Гомотопическая категория цепных комплексов

В гомологической алгебре в математике гомотопическая категория K(A) цепных комплексов в аддитивной категории A является структурой для работы с цепными гомотопиями и гомотопическими эквивалентностями. Она лежит между категорией цепных комплексов Kom(A) категории A и производной категорией D(A) категории A , когда A абелева ; в отличие от первой это триангулированная категория , и в отличие от последней ее формирование не требует, чтобы A была абелевой. С философской точки зрения, в то время как D(A) превращает в изоморфизмы любые отображения комплексов, которые являются квазиизоморфизмами в Kom(A) , K(A) делает это только для тех, которые являются квазиизоморфизмами по «весомой причине», а именно, фактически имея обратное с точностью до гомотопической эквивалентности. Таким образом, K(A) более понятна, чем D(A) .

Определения

Пусть A — аддитивная категория . Гомотопическая категория K(A) основана на следующем определении: если у нас есть комплексы A , B и отображения f , g из A в B , то цепная гомотопия из f в g — это набор отображений ( не отображение комплексов), такой что ${\displaystyle h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}}$

${\displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},}$или просто ${\displaystyle f-g=d_{B}h+hd_{A}.}$

Это можно изобразить так:

Мы также говорим, что f и g цепочечно гомотопны , или что они нуль-гомотопны или гомотопны 0. Из определения ясно, что отображения комплексов, которые нуль-гомотопны, образуют группу по сложению. ${\displaystyle f-g}$

Гомотопическая категория цепных комплексов K(A) тогда определяется следующим образом: ее объекты те же самые, что и объекты Kom(A) , а именно цепные комплексы . Ее морфизмы являются «картами комплексов по модулю гомотопии»: то есть, мы определяем отношение эквивалентности

${\displaystyle f\sim g\ }$если f гомотопно g

и определить

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim }$

быть фактором по этому отношению. Ясно, что это приводит к аддитивной категории, если заметить, что это то же самое, что взять фактор по подгруппе нуль-гомотопных отображений.

Широко используются также следующие варианты определения: если вместо неограниченных комплексов брать только ограниченные снизу ( A ⁿ =0 при n<<0 ), ограниченные сверху ( A ⁿ =0 при n>>0 ) или ограниченные ( A ⁿ =0 при |n|>>0 ) комплексы, то говорят об ограниченной снизу гомотопической категории и т. д. Они обозначаются K ⁺ (A) , K ⁻ (A) и K ^b (A) соответственно.

Морфизм , который является изоморфизмом в K(A), называется гомотопической эквивалентностью . В деталях это означает, что существует другое отображение , такое, что две композиции гомотопны тождествам: и . ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow A}$ ${\displaystyle f\circ g\sim Id_{B}}$ ${\displaystyle g\circ f\sim Id_{A}}$

Название «гомотопия» происходит от того факта, что гомотопные отображения топологических пространств индуцируют гомотопные (в указанном выше смысле) отображения сингулярных цепей .

Замечания

Два цепных гомотопических отображения f и g индуцируют те же самые отображения на гомологии, поскольку (f − g) отправляет циклы на границы , которые равны нулю в гомологии. В частности, гомотопическая эквивалентность является квазиизоморфизмом . (Обратное в общем случае неверно.) Это показывает, что существует канонический функтор для производной категории (если A абелева ). ${\displaystyle K(A)\rightarrow D(A)}$

Треугольная структура

Сдвиг A[1] комплекса A — это следующий комплекс

${\displaystyle A[1]:...\to A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\to ...}$(Обратите внимание, что ), ${\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}}$

где дифференциал равен . ${\displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}}$

Для конуса морфизма f мы берем конус отображения . Существуют естественные отображения

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

Эта диаграмма называется треугольником . Гомотопическая категория K(A) является триангулированной категорией , если определить выделенные треугольники как изоморфные (в K(A) , т.е. гомотопически эквивалентные) треугольникам выше для произвольных A , B и f . То же самое верно для ограниченных вариантов K ⁺ (A) , K ⁻ (A) и K ^b (A) . Хотя треугольники имеют смысл и в Kom(A) , эта категория не триангулирована относительно этих выделенных треугольников; например,

${\displaystyle X{\xrightarrow {id}}X\to 0\to }$

не различим, поскольку конус тождественного отображения не изоморфен комплексу 0 (однако нулевое отображение является гомотопической эквивалентностью, так что этот треугольник различим в K(A) ). Более того, вращение различимого треугольника, очевидно, не различимо в Kom(A) , но (менее очевидно) различимо в K(A) . Подробности см. в ссылках. ${\displaystyle C(id)\to 0}$

Обобщение

В более общем смысле гомотопическая категория Ho(C) дифференциально -градуированной категории C определяется как имеющая те же объекты, что и C , но морфизмы определяются с помощью . (Это сводится к гомотопии цепных комплексов, если C является категорией комплексов, морфизмы которых не обязаны уважать дифференциалы). Если C имеет конусы и сдвиги в подходящем смысле, то Ho(C) также является триангулированной категорией. ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

Ссылки

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.