Проективное разнообразие

Алгебраическое многообразие в проективном пространстве

Эллиптическая кривая — это гладкая проективная кривая рода один.

В алгебраической геометрии проективное многообразие — это алгебраическое многообразие , которое является замкнутым подмногообразием проективного пространства . То есть, это нулевое множество в некоторого конечного семейства однородных многочленов , которые порождают простой идеал , определяющий идеал многообразия. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Проективное многообразие является проективной кривой , если его размерность равна единице; оно является проективной поверхностью , если его размерность равна двум; оно является проективной гиперповерхностью , если его размерность на единицу меньше размерности содержащего его проективного пространства; в этом случае оно является множеством нулей одного однородного многочлена .

Если X — проективное многообразие, определяемое однородным простым идеалом I , то фактор-кольцо

${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

называется однородным координатным кольцом X. Основные инварианты X , такие как степень и размерность, можно вывести из полинома Гильберта этого градуированного кольца .

Проективные многообразия возникают многими способами. Они являются полными , что можно грубо выразить, сказав, что нет точек «отсутствующих». Обратное в общем случае неверно, но лемма Чжоу описывает тесную связь этих двух понятий. Демонстрация того, что многообразие является проективным , осуществляется путем изучения линейных расслоений или делителей на X.

Характерной чертой проективных многообразий являются ограничения конечности на когомологии пучков. Для гладких проективных многообразий двойственность Серра можно рассматривать как аналог двойственности Пуанкаре . Она также приводит к теореме Римана–Роха для проективных кривых, т. е. проективных многообразий размерности 1. Теория проективных кривых особенно богата, включая классификацию по роду кривой. Программа классификации для многомерных проективных многообразий естественным образом приводит к построению модулей проективных многообразий. ^[1] Схемы Гильберта параметризуют замкнутые подсхемы с заданным полиномом Гильберта. Схемы Гильберта, частными случаями которых являются грассманианы , также являются проективными схемами сами по себе. Геометрическая теория инвариантов предлагает другой подход. Классические подходы включают пространство Тейхмюллера и многообразия Чжоу . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Особенно богатая теория, восходящая к классике, доступна для комплексных проективных многообразий, т. е. когда многочлены, определяющие X, имеют комплексные коэффициенты. В широком смысле, принцип GAGA гласит, что геометрия проективных комплексных аналитических пространств (или многообразий) эквивалентна геометрии проективных комплексных многообразий. Например, теория голоморфных векторных расслоений (в более общем смысле когерентных аналитических пучков ) на X совпадает с теорией алгебраических векторных расслоений. Теорема Чжоу гласит, что подмножество проективного пространства является нулевым локусом семейства голоморфных функций тогда и только тогда, когда оно является нулевым локусом однородных многочленов. Сочетание аналитических и алгебраических методов для комплексных проективных многообразий приводит к таким областям, как теория Ходжа .

Разнообразие и структура схемы

Структура сорта

Пусть k — алгебраически замкнутое поле. Основой определения проективных многообразий является проективное пространство , которое можно определить разными, но эквивалентными способами: ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

• как множество всех прямых, проходящих через начало координат в (т.е. все одномерные векторные подпространства ) ${\displaystyle k^{n+1}}$ ${\displaystyle k^{n+1}}$
• как множество кортежей , не все из которых равны нулю, по модулю отношения эквивалентности для любого . Класс эквивалентности такого кортежа обозначается Этот класс эквивалентности является общей точкой проективного пространства. Числа называются однородными координатами точки. ${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$ $${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$ ${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$ $${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$

Проективное многообразие , по определению, является замкнутым подмногообразием , где замкнутое относится к топологии Зарисского . ^[2] В общем случае замкнутые подмножества топологии Зарисского определяются как общее нулевое множество конечного набора однородных полиномиальных функций. Для полинома , условие ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

не имеет смысла для произвольных многочленов, но только если f является однородным , т. е. степени всех одночленов (сумма которых равна f ) одинаковы. В этом случае обращение в нуль

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

не зависит от выбора . ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Таким образом, проективные многообразия возникают из однородных простых идеалов I из , и устанавливая ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ for all }}f\in I\right\}.}$

Более того, проективное многообразие X является алгебраическим многообразием, что означает, что оно покрывается открытыми аффинными подмногообразиями и удовлетворяет аксиоме разделения. Таким образом, локальное изучение X (например, сингулярности) сводится к изучению аффинного многообразия. Явная структура такова. Проективное пространство покрывается стандартными открытыми аффинными картами ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

которые сами по себе являются аффинными n -пространствами с координатным кольцом

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

Скажем, i = 0 для простоты обозначений и опустим верхний индекс (0). Тогда замкнутое подмногообразие определяется идеалом , порожденным ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ ${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

для всех f из I. Таким образом, X — алгебраическое многообразие, покрытое ( n +1) открытыми аффинными картами . ${\displaystyle X\cap U_{i}}$

Обратите внимание, что X — это замыкание аффинного многообразия в . Наоборот, начиная с некоторого замкнутого (аффинного) многообразия , замыкание V в является проективным многообразием, называемым ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$проективное пополнение V.ЕслиопределяетV, то определяющий идеал этого замыкания — это однородный идеал[3^]порожденного ${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

для всех f в I.

Например, если V — аффинная кривая, заданная, скажем, в аффинной плоскости, то ее проективное пополнение в проективной плоскости задается формулой ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ ${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

Проективные схемы

Для различных приложений необходимо рассматривать более общие алгебро-геометрические объекты, чем проективные многообразия, а именно проективные схемы. Первым шагом к проективным схемам является наделение проективного пространства структурой схемы, таким образом, уточняя приведенное выше описание проективного пространства как алгебраического многообразия, т.е. является схемой, которая является объединением ( n + 1) копий аффинного n -пространства k ⁿ . В более общем смысле, ^[4] проективное пространство над кольцом A является объединением аффинных схем ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

таким образом, чтобы переменные совпадали, как и ожидалось. Множество замкнутых точек для алгебраически замкнутых полей k является тогда проективным пространством в обычном смысле. ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

Эквивалентная, но упрощенная конструкция дается конструкцией Proj , которая является аналогом спектра кольца , обозначаемого как «Spec», который определяет аффинную схему. ^[5] Например, если A — кольцо, то

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Если R является фактором по однородному идеалу I , то каноническая сюръекция индуцирует замкнутое погружение ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

По сравнению с проективными многообразиями, условие, что идеал I должен быть простым идеалом, было опущено. Это приводит к гораздо более гибкому понятию: с одной стороны, топологическое пространство может иметь несколько неприводимых компонент . Более того, на X могут быть нильпотентные функции . ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$

Замкнутые подсхемы взаимно однозначно соответствуют однородным идеалам I из , которые являются насыщенными ; т.е. ^[6] Этот факт можно рассматривать как уточненную версию проективного Nullstellensatz . ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$

Мы можем дать аналог вышесказанного без координат. А именно, учитывая конечномерное векторное пространство V над k , мы даем

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}$

где — симметричная алгебра . [ ^7] Это проективизация V ; т. е. она параметризует прямые в V . Существует каноническое сюръективное отображение , которое определяется с помощью описанной выше диаграммы. ^{[8] Одно из важных применений конструкции — это (ср} . , § Двойственность и линейная система). Дивизор D на проективном многообразии X соответствует линейному расслоению L . Затем устанавливается ${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$;

она называется полной линейной системой D.

Проективное пространство над любой схемой S можно определить как послойное произведение схем

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

Если — скручивающий пучок Серра на , то обозначим через обратный образ в ; то есть для канонического отображения ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$ ${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

Схема X → S называется проективной над S , если она факторизуется как замкнутое погружение

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

затем следует проекция на S.

Линейное расслоение (или обратимый пучок) на схеме X над S называется очень обильным относительно S, если существует погружение (т. е. открытое погружение, за которым следует замкнутое погружение). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

для некоторого n так, что обратные пути к . Тогда S -схема X проективна тогда и только тогда, когда она является собственной и существует очень обильный пучок на X относительно S . Действительно, если X является собственной, то погружение, соответствующее очень обильному линейному расслоению, обязательно замкнуто. Обратно, если X проективно, то обратный путь при замкнутом погружении X в проективное пространство является очень обильным. То, что «проективный» подразумевает «собственный», глубже: основная теорема теории исключения . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Отношение к полным сортам

По определению, многообразие является полным , если оно является правильным над k . Ценностный критерий правильности выражает интуицию, что в правильном многообразии нет «отсутствующих» точек.

Существует тесная связь между полными и проективными многообразиями: с одной стороны, проективное пространство и, следовательно, любое проективное многообразие являются полными. Обратное в общем случае неверно. Однако:

• Гладкая кривая C проективна тогда и только тогда, когда она полна . Это доказывается путем отождествления C с множеством колец дискретного нормирования поля функций k ( C ) над k . Это множество имеет естественную топологию Зарисского, называемую пространством Зарисского–Римана .
• Лемма Чжоу утверждает, что для любого полного многообразия X существует проективное многообразие Z и бирациональный морфизм Z → X. ^[9] (Более того, посредством нормализации можно предположить, что это проективное многообразие является нормальным.)

Некоторые свойства проективного многообразия следуют из полноты. Например,

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=k}$

для любого проективного многообразия X над k . ^[10] Этот факт является алгебраическим аналогом теоремы Лиувилля (любая голоморфная функция на связном компактном комплексном многообразии является постоянной). На самом деле, сходство между комплексной аналитической геометрией и алгебраической геометрией на комплексных проективных многообразиях идет гораздо дальше, как объясняется ниже.

Квазипроективные многообразия , по определению, являются открытыми подмногообразиями проективных многообразий. Этот класс многообразий включает аффинные многообразия . Аффинные многообразия почти никогда не бывают полными (или проективными). Фактически, проективное подмногообразие аффинного многообразия должно иметь нулевую размерность. Это происходит потому, что только константы являются глобально регулярными функциями на проективном многообразии.

Примеры и основные инварианты

По определению, любой однородный идеал в кольце многочленов даёт проективную схему (требующую быть простым идеалом, чтобы дать многообразие). В этом смысле примеров проективных многообразий предостаточно. В следующем списке упоминаются различные классы проективных многообразий, которые заслуживают внимания, поскольку они изучались особенно интенсивно. Важный класс комплексных проективных многообразий, т. е. случай , обсуждается ниже. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Произведение двух проективных пространств проективно. Фактически, существует явное погружение (называемое вложением Сегре )

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\\(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}\end{cases}}}$

Как следствие, произведение проективных многообразий над k снова проективно. Вложение Плюккера демонстрирует грассманиан как проективное многообразие. Многообразия флагов, такие как фактор общей линейной группы по модулю подгруппы верхних треугольных матриц , также проективны, что является важным фактом в теории алгебраических групп . ^[11] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$

Однородное координатное кольцо и многочлен Гильберта

Так как простой идеал P, определяющий проективное многообразие X , однороден, то однородное координатное кольцо

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

является градуированным кольцом , т.е. может быть выражено как прямая сумма его градуированных компонентов:

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

Существует полином P такой, что для всех достаточно больших n ; он называется полиномом Гильберта X . Это числовой инвариант, кодирующий некоторую внешнюю геометрию X . Степень P — это размерность r многообразия X , а его старший коэффициент, умноженный на r ! , — это степень многообразия X . Арифметический род X равен (−1) ^r ( P (0) − 1), когда X является гладким. ${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$

Например, однородное координатное кольцо имеет вид , а его многочлен Гильберта — ; его арифметический род равен нулю. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$

Если однородное координатное кольцо R является целозамкнутой областью , то проективное многообразие X называется проективно нормальным . Обратите внимание, что в отличие от нормальности , проективная нормальность зависит от R , вложения X в проективное пространство. Нормализация проективного многообразия проективна; на самом деле, это Proj целочисленного замыкания некоторого однородного координатного кольца X.

Степень

Пусть будет проективным многообразием. Существует по крайней мере два эквивалентных способа определить степень X относительно его вложения. Первый способ — определить ее как мощность конечного множества ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

где d — размерность X , а H _i — гиперплоскости в «общих положениях». Это определение соответствует интуитивному представлению о степени. Действительно, если X — гиперповерхность, то степень X — это степень однородного полинома, определяющего X. «Общие положения» можно уточнить, например, с помощью теории пересечений ; требуется, чтобы пересечение было правильным и чтобы кратности всех неприводимых компонентов были равны единице.

Другое определение, упомянутое в предыдущем разделе, состоит в том, что степень X является старшим коэффициентом многочлена Гильберта от X раз (dim X )!. Геометрически это определение означает, что степень X является кратностью вершины аффинного конуса над X . ^[12]

Пусть будут замкнутыми подсхемами чистых размерностей, которые пересекаются надлежащим образом (они находятся в общем положении). Если m _i обозначает кратность неприводимого компонента Z _i в пересечении (т.е. кратность пересечения ), то обобщение теоремы Безу гласит: ^[13] ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

Кратность пересечения m _i можно определить как коэффициент при Z _i в произведении пересечений в кольце Чжоу . ${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

В частности, если — гиперповерхность, не содержащая X , то ${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

где Z _i — неприводимые компоненты схемно -теоретического пересечения X и H с кратностью (длиной локального кольца ) m _i .

Комплексное проективное многообразие можно рассматривать как компактное комплексное многообразие ; степень многообразия (относительно вложения) тогда является объемом многообразия как многообразия относительно метрики, унаследованной от окружающего комплексного проективного пространства . Комплексное проективное многообразие можно охарактеризовать как минимизатор объема (в некотором смысле).

Кольцо секций

Пусть X — проективное многообразие, а L — линейное расслоение на нем. Тогда градуированное кольцо

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

называется кольцом сечений L. Если L обильно , то Proj этого кольца есть X. Более того, если X нормально, а L очень обильно, то является целым замыканием однородного координатного кольца X, определяемого L ; т.е. так, что тянет обратно к L. ^[14 ] ${\displaystyle R(X,L)}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$

Для приложений полезно разрешить делители (или -делители), а не только линейные расслоения; предполагая, что X является нормальным, полученное кольцо тогда называется обобщенным кольцом сечений. Если — канонический делитель на X , то обобщенное кольцо сечений ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

называется каноническим кольцом X. Если каноническое кольцо конечно порождено , то Proj кольца называется канонической моделью X. Каноническое кольцо или модель затем можно использовать для определения размерности Кодаиры X.

Проективные кривые

Проективные схемы размерности один называются проективными кривыми . Большая часть теории проективных кривых посвящена гладким проективным кривым, поскольку особенности кривых могут быть разрешены нормализацией , которая состоит в локальном взятии целого замыкания кольца регулярных функций. Гладкие проективные кривые изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их функциональные поля . Изучение конечных расширений

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

или эквивалентно гладкие проективные кривые над является важным разделом в алгебраической теории чисел . ^[15] ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Гладкая проективная кривая рода один называется эллиптической кривой . Как следствие теоремы Римана–Роха , такая кривая может быть вложена как замкнутое подмногообразие в . В общем случае любая (гладкая) проективная кривая может быть вложена в (доказательство см. в Secant variation#Examples ). Обратно, любая гладкая замкнутая кривая в степени три имеет род один по формуле рода и, таким образом, является эллиптической кривой. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Гладкая полная кривая рода, большего или равного двум, называется гиперэллиптической кривой, если существует конечный морфизм степени два. ^[16] ${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$

Проективные гиперповерхности

Каждое неприводимое замкнутое подмножество коразмерности один является гиперповерхностью , т. е. нулевым множеством некоторого однородного неприводимого многочлена. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Абелевы многообразия

Другим важным инвариантом проективного многообразия X является группа Пикара X , множество классов изоморфизма линейных расслоений на X . Она изоморфна и, следовательно, является внутренним понятием (независимым от вложения). Например, группа Пикара изоморфна посредством отображения степеней. Ядро является не только абстрактной абелевой группой, но существует многообразие, называемое якобиевым многообразием X , Jac( X ), точки которого равны этой группе. Якобиан (гладкой) кривой играет важную роль в изучении кривой. Например, якобиан эллиптической кривой E — это сама E . Для кривой X рода g , Jac( X ) имеет размерность g . ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \deg :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} }$

Многообразия, такие как якобиево многообразие, которые являются полными и имеют групповую структуру, известны как абелевы многообразия , в честь Нильса Абеля . В отличие от аффинных алгебраических групп , таких как , такие группы всегда коммутативны, откуда и название. Более того, они допускают обильное линейное расслоение и, таким образом, являются проективными. С другой стороны, абелева схема может не быть проективной. Примерами абелевых многообразий являются эллиптические кривые, якобиевы многообразия и поверхности K3 . ${\displaystyle GL_{n}(k)}$

Прогнозы

Пусть будет линейным подпространством; т.е. для некоторых линейно независимых линейных функционалов s _i . Тогда проекция из E является (хорошо определенным) морфизмом ${\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r}\\x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]\end{cases}}}$

Геометрическое описание этой карты следующее: ^[18]

• Мы рассматриваем его так, что оно не пересекается с E. Тогда для любого , где обозначает наименьшее линейное пространство, содержащее E и x (называемое объединением E и x ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{n}\setminus E}$ $${\displaystyle \phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r},}$$ ${\displaystyle W_{x}}$
• ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\},}$где однородные координаты на ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}.}$
• Для любой замкнутой подсхемы , не пересекающейся с E , ограничение является конечным морфизмом . ^[19] ${\displaystyle Z\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :Z\to \mathbb {P} ^{r}}$

Проекции можно использовать для сокращения размерности, в которую вложено проективное многообразие, вплоть до конечных морфизмов . Начнем с некоторого проективного многообразия. Если проекция из точки, не лежащей на X , дает Более того, является конечным отображением в свой образ. Таким образом, итерируя процедуру, можно увидеть, что существует конечное отображение ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}.}$ ${\displaystyle n>\dim X,}$ ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {P} ^{n-1}.}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{d},\quad d=\dim X.}$

Этот результат является проективным аналогом леммы Нётер о нормализации . (На самом деле, он дает геометрическое доказательство леммы о нормализации.)

Эту же процедуру можно использовать для доказательства следующего несколько более точного результата: для заданного проективного многообразия X над совершенным полем существует конечный бирациональный морфизм из X в гиперповерхность H в ^[20]. В частности, если X нормально , то оно является нормализацией H. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d+1}.}$

Двойственность и линейная система

В то время как проективное n -пространство параметризует прямые в аффинном n -пространстве, его двойственное параметризует гиперплоскости на проективном пространстве следующим образом. Зафиксируем поле k . Под , мы подразумеваем проективное n -пространство ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$

${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}=\operatorname {Proj} (k[u_{0},\dots ,u_{n}])}$

оборудована конструкцией:

${\displaystyle f\mapsto H_{f}=\{\alpha _{0}x_{0}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0\}}$, гиперплоскость на ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$

где L -точка для расширения поля L для k и ${\displaystyle f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.}$

Для каждого L конструкция является биекцией между множеством L -точек и множеством гиперплоскостей на . В связи с этим говорят , что двойственное проективное пространство является пространством модулей гиперплоскостей на . ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$

Прямая в называется пучком : это семейство гиперплоскостей на , параметризованное . ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$

Если V — конечномерное векторное пространство над k , то по той же причине, что и выше, — пространство гиперплоскостей на . Важный случай — когда V состоит из сечений линейного расслоения. А именно, пусть X — алгебраическое многообразие, L — линейное расслоение на X и векторное подпространство конечной положительной размерности. Тогда существует отображение: ^[21] ${\displaystyle \mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ ${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{V}:X\setminus B\to \mathbb {P} (V^{*})\\x\mapsto H_{x}=\{s\in V|s(x)=0\}\end{cases}}}$

определяемая линейной системой V , где B , называемое базисным геометрическим местом , является пересечением делителей нуля ненулевых сечений в V (см. Линейная система делителей#Отображение, определяемое линейной системой для построения отображения).

Когомологии когерентных пучков

Пусть X — проективная схема над полем (или, более общо, над нётеровым кольцом A ). Когомологии когерентных пучков на X удовлетворяют следующим важным теоремам Серра: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})}$является конечномерным k -векторным пространством для любого p .
2. Существует целое число (зависящее от ; см. также регулярность Кастельнуово–Мамфорда ) такое, что для всех и p > 0, где — скручивание со степенью очень обильного линейного расслоения ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0}$$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$

Эти результаты доказаны путем сведения к случаю с использованием изоморфизма ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbb {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0}$

где в правой части рассматривается как пучок на проективном пространстве путем расширения на ноль. ^[22] Результат затем следует путем прямого вычисления для любого целого числа n , а для произвольного сводится к этому случаю без особых затруднений. ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Как следствие из 1. выше, если f — проективный морфизм из нётеровой схемы в нётерово кольцо, то высший прямой образ когерентен. Тот же результат справедлив для собственных морфизмов f , как можно показать с помощью леммы Чжоу . ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

Группы когомологий пучков H ⁱ на нётеровом топологическом пространстве исчезают для i, строго превышающего размерность пространства. Таким образом, величина, называемая эйлеровой характеристикой , ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\dim H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$

является вполне определенным целым числом (для проективного X ). Затем можно показать для некоторого полинома P над рациональными числами. ^[24] Применяя эту процедуру к структурному пучку , можно восстановить полином Гильберта X. В частности, если X неприводимо и имеет размерность r , арифметический род X задается как ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1),}$

который явно является внутренним, т.е. независим от вложения.

Арифметический род гиперповерхности степени d находится в . В частности, гладкая кривая степени d в имеет арифметический род . Это формула рода . ${\displaystyle {\binom {d-1}{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle (d-1)(d-2)/2}$

Гладкие проективные многообразия

Пусть X — гладкое проективное многообразие, все неприводимые компоненты которого имеют размерность n . В этой ситуации канонический пучок ω _X , ​​определяемый как пучок кэлеровых дифференциалов высшей степени (т.е. алгебраических n -форм), является линейным расслоением.

Серр двойственность

Двойственность Серра утверждает, что для любого локально свободного пучка на X , ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

где верхний индекс штрих относится к двойственному пространству и является двойственным пучком . Обобщение на проективные, но не обязательно гладкие схемы известно как двойственность Вердье . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Теорема Римана–Роха

Для (гладкой проективной) кривой X , H ² и выше исчезают по размерностным причинам, а пространство глобальных сечений структурного пучка одномерно. Таким образом, арифметический род X является размерностью . По определению, геометрический род X является размерностью H ⁰ ( X , ω _X ). Таким образом, двойственность Серра подразумевает, что арифметический род и геометрический род совпадают. Их просто будут называть родом X . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Двойственность Серра также является ключевым компонентом в доказательстве теоремы Римана–Роха . Поскольку X является гладким, существует изоморфизм групп

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

из группы дивизоров (Вейля) по модулю главных дивизоров в группу классов изоморфизма линейных расслоений. Дивизор, соответствующий ω _X, называется каноническим дивизором и обозначается через K . Пусть l ( D ) — размерность . Тогда теорема Римана–Роха утверждает: если g — род X , ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

для любого делителя D на X. По двойственности Серра это то же самое, что:

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

что может быть легко доказано. ^[25] Обобщением теоремы Римана–Роха на более высокие размерности является теорема Хирцебруха–Римана–Роха , а также далеко идущая теорема Гротендика–Римана–Роха .

Схемы Гильберта

Схемы Гильберта параметризуют все замкнутые подмногообразия проективной схемы X в том смысле, что точки (в функториальном смысле) H соответствуют замкнутым подсхемам X. Таким образом, схема Гильберта является примером пространства модулей , т. е. геометрического объекта, точки которого параметризуют другие геометрические объекты. Точнее, схема Гильберта параметризует замкнутые подмногообразия, многочлен Гильберта которыхравен заданному многочлену P. ^[26] Глубокая теорема Гротендика заключается в том, что существует схема ^[27] над k , такая, что для любой k -схемы T существует биекция ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

${\displaystyle \{{\text{morphisms }}T\to H_{X}^{P}\}\ \ \longleftrightarrow \ \ \{{\text{closed subschemes of }}X\times _{k}T{\text{ flat over }}T,{\text{ with Hilbert polynomial }}P.\}}$

Замкнутая подсхема , соответствующая отображению тождества, называется универсальным семейством . ${\displaystyle X\times H_{X}^{P}}$ ${\displaystyle H_{X}^{P}\to H_{X}^{P}}$

Для схема Гильберта называется грассманианом r -плоскостей в и, если X является проективной схемой, называется схемой Фано r -плоскостей на X . ^[28] ${\displaystyle P(z)={\binom {z+r}{r}}}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {P} ^{n}}^{P}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

Комплексные проективные многообразия

В этом разделе все алгебраические многообразия являются комплексными алгебраическими многообразиями. Ключевой особенностью теории комплексных проективных многообразий является сочетание алгебраических и аналитических методов. Переход между этими теориями обеспечивается следующей связью: поскольку любой комплексный многочлен также является голоморфной функцией, любое комплексное многообразие X дает комплексное аналитическое пространство , обозначаемое . Более того, геометрические свойства X отражаются свойствами . Например, последнее является комплексным многообразием тогда и только тогда, когда X гладко; оно компактно тогда и только тогда, когда X является собственным над . ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Связь с комплексными кэлеровыми многообразиями

Комплексное проективное пространство является кэлеровым многообразием . Это означает, что для любого проективного алгебраического многообразия X является компактным кэлеровым многообразием . Обратное в общем случае неверно, но теорема вложения Кодаиры дает критерий того, что кэлерово многообразие является проективным. ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

В низких размерностях получены следующие результаты:

• (Риман) Компактная риманова поверхность (т. е. компактное комплексное многообразие размерности один) является проективным многообразием. По теореме Торелли она однозначно определяется своим якобианом.
• (Чоу-Кодаира) Компактное комплексное многообразие размерности два с двумя алгебраически независимыми мероморфными функциями является проективным многообразием. ^[29]

GAGA и теорема Чжоу

Теорема Чжоу предлагает поразительный способ перейти от аналитической геометрии к алгебраической. Она утверждает, что каждое аналитическое подмногообразие комплексного проективного пространства является алгебраическим. Теорему можно интерпретировать так, что голоморфная функция, удовлетворяющая определенному условию роста, обязательно является алгебраической: «проективность» обеспечивает это условие роста. Из теоремы можно вывести следующее:

• Мероморфные функции на комплексном проективном пространстве рациональны.
• Если алгебраическое отображение между алгебраическими многообразиями является аналитическим изоморфизмом , то оно является (алгебраическим) изоморфизмом. (Эта часть является основным фактом в комплексном анализе.) В частности, теорема Чжоу подразумевает, что голоморфное отображение между проективными многообразиями является алгебраическим. (Рассмотрим график такого отображения.)
• Каждое голоморфное векторное расслоение на проективном многообразии индуцируется уникальным алгебраическим векторным расслоением. ^[30]
• Каждое голоморфное линейное расслоение на проективном многообразии является линейным расслоением дивизора. ^[31]

Теорему Чжоу можно показать с помощью принципа GAGA Серра . Его основная теорема гласит:

Пусть X — проективная схема над . Тогда функтор, сопоставляющий когерентные пучки на X с когерентными пучками на соответствующем комплексном аналитическом пространстве X ^an, является эквивалентностью категорий. Более того, естественные отображения ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

являются изоморфизмами для всех i и всех когерентных пучков на X. ^[32 ] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Комплексные торы против комплексных абелевых многообразий

Комплексное многообразие, связанное с абелевым многообразием A над , является компактной комплексной группой Ли . Можно показать, что они имеют вид ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

и также называются комплексными торами . Здесь g — размерность тора, а L — решетка (также называемая решеткой периодов ).

Согласно теореме об униформизации , уже упомянутой выше, любой тор размерности 1 возникает из абелева многообразия размерности 1, т. е. из эллиптической кривой . Фактически, эллиптическая функция Вейерштрасса , присоединенная к L, удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению и, как следствие, определяет замкнутое погружение: ^[33] ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

Существует p -адический аналог — теорема о p-адической униформизации.

Для более высоких размерностей понятия комплексных абелевых многообразий и комплексных торов различаются: из абелевых многообразий происходят только поляризованные комплексные торы.

Исчезновение Кодайры

Фундаментальная теорема Кодаиры об исчезновении утверждает, что для обильного линейного расслоения на гладком проективном многообразии X над полем нулевой характеристики ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

для i > 0, или, что эквивалентно, двойственностью Серра для i < n . ^[34] Первое доказательство этой теоремы использовало аналитические методы кэлеровой геометрии, но чисто алгебраическое доказательство было найдено позже. Исчезновение Кодаиры в общем случае не выполняется для гладкого проективного многообразия в положительной характеристике. Теорема Кодаиры является одной из различных теорем об исчезновении, которые дают критерии того, что когомологии высших пучков обращаются в нуль. Поскольку эйлерова характеристика пучка (см. выше) часто более управляема, чем отдельные группы когомологий, это часто имеет важные последствия для геометрии проективных многообразий. ^[35] ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$

Связанные понятия

• Многопроективное многообразие
• Взвешенное проективное многообразие , замкнутое подмногообразие взвешенного проективного пространства ^[36]

Смотрите также

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Адекватное отношение эквивалентности
• Схема Гильберта
• Теорема Лефшеца о гиперплоскости
• Минимальная модель программы

Примечания

1. Коллар и Модули, гл. I.
2. Шафаревич, Игорь Р. (1994), Основы алгебраической геометрии 1: Многообразия в проективном пространстве , Springer
3. Этот однородный идеал иногда называют гомогенизацией I.
4. Мамфорд 1999, стр. 82
5. Хартшорн 1977, Раздел II.5
6. Мамфорд 1999, стр. 111
7. Это определение отличается от Eisenbud & Harris 2000, III.2.3, но согласуется с другими частями Википедии.
8. см. доказательство Хартсхорна 1977, гл. II, теорема 7.1
9. Гротендик и Дьедонне 1961, 5.6
10. Хартсхорн 1977, Глава II. Упражнение 4.5.
11. Хамфрис, Джеймс (1981), Линейные алгебраические группы , Springer, Теорема 21.3
12. Хартсхорн 1977, Гл. V, Упражнение 3.4. (e).
13. Фултон 1998, Предложение 8.4.
14. Хартсхорн 1977, Гл. II, Упражнение 5.14. (а)
15. Розен, Майкл (2002), Теория чисел в функциональных полях , Springer
16. Хартсхорн 1977, Гл. IV, Упражнение 1.7.
17. Хартсхорн 1977, гл. I, упражнение 2.8; это связано с тем, что однородное координатное кольцо является уникальной областью факторизации , а в UFD каждый простой идеал высоты 1 является главным. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$
18. Шафаревич 1994, Гл. I. § 4.4. Пример 1.
19. Mumford & Oda 2015, Гл. II, § 7. Предложение 6.
20. Хартсхорн 1977, Гл. I, Упражнение 4.9.
21. Фултон 1998, § 4.4.
22. Это несложно: (Hartshorne 1977, Ch III. Lemma 2.10) рассмотрим плоское разрешение и его нулевое расширение на все проективное пространство. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
23. Хартсхорн 1977, Глава III. Теорема 5.2.
24. Хартсхорн 1977, Глава III. Упражнение 5.2.
25. Хартсхорн 1977, Глава IV. Теорема 1.3.
26. Коллар 1996, Гл. I 1.4
27. Чтобы конструкция работала, необходимо допустить отсутствие разнообразия.
28. Эйзенбуд и Харрис 2000, VI 2.2
29. Хартшорн 1977, Приложение B. Теорема 3.4.
30. Гриффитс и Адамс 2015, IV. 1. 10. Следствие H
31. Гриффитс и Адамс 2015, IV. 1. 10. Следствие I
32. Хартшорн 1977, Приложение B. Теорема 2.1
33. Мамфорд 1970, стр. 36
34. Хартсхорн 1977, Глава III. Примечание 7.15.
35. Эсно, Элен; Фивег, Эккарт (1992), Лекции по теоремам об исчезновении , Биркхойзер
36. Долгачев, Игорь (1982), "Взвешенные проективные многообразия", Group actions and vector fields (Ванкувер, Британская Колумбия, 1981) , Lecture Notes in Math., т. 956, Берлин: Springer, стр. 34–71, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , doi :10.1007/BFb0101508, ISBN  978-3-540-11946-3, МР  0704986

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. Фолге. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323
• Гриффитс, Филлип А.; Адамс, Джон Франк (8 марта 2015 г.). Темы алгебраической и аналитической геометрии. (MN-13), том 13: заметки из курса Филлипа Гриффитса. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-6926-8.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: Введение . Спрингер. ISBN 978-3-540-21290-4.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Глобальное элементарное исследование некоторых классов морфизмов». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 . дои : 10.1007/bf02699291. МР  0217084.
• Коллар, Янош , Книга о модулях поверхностей
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях
• Мамфорд, Дэвид (1970), Абелевы многообразия
• Мамфорд, Дэвид (1995), Алгебраическая геометрия I: Комплексные проективные многообразия
• Мамфорд, Дэвид (1999), Красная книга многообразий и схем: включает Мичиганские лекции (1974) о кривых и их якобианах , Lecture Notes in Mathematics, т. 1358 (2-е изд.), Springer-Verlag , doi : 10.1007/b62130, ISBN 978-3540632931
• Мамфорд, Дэвид; Ода, Тадао (2015). Алгебраическая геометрия II.
• Игорь Шафаревич (1995). Основы алгебраической геометрии I: Многообразия в проективном пространстве (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-54812-8.
• Р. Вакил, Основы алгебраической геометрии

Внешние ссылки

• Схема Гильберта Чарльза Сигела - запись в блоге
• Проективные многообразия Гл. 1