В математике теория особенностей изучает пространства, которые являются почти многообразиями , но не совсем. Струна может служить примером одномерного многообразия, если пренебречь ее толщиной. Сингулярность можно создать, скомкав ее, уронив на пол и расплющив. В некоторых местах плоская струна пересекается в форме буквы «Х». Точки на полу , где это происходит, представляют собой один из видов сингулярности , двойную точку: один бит пола соответствует более чем одному биту строки. Возможно, струна также коснется самой себя, не пересекаясь, как подчеркнутая буква « U ». Это еще один вид сингулярности. В отличие от двойной точки, он нестабилен в том смысле, что небольшой толчок поднимет нижнюю часть буквы U от «подчеркнутой линии».
Владимир Арнольд определяет основную цель теории особенностей как описание того, как объекты зависят от параметров, особенно в случаях, когда свойства претерпевают внезапные изменения при небольшом изменении параметров. Эти ситуации называются перестройкой ( по-русски : перестройка ), бифуркациями или катастрофами. Классификация типов изменений и характеристика наборов параметров, вызывающих эти изменения, являются одними из основных математических целей. Сингулярности могут возникать в широком диапазоне математических объектов: от зависящих от параметров матриц до волновых фронтов. [1]
В теории особенностей изучается общее явление точек и множеств особенностей как часть концепции, согласно которой многообразия (пространства без особенностей) могут приобретать особые особые точки несколькими путями. Проекция — это один из способов, очень очевидный с визуальной точки зрения, когда трехмерные объекты проецируются в два измерения (например, в одном из наших глаз ); При взгляде на классическую скульптуру складки драпировки являются одной из наиболее очевидных особенностей. К особенностям такого рода относятся каустики , очень знакомые, например, световые узоры на дне бассейна.
Другой способ возникновения сингулярностей — вырождение структуры многообразия. Наличие симметрии может быть веским поводом рассмотреть орбифолды , которые представляют собой многообразия, приобретшие «углы» в процессе складывания, напоминающего сминание столовой салфетки.
Исторически особенности были впервые замечены при изучении алгебраических кривых . Двойная точка (0, 0) кривой
и вершина там
качественно различны, как видно при простом зарисовке. Исаак Ньютон провел детальное исследование всех кубических кривых , общего семейства, к которому принадлежат эти примеры. При формулировке теоремы Безу было замечено , что такие особые точки необходимо учитывать кратно (2 для двойной точки, 3 для точки возврата) при учете пересечений кривых.
Тогда оставался небольшой шаг до определения общего понятия особой точки алгебраического многообразия ; то есть, чтобы позволить более высокие измерения.
Такие особенности в алгебраической геометрии в принципе легче всего изучать, так как они определяются полиномиальными уравнениями и, следовательно, в терминах системы координат . Можно сказать, что внешний смысл особой точки не подлежит сомнению; просто во внутренних терминах координаты в окружающем пространстве не транслируют напрямую геометрию алгебраического многообразия в точке. Интенсивные исследования таких особенностей привели в конечном итоге к фундаментальной теореме Хейсуке Хиронаки о разрешении особенностей (в бирациональной геометрии в характеристике 0). Это означает, что простой процесс «поднятия» куска струны с самой себя с помощью «очевидного» использования пересечения в двойной точке по существу не вводит в заблуждение: все особенности алгебраической геометрии могут быть восстановлены как своего рода очень общего коллапса (через множество процессов). Этот результат часто неявно используется для расширения аффинной геометрии до проективной геометрии : для аффинного многообразия совершенно типично приобретать особые точки на гиперплоскости на бесконечности , когда берется его замыкание в проективном пространстве . Резолюция гласит, что с такими особенностями можно обращаться скорее как (сложную) разновидность компактификации , в результате чего получается компактное многообразие (то есть для сильной топологии, а не для топологии Зарисского ).
Примерно в то же время, что и работы Хиронаки, большое внимание привлекла теория катастроф Рене Тома . Это еще одна ветвь теории особенностей, основанная на более ранней работе Хасслера Уитни о критических точках . Грубо говоря, критическая точка гладкой функции — это место, где на множестве уровня возникает особая точка в геометрическом смысле. Эта теория имеет дело с дифференцируемыми функциями в целом, а не только с полиномами. Чтобы компенсировать это, рассматриваются только стабильные явления. Можно утверждать, что в природе ничего, разрушенное крошечными изменениями, невозможно наблюдать; видимое – это стабильное. Уитни показала, что при небольшом числе переменных стабильная структура критических точек очень ограничена в локальных терминах. Том опирался на эту и свою более раннюю работу, чтобы создать теорию катастроф , которая должна была объяснить прерывистые изменения в природе.
Хотя Том был выдающимся математиком, последующий модный характер элементарной теории катастроф , пропагандируемой Кристофером Зееманом, вызвал реакцию, в частности, со стороны Владимира Арнольда . [2] Возможно, именно он в значительной степени ответственен за применение термина « теория особенностей» к этой области, включая вклад алгебраической геометрии, а также то, что вытекает из работ Уитни, Тома и других авторов. Он писал так, чтобы ясно показать свое отвращение к слишком разрекламированному акценту на небольшой части территории. Основополагающие работы по гладким особенностям сформулированы как построение отношений эквивалентности на особых точках и ростках . Технически это связано с групповыми действиями групп Ли на пространствах струй ; в менее абстрактных терминах ряды Тейлора исследуются с точностью до замены переменной, фиксируя особенности с достаточным количеством производных . Приложения, по мнению Арнольда, следует рассматривать в симплектической геометрии как геометрической форме классической механики .
Важная причина, по которой сингулярности вызывают проблемы в математике, заключается в том, что при нарушении структуры многообразия применение двойственности Пуанкаре также запрещено. Большим достижением стало введение когомологий пересечений , которые первоначально возникли в результате попыток восстановить двойственность с помощью страт. Из первоначальной идеи вытекали многочисленные связи и приложения, например, концепция перверсивного пучка в гомологической алгебре .
Упомянутая выше теория не имеет прямого отношения к понятию математической сингулярности как величины, при которой функция не определена. Для этого см., например, изолированную особенность , существенную особенность , устранимую особенность . Однако теория монодромии дифференциальных уравнений в комплексной области вокруг особенностей вступает в связь с геометрической теорией. Грубо говоря, монодромия изучает, как может вырождаться покрывающее отображение , а теория особенностей изучает, как может вырождаться многообразие ; и эти поля связаны.
