stringtranslate.com

Шинг-Тунг Яу

Шин-Тун Яу ( / j aʊ / ; китайский :丘成桐; пиньинь : Qiū Chéngtóng ; родился 4 апреля 1949 года) — китайско-американский математик . Он является директором Центра математических наук Яу в Университете Цинхуа и почетным профессором Гарвардского университета . До 2022 года Яу был профессором математики имени Уильяма Каспара Граустейна в Гарварде, после чего он переехал в Цинхуа. [1] [2]

Яу родился в Сватоу, Кантон, Китайская Республика, переехал в Британский Гонконг в молодом возрасте, а затем переехал в Соединенные Штаты в 1969 году. В 1982 году он был награжден медалью Филдса в знак признания его вклада в уравнения с частными производными , гипотезу Калаби , теорему о положительной энергии и уравнение Монжа-Ампера . [3] Яу считается одним из главных вкладчиков в развитие современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Влияние работ Яу также видно в математических и физических областях выпуклой геометрии , алгебраической геометрии , исчислительной геометрии , зеркальной симметрии , общей теории относительности и теории струн , в то время как его работы также затрагивали прикладную математику , инженерию и численный анализ .

Биография

Яу родился в Шаньтоу , провинция Гуандун , Китайская Республика, в 1949 году в семье хакка . [YN19] Его родной город — уезд Цзяолин , Китай. [YN19] Его мать, Йеук Лам Леунг, была из района Мэйсянь , Китай; его отец, Чэнь Ин Чиу (丘鎭英), был ученым Гоминьдана Китайской Республики, занимавшимся философией, историей, литературой и экономикой. [YN19] Он был пятым из восьми детей. [4]

Во время коммунистического захвата материкового Китая, когда ему было всего несколько месяцев, его семья переехала в Британский Гонконг , где его обучение (за исключением занятий по английскому языку) проводилось полностью на кантонском языке вместо родного языка его родителей — китайского языка хакка . [YN19] Он не мог вернуться до 1979 года, по приглашению Хуа Логенга , когда материковый Китай вступил в эпоху реформ и открытости . [YN19] Сначала они жили в Юэньлонге , а затем переехали в Шатин в 1954 году. [YN19] У них были финансовые проблемы из-за потери всего своего имущества, а его отец и вторая по старшинству сестра умерли, когда ему было тринадцать лет. [YN19] Яу начал читать и ценить книги своего отца и стал более преданным школьным занятиям. После окончания средней школы Пуй Чинг он изучал математику в Китайском университете Гонконга с 1966 по 1969 год, не получив ученой степени из-за раннего окончания учебы. [YN19] Он оставил свои учебники младшему брату Стивену Шинг-Тунг Яу , который затем также решил специализироваться на математике.

Осенью 1969 года Яу уехал учиться в Калифорнийский университет в Беркли на программу доктора философии по математике. Во время зимних каникул он прочитал первые выпуски журнала «Дифференциальная геометрия» и был глубоко вдохновлен работами Джона Милнора по геометрической теории групп . [5] [YN19] Впоследствии он сформулировал обобщение теоремы Прейсмана и развил свои идеи вместе с Блейном Лоусоном в течение следующего семестра. [6] Используя эту работу, он получил степень доктора философии в следующем году, в 1971 году, под руководством Шиинг-Шен Черна . [7]

Он провел год в качестве члена Института перспективных исследований в Принстоне , прежде чем присоединиться к Университету Стоуни-Брук в 1972 году в качестве доцента. В 1974 году он стал доцентом в Стэнфордском университете . [8] В 1976 году он занял должность приглашенного преподавателя в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе и женился на физике Ю-Юнь Куо, которую знал со времени обучения в аспирантуре в Беркли. [8] В 1979 году он вернулся в Институт перспективных исследований и стал там профессором в 1980 году. [8] В 1984 году он занял должность профессора кафедры в Калифорнийском университете в Сан-Диего . [9] В 1987 году он переехал в Гарвардский университет . [8] [10] В апреле 2022 года Яу вышел на пенсию из Гарварда, где он был почетным профессором математики имени Уильяма Каспара Грауштайна. [8] В том же году он перешел в Университет Цинхуа на должность профессора математики. [8] [2]

Согласно автобиографии Яу, он стал « лицом без гражданства » в 1978 году после того, как британское консульство аннулировало его вид на жительство в Гонконге из-за его статуса постоянного жителя США . [11] [12] Относительно своего статуса при получении медали Филдса в 1982 году Яу заявил: «Я горжусь тем, что, когда мне вручили медаль Филдса по математике, у меня не было паспорта какой-либо страны, и меня, безусловно, следует считать китайцем». [13] Яу оставался «лицом без гражданства» до 1990 года, когда он получил гражданство США. [11] [14]

Совместно с научным журналистом Стивом Надисом Яу написал нетехнический отчет о многообразиях Калаби-Яу и теории струн , [YN10] [15] историю математического факультета Гарварда, [NY13] обоснование необходимости строительства кольцевого электрон-позитронного коллайдера в Китае, [NY15] [16] [17] автобиографию, [YN19] [18] и книгу о связи геометрии с физикой. [NY24]

Академическая деятельность

Яу внес большой вклад в развитие современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Как сказал Уильям Терстон в 1981 году: [19]

Мы редко имели возможность стать свидетелями зрелища того, как работа одного математика за короткий промежуток лет повлияла на направление целых областей исследований. В области геометрии одним из самых замечательных примеров такого явления за последнее десятилетие является вклад Шинг-Тунг Яу.

Его наиболее широко известные результаты включают разрешение (совместно с Шиу-Юэнь Ченгом ) краевой задачи для уравнения Монжа-Ампера , теорему о положительной массе в математическом анализе общей теории относительности (достигнутую совместно с Ричардом Шёном ), разрешение гипотезы Калаби , топологическую теорию минимальных поверхностей (совместно с Уильямом Миксом ), теорему Дональдсона-Уленбека-Яу (совместно с Карен Уленбек ) и градиентные оценки Ченга-Яу и Ли-Яу для уравнений в частных производных (найденные совместно с Шиу-Юэнь Ченгом и Питером Ли ). Многие из результатов Яу (в дополнение к результатам других) были записаны в учебники, написанные в соавторстве с Шёном. [SY94] [SY97]

В дополнение к своим исследованиям Яу является основателем и директором нескольких математических институтов, в основном в Китае. Джон Коутс заметил, что «ни один другой математик нашего времени не приблизился» к успеху Яу в сборе средств для математической деятельности в материковом Китае и Гонконге. [6] Во время года академического отпуска в Национальном университете Цинхуа на Тайване Чарльз Као попросил Яу основать математический институт в Китайском университете Гонконга . После нескольких лет усилий по сбору средств Яу основал многопрофильный Институт математических наук в 1993 году со своим постоянным соавтором Шиу-Юэнь Чэном в качестве заместителя директора. В 1995 году Яу помог Юнсяну Лу собрать деньги у Ронни Чана и группы Morningside Group Джеральда Чана для нового Центра математики Morningside в Китайской академии наук . Яу также принимал участие в работе Центра математических наук в Университете Чжэцзян , [20] в Университете Цинхуа , [21] в Национальном Тайваньском университете , [22] и в Санье . [23] Совсем недавно, в 2014 году, Яу собрал деньги на создание Центра математических наук и приложений (директором которого он является), Центра зеленых зданий и городов и Центра иммунологических исследований, все в Гарвардском университете. [24]

По образцу более ранней конференции по физике, организованной Цунг-Дао Ли и Чэнь-Нин Янгом , Яу предложил провести Международный конгресс китайских математиков , который теперь проводится каждые три года. Первый конгресс прошел в Morningside Center с 12 по 18 декабря 1998 года. Он является одним из организаторов ежегодных конференций «Journal of Differential Geometry» и «Current Developments in Mathematics». Яу является главным редактором Journal of Differential Geometry , [25] Asian Journal of Mathematics , [26] и Advances in Theoretical and Mathematical Physics . [27] По состоянию на 2021 год он консультировал более семидесяти аспирантов. [7]

В Гонконге при поддержке Ронни Чана Яу учредил премию Hang Lung Award для старшеклассников. Он также организовывал и принимал участие во встречах для старшеклассников и студентов колледжей, таких как панельные дискуссии Why Math? Ask Masters! в Ханчжоу , июль 2004 года, и The Wonder of Mathematics в Гонконге, декабрь 2004 года. Яу также стал одним из инициаторов серии книг о популярной математике «Математика и математические люди».

В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман опубликовал препринты в arXiv, заявляя, что доказал гипотезу геометризации Терстона и, как частный случай, известную гипотезу Пуанкаре . Хотя его работа содержала много новых идей и результатов, в его доказательствах отсутствовали подробности по ряду технических аргументов. [28] В течение следующих нескольких лет несколько математиков посвятили свое время заполнению деталей и предоставлению изложений работы Перельмана математическому сообществу. [29] Известная статья в августе 2006 года в New Yorker, написанная Сильвией Назар и Дэвидом Грубером о ситуации, привлекла внимание общественности к некоторым профессиональным спорам с участием Яу. [13] [14]

Яу утверждал, что статья Насара и Грубера была клеветнической и содержала несколько ложных утверждений, и что они не дали ему возможности представлять свою собственную сторону споров. Он рассматривал возможность подачи иска против журнала, заявляя о профессиональном ущербе, но, по его словам, решил, что недостаточно ясно, чего можно добиться таким действием. [YN19] Он создал сайт по связям с общественностью, на котором были размещены письма в ответ на статью в New Yorker от нескольких математиков, включая его самого и двух других, цитируемых в статье. [34]

В своей автобиографии Яу сказал, что его заявления в 2006 году, такие как то, что Цао и Чжу дали «первый полный и подробный отчет о доказательстве гипотезы Пуанкаре», должны были быть сформулированы более тщательно. Хотя он и считает, что работа Цао и Чжу является первым и наиболее строго подробным отчетом о работе Перельмана, он говорит, что должен был пояснить, что они «ни в коем случае не превзошли работу Перельмана». [YN19] Он также придерживался мнения, что (по состоянию на 2019 год) заключительные части доказательства Перельмана должны быть лучше поняты математическим сообществом, с соответствующей возможностью того, что останутся некоторые незамеченные ошибки.

Технический вклад в математику

Яу внес ряд крупных исследовательских вкладов, сосредоточенных на дифференциальной геометрии и ее появлении в других областях математики и науки. В дополнение к своим исследованиям Яу составил влиятельные наборы открытых проблем в дифференциальной геометрии, включая как известные старые гипотезы с новыми предложениями и проблемами. Два из наиболее широко цитируемых списков проблем Яу из 1980-х годов были обновлены с заметками о прогрессе по состоянию на 2014 год. [35] Особенно известны гипотеза о существовании минимальных гиперповерхностей и о спектральной геометрии минимальных гиперповерхностей .

гипотеза Калаби

В 1978 году, изучая комплексное уравнение Монжа–Ампера , Яу разрешил гипотезу Калаби , выдвинутую Эудженио Калаби в 1954 году. [Y78a] В качестве частного случая это показало, что метрики Кэлера–Эйнштейна существуют на любом замкнутом кэлеровом многообразии , первый класс Черна которого неположителен. Метод Яу адаптировал более ранние работы Калаби, Юргена Мозера и Алексея Погорелова , разработанные для квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных и вещественного уравнения Монжа–Ампера , к заданию комплексного уравнения Монжа–Ампера. [36] [37] [38] [39]

Понимание гипотезы Калаби в некомпактной обстановке менее определенно. Ган Тянь и Яу расширили анализ Яу комплексного уравнения Монжа-Ампера на некомпактную обстановку, где использование функций обрезания и соответствующих интегральных оценок потребовало условного предположения об определенной контролируемой геометрии вблизи бесконечности. [TY90] Это сводит проблему к вопросу о существовании метрик Кэхлера с такими асимптотическими свойствами; они получили такие метрики для определенных гладких квазипроективных комплексных многообразий . Позднее они расширили свою работу, чтобы разрешить орбифолдные особенности . [TY91] Совместно с Брайаном Грином , Альфредом Шапере и Кумруном Вафой Яу ввел анзац для метрики Кэхлера на множестве регулярных точек определенных сюръективных голоморфных отображений с кривизной Риччи, приблизительно равной нулю. [G+90] Они смогли применить теорему существования Тиана-Яу для построения метрики Кэлера, которая является в точности плоской Риччи. Анзац Грина-Шапере-Вафы-Яу и его естественное обобщение, теперь известное как полуплоская метрика , стали важными в нескольких анализах проблем в геометрии Кэлера. [44] [45]

Скалярная кривизна и общая теория относительности

Теорему о положительной энергии, полученную Яу в сотрудничестве со своим бывшим аспирантом Ричардом Шоеном , можно описать в физических терминах:

В общей теории относительности Эйнштейна гравитационная энергия изолированной физической системы неотрицательна.

Однако это точная теорема дифференциальной геометрии и геометрического анализа , в которой физические системы моделируются римановыми многообразиями с неотрицательностью определенной обобщенной скалярной кривизны . Таким образом, подход Шёна и Яу возник в их исследовании римановых многообразий положительной скалярной кривизны, что само по себе представляет интерес. Отправной точкой анализа Шёна и Яу является их определение простого, но нового способа вставки уравнений Гаусса–Кодацци в формулу второй вариации для площади устойчивой минимальной гиперповерхности трехмерного риманова многообразия. Теорема Гаусса–Бонне тогда сильно ограничивает возможную топологию такой поверхности, когда окружающее многообразие имеет положительную скалярную кривизну. [SY79a] [46] [47]

Шен и Яу использовали это наблюдение, найдя новые конструкции стабильных минимальных гиперповерхностей с различными контролируемыми свойствами. [SY79a] Некоторые из их результатов существования были разработаны одновременно с аналогичными результатами Джонатана Сакса и Карен Уленбек , с использованием других методов. Их фундаментальный результат заключается в существовании минимальных погружений с предписанным топологическим поведением. В результате их вычислений с помощью теоремы Гаусса–Бонне они смогли заключить, что некоторые топологически выделенные трехмерные многообразия не могут иметь никакой римановой метрики неотрицательной скалярной кривизны. [48] [49]

Затем Шен и Яу адаптировали свою работу к установке определенных римановых асимптотически плоских начальных наборов данных в общей теории относительности . Они доказали, что отрицательность массы позволит использовать задачу Плато для построения устойчивых минимальных поверхностей, которые являются геодезически полными . Некомпактный аналог их вычисления с теоремой Гаусса–Бонне затем дает логическое противоречие отрицательности массы. Таким образом, они смогли доказать теорему о положительной массе в частном случае своих римановых начальных наборов данных. [SY79c] [50]

Шен и Яу расширили это до полной лоренцевской формулировки теоремы о положительной массе, изучив уравнение в частных производных, предложенное Понг-Су Джангом. Они доказали, что решения уравнения Джанга существуют вдали от видимых горизонтов черных дыр, на которых решения могут расходиться до бесконечности. [SY81] Связав геометрию лоренцевского набора начальных данных с геометрией графика такого решения уравнения Джанга, интерпретируя последнее как риманов набор начальных данных, Шен и Яу доказали полную теорему о положительной энергии. [50] Более того, путем обратного проектирования своего анализа уравнения Джанга они смогли установить, что любая достаточная концентрация энергии в общей теории относительности должна сопровождаться видимым горизонтом. [SY83]

Из-за использования теоремы Гаусса–Бонне эти результаты изначально были ограничены случаем трехмерных римановых многообразий и четырехмерных лоренцевых многообразий. Шен и Яу установили индукцию по размерности, построив римановы метрики положительной скалярной кривизны на минимальных гиперповерхностях римановых многообразий, имеющих положительную скалярную кривизну. [SY79b] Такие минимальные гиперповерхности, которые были построены с помощью геометрической теории меры Фредериком Альмгреном и Гербертом Федерером , как правило, не являются гладкими в больших размерностях, поэтому эти методы напрямую применимы только для римановых многообразий размерности меньше восьми. Без каких-либо ограничений по размерности Шен и Яу доказали теорему о положительной массе в классе локально конформно плоских многообразий. [SY88] [36] В 2017 году Шоен и Яу опубликовали препринт, в котором утверждали, что разрешили эти трудности, тем самым доказав индукцию без размерных ограничений и проверив теорему Римана о положительной массе в произвольной размерности.

Герхард Хейскен и Яу провели дальнейшее исследование асимптотической области римановых многообразий со строго положительной массой. Ранее Хейскен инициировал изучение сохраняющего объем потока средней кривизны гиперповерхностей евклидова пространства . [51] Хейскен и Яу адаптировали его работу к римановой постановке, доказав долговременную теорему существования и сходимости для потока. В качестве следствия они установили новую геометрическую особенность многообразий с положительной массой, которая заключается в том, что их асимптотические области расслаиваются поверхностями постоянной средней кривизны . [HY96]

Принцип максимума Омори-Яу

Традиционно метод принципа максимума применяется только непосредственно к компактным пространствам , поскольку тогда гарантируется существование максимумов. В 1967 году Хидеки Омори нашел новый принцип максимума, который применяется к некомпактным римановым многообразиям , секционные кривизны которых ограничены снизу. Тривиально, что приближенные максимумы существуют; Омори дополнительно доказал существование приближенных максимумов, где значения градиента и вторых производных соответствующим образом контролируются. Яу частично расширил результат Омори, потребовав только нижнюю границу кривизны Риччи ; результат известен как принцип максимума Омори-Яу. [Y75b] Такая общность полезна из-за появления кривизны Риччи в формуле Бохнера , где нижняя граница также обычно используется в алгебраических манипуляциях. Помимо предоставления очень простого доказательства самого принципа, Шиу-Юэнь Ченг и Яу смогли показать, что предположение о кривизне Риччи в принципе максимума Омори-Яу можно заменить предположением о существовании отсекающих функций с определенной контролируемой геометрией. [CY75] [36] [52] [53] [54]

Яу смог напрямую применить принцип Омори-Яу для обобщения классической леммы Шварца-Пика комплексного анализа . Ларс Альфорс , среди прочих, ранее обобщил лемму на случай римановых поверхностей . С помощью своих методов Яу смог рассмотреть случай отображения полного кэлерова многообразия (с нижней границей кривизны Риччи) в эрмитово многообразие с голоморфной бисекционной кривизной, ограниченной сверху отрицательным числом. [Y78b] [40] [54]

Ченг и Яу широко использовали свой вариант принципа Омори-Яу для нахождения метрик Кэлера-Эйнштейна на некомпактных кэлеровых многообразиях в соответствии с анзацем, разработанным Чарльзом Фефферманом . Оценки, используемые в методе непрерывности, были не такими сложными, как в более ранней работе Яу по гипотезе Калаби, из-за того, что Ченг и Яу рассматривали только метрики Кэлера-Эйнштейна с отрицательной скалярной кривизной. Более тонкий вопрос, в котором более ранняя работа Феффермана стала важной, связан с геодезической полнотой . В частности, Ченг и Яу смогли найти полные метрики Кэлера-Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны на любом ограниченном, гладком и строго псевдовыпуклом подмножестве комплексного евклидова пространства . [CY80] Их можно рассматривать как сложные геометрические аналоги шаровой модели Пуанкаре гиперболического пространства . [40] [55]

Дифференциальные неравенства Гарнака

Первоначальное применение принципа максимума Омори-Яу Яу состояло в установлении оценок градиента для ряда эллиптических уравнений с частными производными второго порядка . [Y75b] Учитывая функцию на полном и гладком римановом многообразии, которая удовлетворяет различным условиям, связывающим лапласиан со значениями функции и градиента, Яу применил принцип максимума к различным сложным составным выражениям для управления размером градиента. Хотя задействованные алгебраические манипуляции сложны, концептуальная форма доказательства Яу поразительно проста. [56] [52]

Новые градиентные оценки Яу стали называться «дифференциальными неравенствами Гарнака», поскольку их можно интегрировать по произвольным путям для восстановления неравенств, которые имеют форму классических неравенств Гарнака , напрямую сравнивая значения решения дифференциального уравнения в двух различных входных точках. Используя исследование Калаби функции расстояния на римановом многообразии, Яу и Шиу-Юэнь Ченг дали мощную локализацию градиентных оценок Яу, используя те же методы для упрощения доказательства принципа максимума Омори-Яу. [CY75] Такие оценки широко цитируются в частном случае гармонических функций на римановом многообразии, хотя оригинальные результаты Яу и Ченг-Яу охватывают более общие сценарии. [56] [52]

В 1986 году Яу и Питер Ли использовали те же методы для изучения параболических уравнений в частных производных на римановых многообразиях. [LY86] [52] Ричард Гамильтон обобщил их результаты в определенных геометрических условиях на матричные неравенства. Аналоги неравенств Ли-Яу и Гамильтона-Ли-Яу имеют большое значение в теории потока Риччи , где Гамильтон доказал матричное дифференциальное неравенство Гарнака для оператора кривизны некоторых потоков Риччи, а Григорий Перельман доказал дифференциальное неравенство Гарнака для решений обратного уравнения теплопроводности, связанного с потоком Риччи. [57] [56]

Ченг и Яу смогли использовать свои дифференциальные оценки Харнака, чтобы показать, что при определенных геометрических условиях замкнутые подмногообразия полных римановых или псевдоримановых пространств сами являются полными. Например, они показали, что если M является пространственноподобной гиперповерхностью пространства Минковского, которая топологически замкнута и имеет постоянную среднюю кривизну, то индуцированная риманова метрика на M является полной. [CY76a] Аналогично они показали, что если M является аффинной гиперсферой аффинного пространства, которое топологически замкнуто, то индуцированная аффинная метрика на M является полной. [CY86] Такие результаты достигаются путем вывода дифференциального неравенства Харнака для (квадрата) функции расстояния до заданной точки и интегрирования вдоль внутренне определенных путей.

Теорема Дональдсона-Уленбека-Яу

В 1985 году Саймон Дональдсон показал, что над неособым проективным многообразием комплексной размерности два голоморфное векторное расслоение допускает эрмитову связность Янга–Миллса тогда и только тогда, когда расслоение устойчиво. Результат Яу и Карен Уленбек обобщил результат Дональдсона, чтобы разрешить компактное кэлерово многообразие любой размерности. [UY86] Метод Уленбека–Яу опирался на эллиптические уравнения в частных производных, в то время как метод Дональдсона использовал параболические уравнения в частных производных, примерно параллельно эпохальной работе Иллса и Сэмпсона по гармоническим отображениям . Результаты Дональдсона и Уленбека–Яу с тех пор были расширены другими авторами. Статья Уленбека и Яу важна тем, что дает ясную причину того, что устойчивость голоморфного векторного расслоения может быть связана с аналитическими методами, используемыми при построении эрмитовой связности Янга–Миллса. Основной механизм заключается в том, что если аппроксимирующая последовательность эрмитовых связей не сходится к требуемой связи Янга–Миллса, то их можно масштабировать заново, чтобы они сходились к подпучку, который можно проверить как дестабилизирующий с помощью теории Черна–Вейля . [38] [58]

Как и теорема Калаби–Яу , теорема Дональдсона–Уленбека–Яу представляет интерес для теоретической физики. [42] В интересах соответствующей общей формулировки суперсимметрии Эндрю Строминджер включил эрмитово условие Янга–Миллса как часть своей системы Строминджера , предложение о расширении условия Калаби–Яу на некэлеровы многообразия. [41] Цзи-Сян Фу и Яу ввели анзац для решения системы Строминджера на некоторых трехмерных комплексных многообразиях , сведя задачу к комплексному уравнению Монжа–Ампера, которое они решили. [FY08]

Решение Яу гипотезы Калаби дало достаточно полный ответ на вопрос о том, как метрики Кэлера на компактных комплексных многообразиях неположительного первого класса Черна могут быть деформированы в метрики Кэлера–Эйнштейна. [Y78a] Акито Футаки показал, что существование голоморфных векторных полей может служить препятствием для прямого расширения этих результатов на случай, когда комплексное многообразие имеет положительный первый класс Черна. [40] Предложение Калаби предполагало, что метрики Кэлера–Эйнштейна существуют на любых компактных кэлеровых многообразиях с положительным первым классом Черна, которые не допускают голоморфных векторных полей. [Y82b] В 1980-х годах Яу и другие пришли к пониманию того, что этот критерий не может быть достаточным. Вдохновленный теоремой Дональдсона-Уленбека-Яу, Яу предположил, что существование метрик Кэлера-Эйнштейна должно быть связано с устойчивостью комплексного многообразия в смысле геометрической теории инвариантов , с идеей изучения голоморфных векторных полей вдоль проективных вложений, а не голоморфных векторных полей на самом многообразии. [Y93][Y14a] Последующие исследования Ган Тяня и Саймона Дональдсона уточнили эту гипотезу, которая стала известна как гипотеза Яу-Тяня-Дональдсона, связывающая метрики Кэлера-Эйнштейна и K-устойчивость . В 2019 году Сюсюн Чэнь , Дональдсон и Сун Сунь были награждены премией Освальда Веблена за разрешение этой гипотезы. [59]

Геометрические вариационные задачи

В 1982 году Ли и Яу разрешили гипотезу Уиллмора в невложенном случае. [LY82] Точнее, они установили, что при любом гладком погружении замкнутой поверхности в 3-сферу, которое не является вложением, энергия Уиллмора ограничена снизу 8π. Это дополняется результатом 2012 года Фернандо Маркеса и Андре Невеса , который говорит, что в альтернативном случае гладкого вложения 2-мерного тора S 1 × S 1 энергия Уиллмора ограничена снизу 2π 2 . [60] Вместе эти результаты составляют полную гипотезу Уиллмора, первоначально сформулированную Томасом Уиллмором в 1965 году. Хотя их предположения и выводы довольно похожи, методы Ли-Яу и Маркеса-Невеса различны. Тем не менее, они оба опираются на структурно похожие минимаксные схемы. Маркес и Невес по-новому использовали теорию минимума-максимума Альмгрена–Питтса функционала площади из геометрической теории меры ; подход Ли и Яу зависел от их нового «конформного инварианта», который является минимально-максимальной величиной, основанной на энергии Дирихле . Основная работа их статьи посвящена связи их конформного инварианта с другими геометрическими величинами.

Уильям Микс и Яу получили некоторые основополагающие результаты о минимальных поверхностях в трехмерных многообразиях, пересмотрев вопросы, оставленные открытыми в более ранних работах Джесси Дугласа и Чарльза Морри . [MY82] [46] Следуя этим основам, Микс, Леон Саймон и Яу дали ряд фундаментальных результатов о поверхностях в трехмерных римановых многообразиях, которые минимизируют площадь в пределах своего класса гомологии. [MSY82] Они смогли дать ряд поразительных приложений. Например, они показали, что если M является ориентируемым 3-многообразием, таким что каждое гладкое вложение 2-сферы может быть продолжено до гладкого вложения единичного шара, то то же самое верно для любого накрывающего пространства M. Интересно, что статья Микса-Саймона-Яу и основополагающая статья Гамильтона о потоке Риччи , опубликованные в том же году, имеют общий результат, полученный совершенно разными методами: любое односвязное компактное 3-мерное риманово многообразие с положительной кривизной Риччи диффеоморфно 3-сфере.

Теоремы геометрической жесткости

В геометрии подмногообразий важны как внешняя, так и внутренняя геометрии. Они отражены во внутренней римановой метрике и второй фундаментальной форме . Многие геометры рассматривали явления, возникающие при ограничении этих данных некоторой формой постоянства. Это включает в себя как частные случаи проблемы минимальных поверхностей , постоянной средней кривизны и подмногообразий, метрика которых имеет постоянную скалярную кривизну .

За пределами постановки проблем жесткости подмногообразий Яу смог адаптировать метод Юргена Мозера доказательства неравенств Каччиопполи, тем самым доказав новые результаты жесткости для функций на полных римановых многообразиях. Особенно известный его результат гласит, что субгармоническая функция не может быть одновременно положительной и L p интегрируемой, если она не является константой. [Y76] [52] [65] Аналогично, на полном кэлеровом многообразии голоморфная функция не может быть L p интегрируемой, если она не является константой. [Y76]

Задача Минковского и уравнение Монжа–Ампера

Проблему Минковского классической дифференциальной геометрии можно рассматривать как проблему задания гауссовой кривизны . В 1950-х годах Луи Ниренберг и Алексей Погорелов решили проблему для двумерных поверхностей, используя недавний прогресс в уравнении Монжа–Ампера для двумерных областей. К 1970-м годам понимание уравнения Монжа–Ампера в более высоких измерениях все еще отсутствовало. В 1976 году Шиу-Юэнь Чэн и Яу решили проблему Минковского в общих измерениях с помощью метода непрерывности , используя полностью геометрические оценки вместо теории уравнения Монжа–Ампера. [CY76b] [66]

В результате решения проблемы Минковского Ченг и Яу смогли добиться прогресса в понимании уравнения Монжа-Ампера. [CY77a] Ключевое наблюдение заключается в том, что преобразование Лежандра решения уравнения Монжа-Ампера имеет гауссову кривизну графика, предписанную простой формулой, зависящей от «правой стороны» уравнения Монжа-Ампера. В результате им удалось доказать общую разрешимость задачи Дирихле для уравнения Монжа-Ампера, которая в то время была основным открытым вопросом, за исключением двумерных областей. [66]

Статьи Ченга и Яу следовали некоторым идеям, представленным в 1971 году Погореловым, хотя его общедоступные работы (во время работы Ченга и Яу) не содержали некоторых существенных деталей. [67] Погорелов также опубликовал более подробную версию своих первоначальных идей, и решения проблем обычно приписываются как Ченгу–Яу, так и Погорелову. [68] [66] Подходы Ченга–Яу и Погорелова больше не встречаются в литературе по уравнению Монжа–Ампера, поскольку другие авторы, в частности Луис Каффарелли , Ниренберг и Джоэл Спрак , разработали прямые методы, которые дают более мощные результаты и не требуют вспомогательного использования задачи Минковского. [68]

Аффинные сферы естественным образом описываются решениями некоторых уравнений Монжа–Ампера, так что их полное понимание значительно сложнее, чем понимание евклидовых сфер, которые не основаны на частных дифференциальных уравнениях . В параболическом случае аффинные сферы были полностью классифицированы как параболоиды последовательными работами Конрада Йоргенса , Эугенио Калаби и Погорелова. Эллиптические аффинные сферы были идентифицированы как эллипсоиды Калаби. Гиперболические аффинные сферы демонстрируют более сложные явления. Ченг и Яу доказали, что они асимптотически выпуклы к выпуклым конусам, и наоборот, что каждый (равномерно) выпуклый конус соответствует таким образом некоторой гиперболической аффинной сфере. [CY86] Они также смогли предоставить новые доказательства предыдущих классификаций Калаби и Йоргенса–Калаби–Погорелова. [66] [69]

Зеркальная симметрия

Многообразие Калаби–Яу — это компактное кэлерово многообразие, которое является риччи-плоским; как частный случай проверки Яу гипотезы Калаби, такие многообразия, как известно, существуют. [Y78a] Зеркальная симметрия, которая является предложением, разработанным физиками-теоретиками в конце 1980-х годов, постулирует, что многообразия Калаби–Яу комплексной размерности три могут быть сгруппированы в пары, которые имеют определенные общие характеристики, такие как числа Эйлера и Ходжа. Основываясь на этой предполагаемой картине, физики Филипп Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс предложили формулу исчислительной геометрии , которая кодирует число рациональных кривых любой фиксированной степени в общей гиперповерхности пятой степени четырехмерного комплексного проективного пространства . Бонг Лиан, Кефэн Лю и Яу дали строгое доказательство того, что эта формула верна. [LLY97] Годом ранее Александр Гивенталь опубликовал доказательство зеркальных формул; по словам Лиана, Лю и Яу, детали его доказательства были успешно дополнены только после их собственной публикации. [30] Доказательства Гивенталя и Лиана–Лю–Яу частично совпадают, но представляют собой различные подходы к проблеме, и с тех пор каждое из них получило свое изложение в учебнике. [70] [71]

Работы Гивенталя и Лиан-Лю-Яу подтверждают предсказание, сделанное более фундаментальной гипотезой зеркальной симметрии о том, как трехмерные многообразия Калаби-Яу могут быть объединены в пары. Однако их работы логически не зависят от самой гипотезы и, таким образом, не имеют непосредственного отношения к ее справедливости. Совместно с Эндрю Стромингером и Эриком Заслоу Яу предложил геометрическую картину того, как зеркальная симметрия может быть систематически понята, и доказал ее истинность. [SYZ96] Их идея заключается в том, что многообразие Калаби-Яу с комплексной размерностью три должно быть расслаено специальными лагранжевыми торами, которые являются определенными типами трехмерных минимальных подмногообразий шестимерного риманова многообразия, лежащего в основе структуры Калаби-Яу. Зеркальные многообразия тогда характеризовались бы, в терминах этой предполагаемой структуры, наличием дуальных слоений. Предложение Стромингера-Яу-Заслоу (SYZ) было изменено и развито различными способами с 1996 года. Концептуальная картина, которую оно предоставляет, оказала значительное влияние на изучение зеркальной симметрии, и исследования по ее различным аспектам в настоящее время являются активной областью. Его можно противопоставить альтернативному предложению гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича . Точка зрения гипотезы SYZ касается геометрических явлений в пространствах Калаби-Яу, в то время как гипотеза Концевича абстрагирует проблему, чтобы иметь дело с чисто алгебраическими структурами и теорией категорий . [37] [44] [70] [71]

Сравнение геометрии

В одной из самых ранних работ Яу, написанной совместно с Блейном Лоусоном , был найден ряд фундаментальных результатов по топологии замкнутых римановых многообразий с неположительной кривизной. [LY72] Их теорема о плоском торе характеризует существование плоского и полностью геодезического погруженного тора в терминах алгебры фундаментальной группы . Теорема о расщеплении гласит, что расщепление фундаментальной группы как максимально некоммутативного прямого произведения влечет изометрическое расщепление самого многообразия. Аналогичные результаты были получены в то же время Детлефом Громоллом и Джозефом Вольфом . [72] [73] Их результаты были распространены на более широкий контекст изометрических действий групп на метрических пространствах неположительной кривизны . [74]

Джефф Чигер и Яу изучали тепловое ядро ​​на римановом многообразии. Они установили особый случай римановой метрики, для которой геодезические сферы имеют постоянную среднюю кривизну , которая, как они доказали, характеризуется радиальной симметрией теплового ядра. [CY81] Специализируясь на вращательно-симметричных метриках, они использовали экспоненциальное отображение для трансплантации теплового ядра на геодезический шар на общем римановом многообразии. В предположении, что симметричное «модельное» пространство недооценивает кривизну Риччи самого многообразия, они провели прямой расчет, показывающий, что полученная функция является подрешением уравнения теплопроводности . Как следствие, они получили нижнюю оценку теплового ядра на общем римановом многообразии в терминах нижних границ его кривизны Риччи. [75] [76] В частном случае неотрицательной кривизны Риччи Питер Ли и Яу смогли использовать свои оценки градиента для усиления и улучшения оценки Чигера-Яу. [LY86] [52]

Известный результат Яу, полученный независимо Калаби, показывает, что любое некомпактное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи должно иметь рост объема по крайней мере с линейной скоростью. [Y76] [52] Второе доказательство, использующее неравенство Бишопа–Громова вместо теории функций, было позже найдено Чигером, Михаилом Громовым и Майклом Тейлором .

Спектральная геометрия

Для гладкого компактного риманова многообразия с границей или без нее спектральная геометрия изучает собственные значения оператора Лапласа–Бельтрами , который в случае, когда многообразие имеет границу, связан с выбором граничного условия, обычно условий Дирихле или Неймана. Пол Янг и Яу показали, что в случае замкнутого двумерного многообразия первое собственное значение ограничено сверху явной формулой, зависящей только от рода и объема многообразия. [YY80] [46] Ранее Яу модифицировал анализ Джеффа Чигера константы Чигера таким образом, чтобы иметь возможность оценить первое собственное значение снизу в терминах геометрических данных. [Y75a] [77]

В 1910-х годах Герман Вейль показал, что в случае граничных условий Дирихле на гладком и ограниченном открытом подмножестве плоскости собственные значения имеют асимптотическое поведение, которое полностью определяется площадью, содержащейся в области. Его результат известен как закон Вейля . В 1960 году Джордж Полиа предположил, что закон Вейля фактически дает контроль над каждым отдельным собственным значением, а не только над их асимптотическим распределением. Ли и Яу доказали ослабленную версию гипотезы Полиа, получив контроль над средними собственными значениями с помощью выражения в законе Вейля. [LY83] [78]

В 1980 году Ли и Яу определили ряд новых неравенств для собственных значений Лапласа–Бельтрами, все из которых основаны на принципе максимума и дифференциальных оценках Гарнака, впервые предложенных пятью годами ранее Яу и Ченг-Яу. [LY80] Их результат о нижних границах, основанных на геометрических данных, особенно известен [79] [56] [52] и был первым в своем роде, не требующим никаких условных предположений. [80] Примерно в то же время похожее неравенство было получено изопериметрическими методами Михаилом Громовым , хотя его результат слабее, чем у Ли и Яу. [75] В сотрудничестве с Айседорой Сингер , Бан Вонгом и Шинг-Тунг Яу Яу использовал методологию Ли–Яу, чтобы установить градиентную оценку для частного первых двух собственных функций. [S+85] Аналогично интеграции Яу оценок градиента для нахождения неравенств Гарнака, они смогли интегрировать свою оценку градиента для получения контроля над фундаментальным зазором, который является разницей между первыми двумя собственными значениями. Работа Сингера–Вонга–Яу–Яу инициировала серию работ разных авторов, в которых были найдены и улучшены новые оценки фундаментального зазора. [81]

В 1982 году Яу определил четырнадцать проблем, представляющих интерес в спектральной геометрии, включая вышеупомянутую гипотезу Полиа. [Y82b] Конкретная гипотеза Яу о контроле размера множеств уровня собственных функций значением соответствующего собственного значения была решена Александром Логуновым и Евгенией Малинниковой , которые были награждены премией Клэя за исследования 2017 года отчасти за свою работу. [82]

Дискретная и вычислительная геометрия

Сяньфэн Гу и Яу рассмотрели численное вычисление конформных отображений между двумерными многообразиями (представленными как дискретизированные сетки), и в частности вычисление униформизирующих отображений, как предсказывает теорема об униформизации . В случае поверхностей рода ноль отображение является конформным тогда и только тогда, когда оно гармонично, и поэтому Гу и Яу способны вычислять конформные отображения путем прямой минимизации дискретизированной энергии Дирихле . [GY02] В случае более высокого рода униформизирующие отображения вычисляются из их градиентов, как определено из теории Ходжа замкнутых и гармонических 1-форм. [GY02] Таким образом, основная работа заключается в выявлении численно эффективных дискретизаций классической теории. Их подход достаточно гибок, чтобы иметь дело с общими поверхностями с границей. [GY03] [83] С Тони Чаном , Полом Томпсоном и Ялином Ваном, Гу и Яу применили свою работу к проблеме сопоставления двух мозговых поверхностей, что является важным вопросом в медицинской визуализации . В наиболее релевантном случае нулевого рода конформные карты хорошо определены только до действия группы Мёбиуса . Путем дальнейшей оптимизации энергии типа Дирихле, которая измеряет несоответствие мозговых ориентиров, таких как центральная борозда , они получили отображения, которые хорошо определены такими неврологическими особенностями. [G+04]

В области теории графов Фан Чунг и Яу широко разработали аналоги понятий и результатов из римановой геометрии. Эти результаты по дифференциальным неравенствам Гарнака, неравенствам Соболева и анализу теплового ядра , найденные частично в сотрудничестве с Рональдом Грэмом и Александром Григорьяном, были позже записаны в форме учебника в качестве последних нескольких глав ее известной книги «Спектральная теория графов». [84] Позже они ввели функцию Грина , определенную для графов, что составляет псевдообратную функцию Лапласа графа . [ CY00] Их работа естественным образом применима к изучению времени достижения для случайных блужданий и связанных с ними тем. [85] [86]

В интересах поиска общих теоретико-графовых контекстов для своих результатов Чунг и Яу ввели понятие Риччи-плоскости графа. [84] Более гибкое понятие кривизны Риччи, касающееся цепей Маркова на метрических пространствах , было позже введено Яном Оливье. Юн Линь, Линьюань Лу и Яу разработали некоторые из основных теоретических определений Оливье в специальном контексте теории графов, рассматривая, например, кривизну Риччи случайных графов Эрдёша–Реньи . [LLY11] Линь и Яу также рассмотрели неравенства кривизна–размерность, введенные ранее Домиником Бакри и Мишелем Эмери, связав его и кривизну Оливье с понятием Риччи-плоскости Чунга–Яу. [LY10] Им также удалось доказать общие нижние оценки кривизн Бакри–Эмери и Оливье в случае локально конечных графов. [87]

Почести и награды

Яу получил почетные профессорские звания от многих китайских университетов, включая Hunan Normal University , Peking University , Nankai University и Tsinghua University . Он имеет почетные степени от многих международных университетов, включая Harvard University , Chinese University of Hong Kong и University of Waterloo . Он является иностранным членом Национальных академий наук Китая, Индии и России.

Среди его наград:

Основные публикации

Научные статьи. Яу является автором более пятисот статей. Ниже приведены наиболее цитируемые из них:

Обзорные статьи и публикации собраний сочинений.

Учебники и технические монографии.

Популярные книги.

Ссылки

  1. ^ «Вопросы и ответы с Шин-Тун Яу», Physics Today , 11 апреля 2016 г.
  2. ^ ab Ling, Xin (2022-04-21). «Китайский гений математики покидает Гарвард, чтобы помочь Китаю стать лидером в этом предмете». South China Morning Post . Получено 2022-04-22 .
  3. ^ Альберс, Дональд Дж.; Александерсон, Г.Л.; Рейд, Констанс. Международные математические конгрессы. Иллюстрированная история 1893-1986. Пересмотренное издание, включая ICM 1986. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1986
  4. ^ "丘成桐院士关注家乡蕉岭仓海诗廊文化建设项" [Яу посетил место своего рождения]. Восточный день (на китайском языке). 6 июня 2018 года. Архивировано из оригинала 17 августа 2019 года . Проверено 17 августа 2019 г.
  5. ^ Синобу Хосоно. Интервью с Шинг-Туг Яу.
  6. ^ ab Page в Центре математических наук в Чжэцзянском университете
  7. ^ ab Шинг-Тунг Яу. Математическая генеалогия.
  8. ^ abcdef О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (декабрь 2023 г.). «Шинг-Тунг Яу (1949–)». MacTutor Архив истории математики . Проверено 26 апреля 2024 г.
  9. ^ «Калифорнийский университет в Сан-Диего: Внешние связи: Новости и информация: Пресс-релизы: Наука».
  10. ^ "Яу, Шинг-Тунг".
  11. ^ ab "Стивен Хокинг пригласил меня обсудить [доказательство] с ним в Кембриджском университете в конце августа 1978 года. Я с радостью согласился... Однако поездка была затруднена, поскольку британское консульство недавно изъяло мою карту резидента Гонконга, заявив, что я не могу оставить ее себе, поскольку у меня есть грин-карта США. В результате я стал лицом без гражданства. Я больше не был гражданином какой-либо страны... пока не стал гражданином США в 1990 году". [YN19] : 125 
  12. ^ Согласно китайскому закону о гражданстве , он был гражданином Китая по происхождению и рождению и оставался таковым до своей натурализации.
  13. ^ ab Nasar, Sylvia; Gruber, David (26 августа 2006 г.). «Manifold Destiny: A legend problem and the battle over who resolver». New Yorker . Получено 26 февраля 2020 г. .
  14. ^ ab Overbye, Dennis (17 октября 2006 г.). «Ученый за работой: Шин-Тун Яу — император математики». The New York Times . Получено 14 сентября 2013 г. Он стал гражданином Соединенных Штатов в 1990 г.
  15. ^ Ruane, PN (9 ноября 2010 г.). "обзор книги Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия Вселенной Шинг-Тунг Яу и Стива Надиса". Обзоры MAA, Математическая ассоциация Америки .
  16. ^ Ван, Лифан (2016). "рецензия на книгу Стива Надиса и Шин-Тунг Яу « От Великой стены до Великого коллайдера: Китай и поиски внутреннего устройства Вселенной ». Physics Today . 69 (4): 54. doi :10.1063/PT.3.3140.
  17. ^ Ruane, PN (12 февраля 2016 г.). "рецензия на книгу От Великой стены до Великого коллайдера". Обзоры MAA, Математическая ассоциация Америки .
  18. ^ Гудштейн, Джудит (2019). «Одиссея математика (рецензия на книгу «Форма жизни» Шинг-Тунг Яу и Стива Надиса)». American Scientist . 107 (4): 248–250.
  19. ^ "Шинг-Тунг Яу, математик из Калифорнийского университета в Сан-Диего, награжден медалью Филдса". В "Новостных выпусках", вторая серия материалов по связям с общественностью Университета. RSS 6020. Специальные коллекции и архивы, Калифорнийский университет в Сан-Диего
  20. ^ Директор центра. Центр математических наук, Чжэцзянский университет.
  21. ^ О. Центр математических наук Яу при Университете Цинхуа.
  22. ^ Справочник. Институт прикладных математических наук при Национальном тайваньском университете.
  23. ^ Международный математический форум Цинхуа-Санья.
  24. ^ «О – CMSA».
  25. ^ Редакционная коллегия журнала дифференциальной геометрии.
  26. ↑ Редакционная коллегия Азиатского журнала математики.
  27. ^ Редакционная коллегия журнала «Успехи теоретической и математической физики».
  28. ^ Джексон, Аллин (сентябрь 2006 г.). «Больше никаких гипотез? Формирование консенсуса по доказательству гипотез Пуанкаре и геометризации» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (8): 897–901.
  29. ^ «Русский сообщает, что он решил знаменитую математическую задачу». New York Times (15 апреля 2003 г.). Сара Робинсон.
  30. ^ ab Для обеих сторон спора см.:
    • Лиан, Бонг; Лю, Кефенг (2006). "О гипотезе зеркала" (PDF) . Перепечатано в Ji et al. (2014a). Архивировано из оригинала 2007-01-04.{{cite web}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
    и сноска 17 в
    • Givental, Alexander (1998). «Эллиптические инварианты Громова–Виттена и обобщенная гипотеза зеркала». В Saito, M.-H.; Shimizu, Y.; Ueno, K. (ред.). Интегрируемые системы и алгебраическая геометрия . 41-й симпозиум Танигучи, состоявшийся в Кобе (30 июня–4 июля 1997 г.) и в Научно-исследовательском институте математических наук Киотского университета, Киото (7–11 июля 1997 г.). River Edge, NJ: World Scientific . стр. 107–155. arXiv : math/9803053 . MR  1672116. Zbl  0961.14036.
  31. ↑ Известный ученый критикует академическую коррупцию в Китае. Архивировано 17 сентября 2008 г. на Wayback Machine , China View (Синьхуа), 17 августа 2006 г. Получено 5 августа 2008 г.
  32. ^ Синь, Хао (2006). «Растет разочарование из-за дорогостоящей охоты Китая за трофейными профессорами». Science . 313 (5794): 1721–1723. doi :10.1126/science.313.5794.1721. PMID  16990526. S2CID  35979069.
  33. ^ Решение старой математической задачи. Премия Nets Award, Trouble. Национальное общественное радио (2006).
  34. ↑ Сайт Яу с информацией о его судебном иске и письмом в The New Yorker
  35. ↑ См. переиздания [Y82b] и [Y93] в томе I [Y14] .
  36. ^ abcde Aubin, Thierry (1998). Некоторые нелинейные проблемы в римановой геометрии . Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN 3-540-60752-8. MR  1636569. Zbl  0896.53003.
  37. ^ abc Джойс, Доминик Д. (2007). Римановы группы голономии и калиброванная геометрия . Oxford Graduate Texts in Mathematics. Том 12. Оксфорд: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921559-1. MR  2292510. Zbl  1200.53003.
  38. ^ ab Siu, Yum Tong (1987). Лекции по метрикам Эрмита–Эйнштейна для стабильных расслоений и метрикам Кэлера–Эйнштейна . Семинар DMV. Том 8. Базель: Birkhäuser Verlag . doi :10.1007/978-3-0348-7486-1. ISBN 3-7643-1931-3. MR  0904673. Zbl  0631.53004.
  39. ^ Тиан, Банда (2000). Канонические метрики в кэлеровой геометрии . Лекции по математике ETH Zürich. Заметки сделаны Майке Аквельдом . Базель: Birkhäuser Verlag . дои : 10.1007/978-3-0348-8389-4. ISBN 3-7643-6194-8. MR  1787650. Zbl  0978.53002.
  40. ^ abcde Besse, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Том. 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2. MR  0867684. Zbl  0613.53001.
  41. ^ ab Беккер, Катрин; Беккер, Мелани; Шварц, Джон Х. (2007). Теория струн и М-теория. Современное введение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . doi :10.1017/CBO9780511816086. ISBN 978-0-521-86069-7. MR  2285203. Zbl  1123.81001.
  42. ^ ab Грин, Майкл Б .; Шварц, Джон Х.; Виттен , Эдвард (2012). Теория суперструн. Том 2. Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология (издание к 25-летию оригинального издания 1987 г.). Кембридж: Cambridge University Press . Bibcode : 2012stla.book.....G. doi : 10.1017/CBO9781139248570. ISBN 978-1-107-02913-2. MR  3155202. Zbl  1245.53003.
  43. ^ Хюбш, Тристан (1992). Многообразия Калаби–Яу. Бестиарий для физиков . River Edge, NJ: World Scientific . Bibcode : 1992cymb.book.....H. doi : 10.1142/1410. ISBN 981-02-0662-3. MR  1177829. Zbl  0771.53002.
  44. ^ ab Aspinwall, Paul S. ; Bridgeland, Tom ; Craw, Alastair; Douglas, Michael R. ; Gross, Mark ; Kapustin, Anton ; Moore, Gregory W. ; Segal, Graeme ; Szendrői, Balázs; Wilson, PMH (2009). Дирихле-браны и зеркальная симметрия . Clay Mathematics Monographs . Том 4. Кембридж, Массачусетс: Clay Mathematics Institute . ISBN 978-0-8218-3848-8. MR  2567952. Zbl  1188.14026.
  45. ^ Гросс, Марк ; Уилсон, PMH (2000). «Большие комплексные структурные пределы поверхностей K3». Журнал дифференциальной геометрии . 55 (3): 475–546. arXiv : math/0008018 . Bibcode : 2000math......8018G. doi : 10.4310/jdg/1090341262 . MR  1863732. Zbl  1027.32021.
  46. ^ abcd Colding, Tobias Holck ; Minicozzi, William P. II (2011). Курс минимальных поверхностей . Graduate Studies in Mathematics . Vol. 121. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/gsm/121. ISBN 978-0-8218-5323-8. MR  2780140. Zbl  1242.53007.
  47. ^ Громов, Михаил ; Лоусон, Х. Блейн младший (1983). «Положительная скалярная кривизна и оператор Дирака на полных римановых многообразиях». Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 58 : 83–196. дои : 10.1007/BF02953774. МР  0720933. S2CID  123212001. Збл  0538.53047.
  48. ^ Йост, Юрген (1991). Двумерные геометрические вариационные задачи . Чичестер: John Wiley & Sons, Ltd. ISBN  0-471-92839-9. MR  1100926. Zbl  0729.49001. (Опечатка: [1])
  49. ^ Линь, Фанхуа ; Ван, Чанъю (2008). Анализ гармонических карт и их тепловых потоков . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific . doi :10.1142/9789812779533. ISBN 978-981-277-952-6. MR  2431658. Zbl  1203.58004.
  50. ^ ab Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна . Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Oxford University Press . doi :10.1093/acprof:oso/9780199230723.001.0001. ISBN 978-0-19-923072-3. MR  2473363. Zbl  1157.83002.
  51. ^ Хуйскен, Герхард (1987). «Поток средней кривизны с сохранением объема». Журнал для королевы и математики . 1987 (382): 35–48. дои : 10.1515/crll.1987.382.35. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5DAA-8 . MR  0921165. S2CID  118368038. Збл  0621.53007.
  52. ^ abcdefgh Ли, Питер (2012). Геометрический анализ . Кембриджские исследования по высшей математике. Том 134. Кембридж: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9781139105798. ISBN 978-1-107-02064-1. MR  2962229. Zbl  1246.53002.
  53. ^ Пигола, Стефано; Риголи, Марко; Сетти, Альберто Г. (2005). «Принципы максимума на римановых многообразиях и их приложения». Мемуары Американского математического общества . 174 (822). doi :10.1090/memo/0822. ISBN 978-0-8218-3639-2. MR  2116555. Zbl  1075.58017.
  54. ^ ab Pigola, Stefano; Rigoli, Marco; Setti, Alberto G. (2008). Исчезновение и конечность результатов в геометрическом анализе. Обобщение техники Бохнера . Прогресс в математике. Т. 266. Базель: Birkhäuser Verlag . doi :10.1007/978-3-7643-8642-9. ISBN 978-3-7643-8641-2. MR  2401291. Zbl  1150.53001.
  55. ^ Грэм, К. Робин ; Ли, Джон М. (1991). «Метрики Эйнштейна с предписанной конформной бесконечностью на шаре». Advances in Mathematics . 87 (2): 186–225. doi : 10.1016/0001-8708(91)90071-E . MR  1112625. Zbl  0765.53034.
  56. ^ abcd Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006). Поток Риччи Гамильтона . Graduate Studies in Mathematics . Vol. 77. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/gsm/077. ISBN 978-0-8218-4231-7. MR  2274812. Zbl  1118.53001.
  57. ^ Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine ; Isenberg, James ; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2010). Поток Риччи: методы и приложения. Часть III. Геометрически-аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии . Том 163. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . doi :10.1090/surv/163. ISBN 978-0-8218-4661-2. MR  2604955. Zbl  1216.53057.
  58. ^ Любке, Мартин; Телеман, Андрей (1995). Переписка Кобаяши–Хитчина . River Edge, NJ: World Scientific . doi :10.1142/2660. ISBN 981-02-2168-1. MR  1370660. Zbl  0849.32020.
  59. ^ "Премия Освальда Веблена по геометрии 2019 года". Notices of the American Mathematical Society . 66 (4): 610–612. Апрель 2019.
  60. ^ Маркес, Фернандо К.; Невес, Андре. Теория минимума-максимума и гипотеза Уиллмора. Ann. of Math. (2) 179 (2014), № 2, 683–782.
  61. ^ Джусти, Энрико (1984). Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации . Монографии по математике. Т. 80. Базель: Birkhäuser Verlag . doi :10.1007/978-1-4684-9486-0. ISBN 0-8176-3153-4. MR  0775682. Zbl  0545.49018.
  62. ^ Колдинг, Тобиас Холк ; Миникоцци, Уильям П. II (2012). «Общий поток средней кривизны I: общие особенности». Анналы математики . Вторая серия. 175 (2): 755–833. arXiv : 0908.3788 . дои : 10.4007/анналы.2012.175.2.7 . МР  2993752. Збл  1239.53084.
  63. ^ Чен, Банг-йен (2019). Геометрия подмногообразий (Исправленное переиздание оригинального издания 1973 года). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-83278-4. MR  0353212. Zbl  1458.53001.
  64. ^ Хартман, Филипп; Ниренберг, Луис. О сферических картах изображений, якобианы которых не меняют знак. Amer. J. Math. 81 (1959), 901–920.
  65. ^ Чавел, Айзек (2001). Изопериметрические неравенства. Дифференциально-геометрические и аналитические перспективы . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 145. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-80267-9. MR  1849187. Zbl  0988.51019.
  66. ^ abcd Трудингер, Нил С .; Ван, Сюй-Цзя (2008). «Уравнение Монжа–Ампера и его геометрические приложения». В Цзи, Личжэнь ; Ли, Питер ; Шен, Ричард ; Саймон, Леон (ред.). Справочник по геометрическому анализу. № 1. Продвинутые лекции по математике. Том 7. Сомервилл, Массачусетс: International Press. стр. 467–524. ISBN 978-1-57146-130-8. МР  2483373. S2CID  37616041. Збл  1156.35033.
  67. ^ Каффарелли, Л.; Ниренберг , Л.; Спрук , Дж. (1984). «Задача Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка. Уравнение Монжа–Ампера». Сообщения по чистой и прикладной математике . 37 (3): 369–402. doi :10.1002/cpa.3160370306. MR  0739925. Zbl  0598.35047. (Ошибка:  doi :10.1002/cpa.3160400508)
  68. ^ ab Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Classics in Mathematics (пересмотренное второе издание оригинального издания 1977 года). Berlin: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 3-540-41160-7. MR  1814364. Zbl  1042.35002.
  69. ^ Ли, Ань-Мин; Саймон, Удо; Чжао, Госонг; Ху, Зецзюнь (2015). Глобальная аффинная дифференциальная геометрия гиперповерхностей . Изложения Де Грюйтера в математике. Т. 11 (Второе исправленное и расширенное издание оригинального издания 1993 года). Берлин: De Gruyter . doi :10.1515/9783110268898. ISBN 978-3-11-026667-2. MR  3382197. Zbl  1330.53002.
  70. ^ ab Cox, David A. ; Katz, Sheldon (1999). Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия . Математические обзоры и монографии . Том 68. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . doi :10.1090/surv/068. ISBN 0-8218-1059-6. MR  1677117. Zbl  0951.14026.
  71. ^ аб Хори, Кентаро; Кац, Шелдон ; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул ; Томас, Ричард ; Vafa, Камрун ; Вакил, Рави ; Заслоу, Эрик (2003). Зеркальная симметрия . Монографии Клэя по математике . Том. 1. Кембридж, Массачусетс: Математический институт Клэя . ISBN 0-8218-2955-6. MR  2003030. Zbl  1044.14018.
  72. ^ Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008). Теоремы сравнения в римановой геометрии (переиздание оригинального издания 1975 года). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing . doi :10.1090/chel/365. ISBN 978-0-8218-4417-5. MR  2394158. Zbl  1142.53003.
  73. ^ Клингенберг, Вильгельм П.А. (1995). Риманова геометрия . Исследования Де Грюйтера по математике. Том. 1 (Второе издание оригинальной редакции 1982 г.). Берлин: Вальтер де Грюйтер и Ко. doi : 10.1515/9783110905120. ISBN  3-11-014593-6. MR  1330918. Zbl  0911.53022.
  74. ^ Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 319. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. MR  1744486. Zbl  0988.53001.
  75. ^ ab Chavel, Isaac (1984). Собственные значения в римановой геометрии . Чистая и прикладная математика. Т. 115. Орландо, Флорида: Academic Press . doi :10.1016/s0079-8169(08)x6051-9. ISBN 0-12-170640-0. MR  0768584. Zbl  0551.53001.
  76. ^ Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine ; Isenberg, James ; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2008). Поток Риччи: методы и приложения. Часть II. Аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии . Том 144. Providence, RI: Американское математическое общество . doi :10.1090/surv/144. ISBN 978-0-8218-4429-8. MR  2365237. Zbl  1157.53035.
  77. ^ Chavel, Isaac (2006). Риманова геометрия. Современное введение . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 98 (Второе издание оригинального издания 1993 года). Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511616822. ISBN 978-0-521-61954-7. MR  2229062. Zbl  1099.53001.
  78. ^ Либ, Эллиотт Х.; Лосс , Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике . Том 14 (Второе издание оригинального издания 1997 г.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . doi : 10.1090/gsm/014. hdl : 2027.42/149371. ISBN 0-8218-2783-9. MR  1817225. Zbl  0966.26002.
  79. ^ Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое издание 1995 г., оригинальное издание). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. MR  3726907. Zbl  1380.53001.
  80. ^ Чен, Му-Фа (2005). Собственные значения, неравенства и эргодическая теория . Вероятность и ее приложения. Лондон: Springer-Verlag . doi :10.1007/b138904. ISBN 1-85233-868-7. MR  2105651. Zbl  1079.60005.
  81. ^ Ван, Фэн-Ю (2005). Функциональные неравенства, полугруппы Маркова и спектральная теория . Пекин/Нью-Йорк: Science Press . doi :10.1016/B978-0-08-044942-5.50022-7. ISBN 978-0-08-044942-5.
  82. ^ "Mathematics People: Clay Research Awards Presented" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 64 (6): 595–604. Июнь 2017.
  83. ^ Floater, Michael S.; Hormann, Kai (2005). "Surface Parameterization: a tutorial and survey". В Dodgson, Neil A. ; Floater, Michael S.; Sabin, Malcolm A. (ред.). Advances in multiresolution for geometric modelling . Papers from the workshop (MINGLE 2003), performed in Cambridge, September 9–11, 2003. Mathematics and Visualization. Berlin: Springer . pp. 157–186. doi :10.1007/3-540-26808-1_9. ISBN 3-540-21462-3. МР  2112350. S2CID  9922896. Збл  1065.65030.
  84. ^ ab Chung, Fan RK (1997). Теория спектральных графов . Серия региональных конференций CBMS по математике. Том 92. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . doi : 10.1090/cbms/092. ISBN 0-8218-0315-8. MR  1421568. Zbl  0867.05046.
  85. ^ Qiu, Huaijun; Hancock, Edwin R. (2007). «Кластеризация и встраивание с использованием времени в пути». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 29 (11): 1873–1890. doi :10.1109/TPAMI.2007.1103. PMID  17848771. S2CID  1043277.
  86. ^ Smola, Alexander J.; Kondor, Risi (2003). «Ядра и регуляризация на графах». В Schölkopf, Bernhard ; Warmuth, Manfred K. (ред.). Теория обучения и машины ядра . 16-я ежегодная конференция по теории обучения и 7-й семинар по ядру, Вашингтон, округ Колумбия, США, 24–27 августа 2003 г. Lecture Notes in Computer Science . Vol. 2777. pp. 144–158. doi :10.1007/978-3-540-45167-9_12. ISBN 978-3-540-40720-1. S2CID  7326173. Збл  1274.68351.
  87. ^ Йост, Юрген ; Лю, Шипинг (2014). «Кривизна Риччи Оливье, локальная кластеризация и неравенства кривизны и размерности на графах». Дискретная и вычислительная геометрия . 51 (2): 300–322. arXiv : 1103.4037 . doi : 10.1007/s00454-013-9558-1 . MR  3164168. Zbl  1294.05061.
  88. ^ "Премия Джона Дж. Карти за развитие науки". Национальная академия наук США . Архивировано из оригинала 29-12-2010 . Получено 1 января 2009 г.
  89. ^ «...за разработку нелинейных методов в дифференциальной геометрии, приведшую к решению ряда выдающихся проблем».
  90. ↑ Малка Флейшер, объявлены победители престижной премии Вольфа
  91. ^ Марсель Гроссманн, 15-я встреча Марселя Гроссмана
  92. ^ Премия Шоу 2023 г.

Внешние ссылки