Двойственность Серра

В алгебраической геометрии , разделе математики , двойственность Серра — это двойственность когерентных пучков когомологий алгебраических многообразий, доказанная Жаном-Пьером Серром . Основная версия применима к векторным расслоениям на гладком проективном многообразии, но Александр Гротендик нашел широкие обобщения, например, для сингулярных многообразий. На n -мерном многообразии теорема утверждает, что группа когомологий является двойственным пространством другой группы, . Двойственность Серра является аналогом когомологий когерентных пучков двойственности Пуанкаре в топологии, где каноническое линейное расслоение заменяет ориентационный пучок . ${\displaystyle H^{i}}$ ${\displaystyle H^{n-i}}$

Теорема Серра о двойственности верна и в комплексной геометрии в более общем смысле, для компактных комплексных многообразий , которые не обязательно являются проективными комплексными алгебраическими многообразиями . В этом контексте теорема двойственности Серра является применением теории Ходжа для когомологий Дольбо и может рассматриваться как результат в теории эллиптических операторов .

Эти две разные интерпретации двойственности Серра совпадают для неособых проективных комплексных алгебраических многообразий благодаря применению теоремы Дольбо, связывающей когомологии пучков с когомологиями Дольбо.

Двойственность Серра для векторных расслоений

Алгебраическая теорема

Пусть X — гладкое многообразие размерности n над полем k . Определим каноническое линейное расслоение как расслоение n -форм на X , верхнюю внешнюю степень кокасательного расслоения : ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).}$

Предположим, кроме того, что X является собственным (например, проективным ) над k . Тогда двойственность Серра говорит: для алгебраического векторного расслоения E на X и целого числа i существует естественный изоморфизм:

${\displaystyle H^{i}(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }}$

конечномерных k -векторных пространств. Здесь обозначается тензорное произведение векторных расслоений. Отсюда следует, что размерности двух групп когомологий равны: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).}$

Как и в двойственности Пуанкаре, изоморфизм в двойственности Серра возникает из-за чашечного произведения в пучковых когомологиях. А именно, состав продукта в чашке с картой натуральных следов представляет собой идеальное сочетание : ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.}$

Отображение следов является аналогом когерентных пучковых когомологий интегрирования в когомологиях де Рама . ^[1]

Дифференциально-геометрическая теорема

Серр также доказал то же утверждение двойственности для X — компактного комплексного многообразия и E — голоморфного векторного расслоения . ^[2] Здесь теорема двойственности Серра является следствием теории Ходжа . А именно, на компактном комплексном многообразии, снабженном римановой метрикой , существует оператор звезды Ходжа : ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{p}(X)\to \Omega ^{2n-p}(X),}$

где . Кроме того, поскольку является комплексным, происходит разделение комплексных дифференциальных форм на формы типа . Оператор звезды Ходжа (расширенный комплексно-линейно до комплекснозначных дифференциальных форм) взаимодействует с этой градуировкой следующим образом: ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-q,n-p}(X).}$

Обратите внимание, что голоморфный и антиголоморфный индексы поменялись местами. Существует сопряжение комплексных дифференциальных форм, которое меняет местами формы типа и , и если к этому времени определить сопряженно-линейный оператор звезды Ходжа, мы получим: ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle {\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle {\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X).}$

Используя сопряженно-линейную звезду Ходжа, можно определить эрмитово скалярное произведение в комплексных дифференциальных формах следующим образом: ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,}$

где now является -формой, в частности комплекснозначной -формой и, следовательно, может быть интегрирована относительно ее канонической ориентации . Кроме того, пусть — эрмитово голоморфное векторное расслоение. Тогда эрмитова метрика дает сопряженно-линейный изоморфизм между и его двойственным векторным расслоением , скажем . Определив , получим изоморфизм: ${\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\star }}\beta }$ ${\displaystyle (n,n)}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (E,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E\cong E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \tau :E\to E^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)}$

${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})}$

где состоит из гладких -значных комплексных дифференциальных форм. Таким образом , используя пару между и, заданную и , можно определить эрмитово -скалярное произведение для таких -значных форм следующим образом: ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta ,}$

где здесь имеется в виду произведение клина дифференциальных форм и использование пары между и, заданной . ${\displaystyle \wedge _{h}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle h}$

Теорема Ходжа для когомологий Дольбо утверждает, что если мы определим:

${\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+{\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}}$

где – оператор Дольбо и – его формальный сопряженный относительно скалярного произведения, тогда: ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{*}}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X).}$

Слева — когомологии Дольбо, а справа — векторное пространство гармонических -значных дифференциальных форм, ${\displaystyle E}$ определяемых формулой:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.}$

Используя это описание, теорему двойственности Серра можно сформулировать следующим образом: изоморфизм индуцирует комплексный линейный изоморфизм: ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.}$

Это можно легко доказать, используя приведенную выше теорию Ходжа. А именно, если — класс когомологий с единственным гармоническим представителем , то: ${\displaystyle [\alpha ]}$ ${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0}$

с равенством тогда и только тогда, когда . В частности, сложное линейное спаривание: ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta }$

между и невырожден и индуцирует изоморфизм в теореме двойственности Серра. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)}$

Утверждение о двойственности Серра в алгебраической ситуации можно восстановить , взяв и применив теорему Дольбо , которая утверждает, что: ${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)}$

где слева когомологии Дольбо, а справа когомологии пучка, где обозначает пучок голоморфных -форм. В частности, мы получаем: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{p}}$ ${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}}$

где мы использовали, что пучок голоморфных -форм есть не что иное, как каноническое расслоение . ${\displaystyle (n,0)}$ ${\displaystyle X}$

Алгебраические кривые

Фундаментальное применение двойственности Серра относится к алгебраическим кривым . (Над комплексными числами это эквивалентно рассмотрению компактных римановых поверхностей .) Для линейного расслоения L на гладкой проективной кривой X над полем k единственными возможными ненулевыми группами когомологий являются и . Двойственность Серра описывает группу в терминах группы (для другого линейного расслоения). ^[3] Это более конкретно, поскольку расслоение — это просто пространство его секций. ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,L)}$ ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{0}}$ ${\displaystyle H^{0}}$

Двойственность Серра особенно актуальна для теоремы Римана–Роха для кривых. Для линейного расслоения L степени d на кривой X рода g теорема Римана–Роха гласит, что :

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.}$

Используя двойственность Серра, это можно переформулировать в более элементарных терминах:

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.}$

Последнее утверждение (выраженное через делители ) на самом деле является оригинальной версией теоремы XIX века. Это основной инструмент, используемый для анализа того, как данная кривая может быть вложена в проективное пространство и, следовательно, для классификации алгебраических кривых.

Пример: каждое глобальное сечение линейного расслоения отрицательной степени равно нулю. При этом степень канонического расслоения равна . Следовательно, Риман–Рох подразумевает , что для линейного расслоения L степени равно . Когда род g не меньше 2, из двойственности Серра следует, что . Вот пространство деформации первого порядка X . Это основной расчет, необходимый для того, чтобы показать, что пространство модулей кривых рода g имеет размерность . ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle d>2g-2}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle d-g+1}$ ${\displaystyle h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3}$ ${\displaystyle H^{1}(X,TX)}$ ${\displaystyle 3g-3}$

Двойственность Серра для когерентных пучков

Другая формулировка двойственности Серра справедлива для всех когерентных пучков , а не только для векторных расслоений. В качестве первого шага в обобщении двойственности Серра Гротендик показал, что эта версия работает для схем с мягкими особенностями, схем Коэна – Маколея , а не только для гладких схем.

А именно, для схемы Коэна – Маколея X чистой размерности n над полем k Гротендик определил когерентный пучок на X , называемый дуализирующим пучком . (Некоторые авторы называют этот пучок .) Предположим, кроме того, что X собственное над k . Для когерентного пучка E на X и целого числа i двойственность Серра говорит, что существует естественный изоморфизм: ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}}$

конечномерных k -векторных пространств. [ ^4] Здесь группа Ext берется из абелевой категории -модулей . Это включает в себя предыдущее утверждение, поскольку оно изоморфно тому, когда E является векторным расслоением. ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ ${\displaystyle H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})}$

Чтобы использовать этот результат, необходимо явно определить дуализирующий пучок, по крайней мере в частных случаях. Когда X является гладким над k , является каноническим линейным расслоением, определенным выше. В более общем смысле, если X является подсхемой Коэна–Маколея коразмерности r в гладкой схеме Y над k , то дуализирующий пучок можно описать как пучок Ext : ^[5] ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).}$

Когда X является локальным полным пересечением коразмерности r в гладкой схеме Y , существует более элементарное описание: нормальное расслоение X в Y является векторным расслоением ранга r , а дуализирующий пучок X задается формулой: ^{[6] ]}

${\displaystyle \omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).}$

В этом случае X является схемой Коэна–Маколея с линейным расслоением, что говорит о том, что X — Горенштейн . ${\displaystyle \omega _{X}}$

Пример: Пусть X — полное пересечение в проективном пространстве над полем k , определяемое однородными полиномами степеней . (Сказать, что это полное пересечение, означает, что X имеет размерность .) Существуют линейные расслоения O ( d ) для целых чисел d со свойством, что однородные многочлены степени d можно рассматривать как сечения O ( d ). Тогда дуализирующий пучок X является линейным расслоением: ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{r}}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},}$

по формуле присоединения . Например, дуализирующий пучок плоской кривой X степени d равен . ${\displaystyle O(d-3)|_{X}}$

Комплексные модули тройных многообразий Калаби – Яу

В частности, мы можем вычислить число комплексных деформаций, равное для трехмерного многообразия квинтики в многообразии Калаби–Яу, используя двойственность Серра. Поскольку свойство Калаби-Яу обеспечивает двойственность Серра, показывает нам, что число комплексных модулей равно в ромбе Ходжа. Конечно, последнее утверждение зависит от теоремы Богомолева–Тиана–Тодорова, которая утверждает, что любая деформация на Калаби–Яу беспрепятственна. ${\displaystyle \dim(H^{1}(X,TX))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$ ${\displaystyle h^{2,1}}$

Двойственность Гротендика

Теория когерентной двойственности Гротендика представляет собой широкое обобщение двойственности Серра с использованием языка производных категорий . Для любой схемы X конечного типа над полем k существует объект ограниченной производной категории когерентных пучков на X , называемый дуализирующим комплексом X над k . Формально – исключительный прообраз , где f – заданный морфизм . Когда X является Коэном-Маколеем чистой размерности n , это ; то есть это обсуждавшийся выше дуализирующий пучок, рассматриваемый как комплекс в (когомологической) степени − n . В частности, когда X гладко над k , является каноническим линейным расслоением, помещенным в степень − n . ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle f^{!}O_{Y}}$ ${\displaystyle X\to Y=\operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle \omega _{X}[n]}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$

Используя дуализирующий комплекс, двойственность Серра обобщается на любую правильную схему X над k . А именно, существует естественный изоморфизм конечномерных k -векторных пространств:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}}$

для любого объекта E в . ^[7] ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$

В более общем смысле, для правильной схемы X над k , объекта E in и F - совершенного комплекса in существует элегантное утверждение: ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.}$

Здесь тензорное произведение означает производное тензорное произведение , что естественно в производных категориях. (Для сравнения с предыдущими формулировками обратите внимание, что это можно рассматривать как .) Когда X также является гладким над k , каждый объект в является совершенным комплексом, и поэтому эта двойственность применима ко всем E и F в . Затем приведенное выше утверждение суммируется, говоря, что это функтор Серра для X, гладкого и правильного над k . ^[8] ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$

Двойственность Серра справедлива в более общем смысле для собственных алгебраических пространств над полем. ^[9]

Примечания

1. Хайбрехтс (2005), упражнение 3.2.3.
2. Серр (1955); Хайбрехтс (2005), Предложение 4.1.15.
3. Для кривой двойственность Серра проще, но все же нетривиальна. Одно доказательство дано у Тейта (1968).
4. Хартсхорн (1977), Теорема III.7.6.
5. Хартсхорн (1977), доказательство предложения III.7.5; Проект Stacks, тег 0A9X.
6. Хартсхорн (1977), Теорема III.7.11; Проект Stacks, тег 0BQZ.
7. Хартсхорн (1966), следствие VII.3.4(c); Проект Stacks, тег 0B6I; Проект Stacks, тег 0B6S.
8. Хайбрехтс (2006), Определение 1.28, Теорема 3.12.
9. Проект Stacks, тег 0E58.

Рекомендации

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157, OCLC  13348052
• Хартсхорн, Робин (1966), Остатки и двойственность , Конспект лекций по математике, том. 20, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03603-6, МР  0222093
• «Двойственность», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-21290-6, МР  2093043
• Хайбрехтс, Дэниел (2006), Преобразования Фурье – Мукаи в алгебраической геометрии , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866, МР  2244106
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Теорема двойственности», Commentarii Mathematici Helvetici , 29 : 9–26, doi : 10.1007/BF02564268, MR  0067489
• Тейт, Джон (1968), «Вычеты дифференциалов на кривых» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 1 : 149–159, doi : 10.24033/asens.1162 , ISSN  0012-9593, MR  0227171

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project