В геометрии любая гиперплоскость H проективного пространства P может быть взята как гиперплоскость на бесконечности . Тогда множество-дополнение P ∖ H называется аффинным пространством . Например, если ( x 1 , ..., x n , x n +1 ) являются однородными координатами для n -мерного проективного пространства, то уравнение x n +1 = 0 определяет гиперплоскость на бесконечности для n -мерного аффинного пространства с координатами ( x 1 , ..., x n ) . H также называется идеальной гиперплоскостью .
Аналогично, начиная с аффинного пространства A , каждый класс параллельных прямых может быть связан с точкой на бесконечности . Объединение по всем классам параллелей образует точки гиперплоскости на бесконечности. Присоединение точек этой гиперплоскости (называемых идеальными точками ) к A превращает его в n -мерное проективное пространство, такое как действительное проективное пространство R P n .
Добавляя эти идеальные точки, все аффинное пространство A дополняется до проективного пространства P , которое можно назвать проективным пополнением A. Каждое аффинное подпространство S пространства A дополняется до проективного подпространства P добавлением к S всех идеальных точек, соответствующих направлениям прямых, содержащихся в S. Полученные проективные подпространства часто называют аффинными подпространствами проективного пространства P , в отличие от бесконечных или идеальных подпространств, которые являются подпространствами гиперплоскости на бесконечности (однако они являются проективными пространствами, а не аффинными пространствами).
В проективном пространстве каждое проективное подпространство размерности k пересекает идеальную гиперплоскость в проективном подпространстве «на бесконечности», размерность которого равна k − 1 .
Пара непараллельных аффинных гиперплоскостей пересекается в аффинном подпространстве размерности n − 2 , но параллельная пара аффинных гиперплоскостей пересекается в проективном подпространстве идеальной гиперплоскости (пересечение лежит на идеальной гиперплоскости). Таким образом, параллельные гиперплоскости, не встретившиеся в аффинном пространстве, пересекаются в проективном дополнении за счет добавления гиперплоскости на бесконечности.