Производная категория

Гомологическая конструкция

В математике производная категория D ( A ) абелевой категории A представляет собой конструкцию гомологической алгебры , введенную для уточнения и в определенном смысле упрощения теории производных функторов , определенных на A. Конструкция продолжается на том основании, что объектами D ( A ) должны быть цепные комплексы в A , причем два таких цепных комплекса считаются изоморфными, когда существует цепное отображение , индуцирующее изоморфизм на уровне гомологии цепных комплексов. Затем для цепных комплексов можно определить производные функторы, уточняя концепцию гиперкогомологий . Определения приводят к существенному упрощению формул, иначе описываемых (не совсем точно) сложными спектральными последовательностями .

Разработка производной категории Александром Гротендиком и его учеником Жаном-Луи Вердье вскоре после 1960 года теперь кажется завершающим моментом во взрывном развитии гомологической алгебры в 1950-х годах, десятилетии, за которое она добилась замечательных успехов. Основная теория Вердье была изложена в его диссертации, опубликованной наконец в 1996 году в журнале Asterisque (резюме ранее появилось в SGA 4½ ). Аксиоматика потребовала новации, понятия триангулированной категории , а конструкция основана на локализации категории , обобщении локализации кольца . Первоначальный импульс к развитию «производного» формализма возник из необходимости найти подходящую формулировку когерентной теории двойственности Гротендика . Производные категории с тех пор стали незаменимы и за пределами алгебраической геометрии , например, при формулировке теории D-модулей и микролокального анализа . Недавно выведенные категории также стали важными в областях, близких к физике, таких как D-браны и зеркальная симметрия .

Неограниченные производные категории были введены Спалтенштейном в 1988 году.

Мотивации

В когерентной теории пучков, доведя до предела то, что можно было сделать с двойственностью Серра без предположения о неособой схеме , стала очевидной необходимость взять целый комплекс пучков вместо одного дуализирующего пучка . Фактически условие кольца Коэна – Маколея , ослабление несингулярности, соответствует существованию единственного дуализирующего пучка; и это далеко не общий случай. С нисходящей интеллектуальной позиции, которую всегда занимал Гротендик, это означало необходимость переформулировать. Вместе с этим возникла идея, что «настоящие» тензорные произведения и функторы Hom должны существовать на производном уровне; Что касается них, Tor и Ext становятся больше похожими на вычислительные устройства.

Несмотря на уровень абстракции, производные категории стали приняты в последующие десятилетия, особенно в качестве удобного средства для пучковых когомологий . Возможно, самым большим достижением стала формулировка соответствия Римана-Гильберта в размерностях больше 1 в производных терминах примерно в 1980 году. Школа Сато приняла язык производных категорий, и последующая история D-модулей представляла собой теорию, выраженную в тех условия.

Параллельное развитие получила категория спектров в теории гомотопий . Гомотопическая категория спектра и производная категория кольца являются примерами триангулированных категорий .

Определение

Пусть – абелева категория . (Примеры включают категорию модулей над кольцом и категорию пучков абелевых групп в топологическом пространстве.) Производная категория определяется универсальным свойством относительно категории коцепных комплексов с членами из . Объекты имеют вид ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,}$

где каждый X ⁱ является объектом , а каждый из составных элементов равен нулю. i -я группа когомологий комплекса равна . Если и два объекта в этой категории, то морфизм определяется как семейство морфизмов такое, что . Такой морфизм индуцирует морфизмы на группах когомологий и называется квазиизоморфизмом , если каждый из этих морфизмов является изоморфизмом в . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}}$ ${\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}$ ${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$ ${\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ ${\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ ${\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}$ ${\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}}$ ${\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}$ ${\displaystyle f^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Универсальным свойством производной категории является то, что она является локализацией категории комплексов относительно квазиизоморфизмов. В частности, производная категория — это категория вместе с функтором , обладающая следующим универсальным свойством: Предположим — это другая категория (не обязательно абелева) и такой функтор, что всякий раз, когда есть квазиизоморфизм в , его образ является изоморфизмом в ; затем факторы через . Любые две категории, обладающие этим универсальным свойством, эквивалентны. ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle F(f^{\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$

Отношение к гомотопической категории

Если и — два морфизма в , то гомотопия цепи или просто гомотопия — это набор морфизмов такой, что для каждого i . Несложно показать, что два гомотопических морфизма индуцируют тождественные морфизмы на группах когомологий. Мы говорим, что это цепная гомотопическая эквивалентность, если существуют такие, что и являются цепными гомотопными тождественным морфизмам на и соответственно. Гомотопическая категория коцепных комплексов — это категория с теми же объектами, что и морфизмы которых являются классами эквивалентности морфизмов комплексов относительно отношения цепной гомотопии. Существует естественный функтор , который является тождественным для объектов и переводит каждый морфизм в его класс цепной гомотопической эквивалентности. Поскольку каждая цепная гомотопическая эквивалентность является квазиизоморфизмом, факторизуется через этот функтор. Следовательно, ее можно с таким же успехом рассматривать как локализацию гомотопической категории. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle h\colon f\to g}$ ${\displaystyle h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}}$ ${\displaystyle f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}}$ ${\displaystyle f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

С точки зрения модельных категорий , производная категория D ( A ) является истинной «гомотопической категорией» категории комплексов, тогда как K ( A ) можно было бы назвать «наивной гомотопической категорией».

Построение производной категории

Существует несколько возможных конструкций производной категории. Если категория мала, то производная категория строится непосредственно путем формального присоединения обратных квазиизоморфизмов. Это пример общего построения категории с помощью образующих и отношений. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Когда категория большая, эта конструкция не работает по теоретическим причинам. Эта конструкция строит морфизмы как классы эквивалентности путей. Если существует правильный класс объектов, все из которых изоморфны, то существует правильный класс путей между любыми двумя из этих объектов. Таким образом, конструкция генераторов и отношений гарантирует только то, что морфизмы между двумя объектами образуют правильный класс. Однако морфизмы между двумя объектами в категории обычно должны быть множествами, и поэтому эта конструкция не может создать реальную категорию. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Однако даже когда оно мало, построение с помощью генераторов и отношений обычно приводит к категории, структура которой непрозрачна, где морфизмы представляют собой пути произвольной длины, подчиняющиеся загадочному отношению эквивалентности. По этой причине принято строить производную категорию более конкретно, даже если о теории множеств не идет речь. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Эти другие конструкции проходят через категорию гомотопий. Совокупность квазиизоморфизмов образует мультипликативную систему . Это набор условий, позволяющих переписать сложные пути как более простые. Теорема Габриэля-Зисмана подразумевает, что локализация в мультипликативной системе имеет простое описание в терминах крыш . ^[2] Морфизм в может быть описан как пара , где для некоторого комплекса является квазиизоморфизмом и является классом цепной гомотопической эквивалентности морфизмов. Концептуально это представляет собой . Две крыши считаются эквивалентными, если они имеют общую крышу. ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (s,f)}$ ${\displaystyle Z^{\bullet }}$ ${\displaystyle s\colon Z^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ ${\displaystyle f\colon Z^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle f\circ s^{-1}}$

Замена цепочек морфизмов крышами также позволяет решить теоретико-множественные проблемы, связанные с производными категориями больших категорий. Зафиксируйте комплекс и рассмотрим категорию , объекты которой являются квазиизоморфизмами в с кообластью , а морфизмы — коммутативными диаграммами. Эквивалентно, это категория объектов, структурные карты которых являются квазиизоморфизмами. Тогда из условия мультипликативной системы следует, что морфизмы из из в являются ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle Y^{\bullet }}$

${\displaystyle \varinjlim _{I_{X^{\bullet }}}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}((X')^{\bullet },Y^{\bullet }),}$

предполагая, что этот копредел на самом деле является множеством. Хотя потенциально это большая категория, в некоторых случаях она контролируется небольшой категорией. Это имеет место, например, если — абелева категория Гротендика (это означает, что она удовлетворяет AB5 и имеет набор образующих), причем существенным моментом является то, что релевантны только объекты ограниченной мощности. ^[3] В этих случаях предел может быть рассчитан для небольшой подкатегории, и это гарантирует, что результатом будет множество. Затем может быть определено, что эти наборы являются его наборами. ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

Существует другой подход, основанный на замене морфизмов производной категории морфизмами гомотопической категории. Морфизм в производной категории, ко-область которого является ограниченным снизу комплексом инъективных объектов, аналогичен морфизму этого комплекса в гомотопической категории; это следует из почленной инъективности. Заменяя почленную инъективность более сильным условием, можно получить аналогичное свойство, применимое даже к неограниченным комплексам. Комплекс является K -инъективным , если для любого ациклического комплекса имеем . Прямым следствием этого является то, что для любого комплекса морфизмы в такие же, как и такие морфизмы в . Теорема Серпе, обобщающая работы Гротендика и Спалтенштейна, утверждает, что в абелевой категории Гротендика каждый комплекс квазиизоморфен K-инъективному комплексу с инъективными членами, и, более того, он функториален. ^[4] В частности, мы можем определить морфизмы в производной категории, перейдя к K-инъективным резольвентам и вычислив морфизмы в гомотопической категории. Функториальность конструкции Серпе гарантирует корректность определения композиции морфизмов. Как и конструкция с использованием крыш, эта конструкция также обеспечивает подходящие теоретико-множественные свойства для производной категории, на этот раз потому, что этим свойствам уже удовлетворяет гомотопическая категория. ${\displaystyle I^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to I^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

Производные Hom-множества

Как отмечалось ранее, в производной категории множества hom выражаются через крыши или долины , где – квазиизоморфизм. Чтобы получить лучшее представление о том, как выглядят элементы, рассмотрим точную последовательность ${\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}$ ${\displaystyle Y\to Y'}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

Мы можем использовать это для построения морфизма, усекая приведенный выше комплекс, сдвигая его и используя очевидные морфизмы, приведенные выше. В частности, у нас есть картинка ${\displaystyle \phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

где нижний комплекс сконцентрировался в степени , единственная нетривиальная стрелка вверх — это морфизм равенства, а единственная нетривиальная стрелка вниз — это . Эта диаграмма комплексов определяет морфизм ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

в производной категории. Одним из применений этого наблюдения является построение класса Atiyah. ^[5]

Примечания

Для определенных целей (см. ниже) вместо неограниченных комплексов используются ограниченные снизу ( for ), ограниченные сверху ( for ) или ограниченные ( for ). Соответствующие производные категории обычно обозначаются D ⁺ (A) , D ⁻ (A) и D ^b (A) соответственно. ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle n\ll 0}$ ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle n\gg 0}$ ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle |n|\gg 0}$

Если принять классическую точку зрения на категории, согласно которой существует множество морфизмов одного объекта в другой (а не только класс ), то для доказательства этого необходимо привести дополнительный аргумент. Если, например, абелева категория А мала, т.е. имеет только набор объектов, то с этим вопросом проблем не будет. Кроме того, если A — абелева категория Гротендика , то производная категория D ( A ) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории K ( A ) и, следовательно, имеет только набор морфизмов одного объекта в другой. ^[6] Абелевы категории Гротендика включают категорию модулей над кольцом, категорию пучков абелевых групп в топологическом пространстве и многие другие примеры.

Композиция морфизмов, т.е. крыш, в производной категории достигается путем нахождения третьей крыши поверх двух крыш, которые должны быть составлены. Можно проверить, что это возможно и дает четко определенную ассоциативную композицию.

Поскольку K(A) — триангулированная категория , ее локализация D(A) также триангулирована. Для целого числа n и комплекса X определите ^[7] комплекс X [ n ] как X , сдвинутый вниз на n , так что

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

с дифференциалом

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

По определению выделенный треугольник в D(A) — это треугольник, изоморфный в D(A) треугольнику X → Y → Cone( f ) → X [1] для некоторого отображения комплексов f : X → Y . Здесь Cone( f ) обозначает конус отображения f . В частности, для короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

в A треугольник X → Y → Z → X [1] выделен в D(A) . Вердье объяснил, что определение сдвига X [1] обусловлено требованием, чтобы X [1] был конусом морфизма X → 0. ^[8]

Если рассматривать объект A как комплекс, сконцентрированный в нулевой степени, то производная категория D(A) будет содержать A как полную подкатегорию . Морфизмы в производной категории включают информацию обо всех группах Ext : для любых объектов X и Y в A и любого целого числа j ,

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

Проективные и инъективные резолюции

Легко показать, что гомотопическая эквивалентность является квазиизоморфизмом , поэтому второй шаг в приведенной выше конструкции можно опустить. Определение обычно дается таким образом, поскольку оно раскрывает существование канонического функтора.

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

В конкретных ситуациях очень сложно или невозможно напрямую обрабатывать морфизмы в производной категории. Поэтому ищут более управляемую категорию, эквивалентную производной категории. Классически существует два (двойственных) подхода к этому: проективная и инъективная резолюция . В обоих случаях ограничение приведенного выше канонического функтора на соответствующую подкатегорию будет эквивалентностью категорий .

Далее мы опишем роль инъективных резольвент в контексте производной категории, которая является основой для определения правых производных функторов , которые, в свою очередь, имеют важные применения в когомологиях пучков на топологических пространствах или в более продвинутых теориях когомологий, таких как этальные когомологии. или групповые когомологии .

Чтобы применить эту технику, нужно предположить, что рассматриваемая абелева категория имеет достаточно инъектив , а это означает , что каждый объект X категории допускает мономорфизм инъективному объекту I. (Ни карта, ни инъективный объект не должны быть однозначно определены.) Например, каждая абелева категория Гротендика имеет достаточное количество инъектив. Вложив X в некоторый инъективный объект I ⁰ , коядро этого отображения в некоторый инъективный I ¹ и т. д., можно построить инъективную резольвенту X , т. е. точную ( вообще говоря, бесконечную) последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

где I * — инъективные объекты. Эта идея обобщается и дает разрешения ограниченных снизу комплексов X , т. е. X ⁿ = 0 для достаточно малого n . Как отмечалось выше, инъективные резольвенты не определены однозначно, но фактом является то, что любые две резольвенты гомотопически эквивалентны друг другу, т. е. изоморфны в гомотопической категории. Более того, морфизмы комплексов однозначно продолжаются до морфизма двух данных инъективных резольвент.

Это тот момент, когда гомотопическая категория снова вступает в игру: отображение объекта X из A в (любую) инъективную резольвенту I * из A продолжается до функтора

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

от ограниченной снизу производной категории к ограниченной снизу гомотопической категории комплексов, члены которых являются инъективными объектами в A .

Нетрудно видеть, что этот функтор на самом деле является обратным ограничению упомянутого в начале функтора канонической локализации. Другими словами, морфизмы Hom( X , Y ) в производной категории могут быть вычислены путем разрешения X и Y и вычисления морфизмов в гомотопической категории, что, по крайней мере, теоретически проще. На самом деле, достаточно разрешить Y : для любого комплексного X и любого ограниченного снизу комплекса Y инъективных

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

Двойственно, предполагая, что A имеет достаточно проективов , т.е. для каждого объекта X существует эпиморфизм проективного объекта P в X , можно использовать проективные резольвенты вместо инъективных.

В 1988 году Спалтенштейн определил неограниченную производную категорию (Спалтенштейн (1988)), которая сразу же оказалась полезной при изучении сингулярных пространств; см., например, книгу Кашивары и Шапиры («Категории и пучки») о различных применениях неограниченной производной категории. Спалтенштейн использовал так называемые K-инъективную и K-проективную резольвенты.

Келлер (1994) и Мэй (2006) описывают производную категорию модулей над DG-алгебрами. Келлер также дает приложения к двойственности Кошуля, когомологиям алгебры Ли и гомологиям Хохшильда.

В более общем смысле, тщательно адаптируя определения, можно определить производную категорию точной категории (Келлер, 1996).

Отношение к производным функторам

Производная категория является естественной основой для определения и изучения производных функторов . Пусть далее F : A → B — функтор абелевых категорий. Существуют две двойственные концепции:

• правые производные функторы происходят от левых точных функторов и вычисляются с помощью инъективных резольвент.
• левые производные функторы происходят от правых точных функторов и вычисляются с помощью проективных разрешений.

Далее мы опишем правые производные функторы. Итак, предположим, что F точен слева. Типичными примерами являются F : A → Ab, заданные формулой X ↦ Hom( X , A ) или X ↦ Hom( A , X ) для некоторого фиксированного объекта A , или функтора глобальных сечений на пучках или функтора прямого изображения . Их правыми производными функторами являются Ext ⁿ (–, A ) , Ext ⁿ ( A ,–), H ⁿ ( X , F ) или R ⁿ f _∗ ( F ) соответственно.

Производная категория позволяет инкапсулировать все производные функторы R ⁿ F в один функтор, а именно в так называемый полный производный функтор RF : D ⁺ ( A ) → D ⁺ ( B ). Это следующая композиция: D ⁺ ( A ) ≅ K ⁺ (Inj( A )) → K ⁺ ( B ) → D ⁺ ( B ), где первая эквивалентность категорий описана выше. Классические производные функторы связаны с полным через R ⁿ F ( X ) = H ⁿ ( RF ( X )). Можно сказать, что R ⁿ F забывают о цепном комплексе и сохраняют только когомологии, тогда как RF отслеживает комплексы.

Производные категории в некотором смысле являются «подходящим» местом для изучения этих функторов. Например, спектральная последовательность Гротендика композиции двух функторов

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

такой, что F отображает инъективные объекты в A в G -ациклики (т.е. R ⁱ G ( F ( I )) = 0 для всех i  > 0 и инъективный I ), является выражением следующего тождества полных производных функторов

р ( грамм ∘ F ) ≅ RG ∘ РФ .

Ж.-Л. Вердье показал, как производные функторы, связанные с абелевой категорией A, можно рассматривать как кановские расширения вдоль вложений A в подходящие производные категории [Мак Лейн].

Производная эквивалентность

Может случиться так, что две абелевы категории A и B не эквивалентны, но их производные категории D( A ) и D( B ) эквивалентны. Часто это интересная связь между A и B. Такие эквивалентности связаны с теорией t-структур в триангулированных категориях . Вот некоторые примеры. ^[9]

• Пусть – абелева категория когерентных пучков на проективной прямой над полем k . Пусть K ₂ -Rep — абелева категория представлений кронекеровского колчана с двумя вершинами. Это очень разные абелевы категории, но их (ограниченные) производные категории эквивалентны. ${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$
• Пусть Q — любой колчан , а P — колчан, полученный из Q перестановкой некоторых стрел. Вообще категории представлений Q и P различны, но D ^b ( Q -Rep) всегда эквивалентен D ^b ( P -Rep).
• Пусть X — абелево многообразие , Y — его двойственное абелево многообразие . Тогда D ^b (Coh( X )) эквивалентен D ^b (Coh( Y )) по теории преобразований Фурье–Мукаи . Многообразия с эквивалентными производными категориями когерентных пучков иногда называют партнерами Фурье-Мукаи .

Смотрите также

• Гомотопическая категория цепных комплексов
• Производная некоммутативная алгебраическая геометрия
• Когерентные когомологии пучков
• Когерентная двойственность
• Производная алгебраическая геометрия

Примечания

1. Мак Лейн, Категории для работающего математика .
2. Габриэль, Питер; Зисман, М. (6 декабря 2012 г.). «1.2 Исчисление дробей: предложение 2.4». Исчисление дробей и теория гомотопии. Спрингер. п. 14. ISBN 978-3-642-85844-4.
3. Weibel 1994, примечание 10.4.5 и исправления.
4. Проект Stacks, тег 079P.
5. Маркарян, Никита (2009). «Класс Атьи, когомологии Хохшильда и теорема Римана-Роха». Журнал Лондонского математического общества . 79 : 129–143. arXiv : math/0610553 . doi : 10.1112/jlms/jdn064. S2CID  16236000.
6. Кашивара и Шапира, 2006, Теорема 14.3.1.
7. Гельфанд и Манин 2003, III.3.2
8. Вердье 1996, Приложение к гл. 1
9. Келлер, Бернхард (2003). «Производные категории и наклон» (PDF) .

Рекомендации

• Доорн, фургон MGM (2001) [1994], «Производная категория», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Келлер, Бернхард (1996), «Производные категории и их использование», в Хазевинкеле, М. (ред.), Справочник по алгебре, Амстердам: Северная Голландия, стр. 671–701, ISBN. 0-444-82212-7, МР  1421815
• Келлер, Бернхард (1994), «Вывод категорий DG», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN  0012-9593, MR  1258406
• Мэй, JP (2006), Производные категории с топологической точки зрения (PDF)дает интерпретацию производной категории модулей над DG-алгебрами.
• Спалтенштейн, Н. (1988), «Разрешения неограниченных комплексов», Compositio Mathematica , 65 (2): 121–154, ISSN  0010-437X, MR  0932640
• Вердье, Жан-Луи (1996), «Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes», Asterisque (на французском языке), 239 , Париж: Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179, MR  1453167

Четыре учебника, в которых обсуждаются производные категории:

• Гельфанд, Сергей И.; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, МР  1950475
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-27949-5, МР  2182076
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. МР  1269324. OCLC  36131259.
• Екутиэли, Амнон (2019). Производные категории . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 183. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1108419338.