Каустик (математика)

Огибающая лучей, отраженных или преломленных коллектором

Светоотражающая каустика, созданная из круга и параллельных лучей. С одной стороны каждая точка содержится в трех световых лучах; с другой стороны, каждая точка содержится в одном световом луче.

В дифференциальной геометрии каустика — это оболочка лучей , отраженных или преломленных многообразием . _ Это связано с понятием каустики в геометрической оптике . Источником луча может быть точка (называемая радиантом) или параллельные лучи, исходящие из бесконечной точки, и в этом случае необходимо указать вектор направления лучей.

В более общем смысле, особенно применительно к симплектической геометрии и теории особенностей , каустика — это набор критических значений лагранжева отображения ( π ○ i ): L ↪ M ↠ B ; где i  : L ↪ M — лагранжево погружение лагранжева подмногообразия L в симплектическое многообразие M , а π  : M ↠ B — лагранжево расслоение симплектического многообразия M. Каустика является подмножеством базового пространства B лагранжева расслоения . ^[1]

Объяснение

Лучи, преломленные неплоской поверхностью, образуют каустики в местах пересечения многих из них.

Концентрированный свет, особенно солнечный , может вызвать ожог. Слово «каустик » на самом деле происходит от греческого καυστός, «сожженный», через латинское causticus , «горящий».

Обычная ситуация, когда каустики видны, — это когда свет падает на стакан для питья. Стекло отбрасывает тень, но также создает изогнутую область яркого света. В идеальных условиях (включая совершенно параллельные лучи, как если бы они исходили из точечного источника, находящегося в бесконечности) можно получить пятно света нефроидной формы. ^{[2] [3]} Рябь каустики обычно образуется, когда свет проходит через волны на водоеме.

Еще одна знакомая каустика — радуга . ^{[4] [5]} Рассеяние света каплями дождя приводит к тому, что световые волны разной длины преломляются в дуги разного радиуса, образуя лук.

Катакаустический

Катакаустика – это рефлексивный случай.

Для радианта это эволюция ортотомии радианта .

Плоский случай с параллельными исходными лучами: предположим, что вектор направления равен , а зеркальная кривая параметризована как . Нормальный вектор в точке равен ; отражение вектора направления (нормальное требует специальной нормализации) ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (u(t),v(t))}$ ${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

Наличие компонентов найденного отраженного вектора рассматривает его как касательную.

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

Использование простейшей формы конверта

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

что может быть неэстетично, но дает линейную систему , и поэтому элементарно получить параметризацию катакаустики. Правило Крамера сослужило бы службу. ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Пример

Пусть вектор направления равен (0,1), а зеркало — Тогда ${\displaystyle (t,t^{2}).}$

${\displaystyle u'=1}$   ${\displaystyle u''=0}$   ${\displaystyle v'=2t}$   ${\displaystyle v''=2}$   ${\displaystyle a=0}$   ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

и имеет решение ; т.е. свет, попадающий в параболическое зеркало параллельно его оси, отражается через фокус. ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ${\displaystyle (0,1/4)}$

Смотрите также

• Разрезанное локус (риманово многообразие)
• Последнее геометрическое высказывание Якоби.
• Нефроид едкий

Рекомендации

1. Арнольд, VI ; Варченко А.Н. ; Гусейн-Заде, С.М. (1985). Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов: особенности дифференцируемых отображений, Том 1 . Биркхойзер. ISBN 0-8176-3187-9.
2. Круг Катакаустики. Вольфрам Математический мир . Проверено 17 июля 2009 г.
3. Леви, Марк (2 апреля 2018 г.). «В центре внимания нефроидов». СИАМ Новости . Проверено 1 июня 2018 г.
4. Радужная каустика
5. Каустические полосы

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Каустик». Математический мир .