций 1980-х годов Гамильтон представил поток Ямабе и доказал его давнее существование. В сотрудничестве с Шиинг-Шеном Черном Гамильтон изучал некоторые вариационные задачи для римановых метрик в контактной геометрии . [13] Он также внес вклад в решение предписанной проблемы кривизны Риччи . [14]
Коллекция
содержит двенадцать статей Гамильтона о потоке Риччи, а также десять статей других авторов по теме.
СМИ, связанные с Ричардом Гамильтоном (математик) на Викискладе?
