Хуай-Дун Цао (родился 8 ноября 1959 года в Цзянсу ) — китайско-американский математик. Он является профессором математики имени А. Эверетта Питчера в Университете Лихай . Он известен своим исследовательским вкладом в поток Риччи , тему в области геометрического анализа .
Цао получил степень бакалавра в Университете Цинхуа в 1981 году и степень доктора философии. из Принстонского университета в 1986 году под руководством Шинг-Тунг Яу . [ нужна цитата ]
Цао — бывший заместитель директора Института чистой и прикладной математики (IPAM) Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. Он занимал должности приглашенного профессора в Массачусетском технологическом институте, Гарвардском университете, Институте Исаака Ньютона, Институте Макса Планка, IHES, ETH Zurich и Пизанском университете. Он является главным редактором журнала «Дифференциальная геометрия» с 2003 года. Среди его наград и наград:
В 1982 году Ричард С. Гамильтон представил поток Риччи , доказав новую драматическую теорему о геометрии трехмерных многообразий . [1] Цао, который только что начал работу над докторской диссертацией. исследования под руководством Шинг-Тунг Яу , начал изучать поток Риччи в условиях кэлеровых многообразий . В своей докторской диссертации В диссертации, опубликованной в 1985 году, он показал, что оценки Яу в разрешении гипотезы Калаби могут быть модифицированы в контексте потока Кэлера-Риччи, чтобы доказать теорему сходимости, аналогичную исходному результату Гамильтона. [2] Это также обеспечило параболическую альтернативу методу непрерывности Яу в доказательстве гипотезы Калаби, хотя большая часть технической работы в доказательствах аналогична.
Следуя предположению Яу о том, что поток Риччи можно использовать для доказательства гипотезы геометризации Уильяма Терстона , Гамильтон развивал эту теорию в течение следующих двух десятилетий. В 2002 и 2003 годах Гриша Перельман опубликовал в arXiv две статьи , в которых утверждал, что представил доказательство гипотезы геометризации с помощью потока Риччи. [3] [4] Кроме того, он опубликовал третью статью, в которой дал сокращение доказательства знаменитой гипотезы Пуанкаре , для которой результаты второй половины второй статьи оказались ненужными. [5] Статьи Перельмана были сразу же признаны как давшие заметные новые результаты в теории потока Риччи, хотя многие математики не смогли полностью понять технические детали некоторых необычайно сложных или кратких разделов его работы.
Брюс Кляйнер из Йельского университета и Джон Лотт из Мичиганского университета начали публиковать в сети аннотации к первым двум статьям Перельмана в 2003 году, дополняя и изменяя их в течение следующих нескольких лет. Результаты этой работы были опубликованы в академическом журнале в 2008 году. [6] Цао сотрудничал с Си-Пин Чжу из Университета Чжуншань , опубликовав в 2006 году изложение работ Гамильтона и первых двух статей Перельмана, объясняя их в контексте математическая литература по геометрическому анализу . Джон Морган из Колумбийского университета и Ган Тянь из Принстонского университета опубликовали в 2007 году книгу, посвященную первой и третьей статье Перельмана, а также первой половине второй статьи; Позже они опубликовали вторую книгу, посвященную второй половине второй статьи Перельмана. [7] [8]
В аннотации к статье Цао и Чжу говорится:
В данной статье мы даем полное доказательство гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации. Эта работа зависит от совокупных работ многих геометрических аналитиков за последние тридцать лет. Это доказательство следует считать высшим достижением теории потока Риччи Гамильтона-Перельмана.
с началом ознакомления
В этой статье мы представим теорию Гамильтона-Перельмана потока Риччи. На его основе мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Тёрстона. Хотя вся работа представляет собой совокупность усилий многих геометрических аналитиков, главными вкладчиками, несомненно, являются Гамильтон и Перельман.
Некоторые наблюдатели считали, что Цао и Чжу преувеличивают ценность своей статьи. Кроме того, было обнаружено, что несколько страниц статьи Цао и Чжу были похожи на страницы в статье Кляйнера и Лотта, что привело к обвинениям в плагиате. Цао и Чжу заявили, что в 2003 году они сделали заметки к этому разделу работы Перельмана из ранних публикаций Кляйнера и Лотта и что по случайной оплошности они не смогли понять источник заметок при написании своей статьи в 2005 году . 9] Они опубликовали исправленную версию своей статьи на arXiv в декабре 2006 года. [10]
Градиентный солитон Риччи состоит из риманова многообразия ( M , g ) и функции f на M такой, что Ric g + Hess g f является постоянным кратным g . В частном случае, когда M имеет комплексную структуру, g является метрикой Кэлера , а градиент f является голоморфным векторным полем, существует градиентный солитон Кэлера-Риччи . Солитоны Риччи иногда рассматриваются как обобщения метрик Эйнштейна , соответствующие случаю f = 0 . Важность градиентных солитонов Риччи для теории потока Риччи была впервые признана Гамильтоном во влиятельной статье 1995 года. [11] В анализе Перельмана особенно важны градиентные солитоны Риччи, где постоянный кратный положителен; они называются градиентно-сжимающими солитонами Риччи . Обзор солитонов Риччи, проведенный Цао в 2010 году, получил широкое цитирование.
В 1996 году Цао изучал градиентные солитоны Кэлера-Риччи под анзацем вращательной симметрии, так что уравнение солитона Риччи сводится к анализу ОДУ . Он показал, что для каждого положительного n существует градиентный устойчивый солитон Кэлера-Риччи, который является вращательно-симметричным, полным и положительно искривленным. В случае, когда n равно 1, это восстанавливает сигарный солитон Гамильтона. Као также показал существование градиентных устойчивых солитонов Кэлера-Риччи на всем пространстве канонического расслоения над комплексным проективным пространством , которое является полным, вращательно-симметричным и неотрицательно искривленным. Он построил закрытые примеры градиентного сжатия солитонов Кэлера-Риччи при проективизации некоторых линейных расслоений в комплексном проективном пространстве; эти примеры были рассмотрены независимо Норихито Койсо. [12] Анзац Цао и Койсо получил дальнейшее развитие во влиятельной статье Михаила Фельдмана, Тома Ильманена и Дэна Кнопфа, а примеры Цао, Койсо и Фельдмана-Ильманена-Кнопфа были объединены и расширены в 2011 году Эндрю Дэнсером и Маккензи Ван. [13] [14]
Используя аргумент Перельмана, Цао и Детанг Чжоу показали, что солитоны Риччи, сжимающиеся по градиенту, имеют гауссов характер, поскольку для любой заданной точки p из M функция f должна расти квадратично с функцией расстояния до p . Кроме того, объем геодезических шаров вокруг p может расти не более чем полиномиально с увеличением их радиуса. Эти оценки делают возможным широкий интегральный анализ, связанный с полным градиентным сжатием солитонов Риччи, в частности позволяя использовать e - f в качестве весовой функции.
